INSTITUTO TECNOLOGICO DE VILLHERMOSA MATERIA: “INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES 2” EQUIPO : “ 4” UNIDAD 5 TEORÍA DE LA CONVENIENCIA CATEDRATICO: ZINATH JAVIER JERONIMO INTEGRANTES: Yesenia Contreras Magaña Widman Antonio Hernández Ovando Román Hernández Estrada Lucio Hernández Lázaro Josué Efraín Aguilar Guzmán Christian Méndez Ramírez Cesar Nahúm López León UNIDAD 5 UNIDAD 5

TEORIA DE LA CONVENIENCIA A Continuación mostraremos como se puede aplicar el concepto de función de conveniencia de Von Neumann y Morgenstern como auxiliar en la toma de decisiones bajo incertidumbre.

Se tiene un caso en el que una persona recibirá ri con probabilidad pi. A esto se le llama Lotería (p1, r1, p2, r2,…., pn, rn).Con frecuencia se representa una lotería mediante un árbol en el que cada una de las ramas es la probabilidad de que suceda el resultado. Así la lotería (¼,500 dólares; ¾, 0 dólares) se puede representar mediante.

1 L₁ L₂ 10 000 dólares 30 000 dólares 0 dólares 1 2 1 2 Supongamos que se nos pide escoger entre dos loterías L₁L₂. Con seguridad la lotería L₁ produce 10 000 dólares 1 L₁ 10 000 dólares La lotería L₂ consiste en lanzar una moneda al aire y ver cual lado queda hacia arriba. Si la cara queda hacia arriba recibiremos 30 000 dólares, pero si es la cruz la que queda hacia arriba , recibiremos 0 dólares: 1 2 30 000 dólares L₂ 1 2 0 dólares

L₁ da una recompensa esperada de 10 000 dólares y L₂ da una recompensa esperada de (½) (30 000) + (½) ( 0 ) = 15 000 dólares. Aunque L₂ tiene un valor esperado mayor que L₁ la mayor parte de las personas preferirían a L₁ en lugar de L₂ porque L₁ ofrece la certeza de una paga grande, mientras que L₂ tiene una probabilidad apreciable (½) de ganar una recompensa de 0 dólares. En resumen, la mayor parte de las personas preferirán a L₁ en lugar de L₂ porque L₁ representa menos riesgos (o incertidumbre ) que L₂. Nuestra meta es determinar un método que pueda usar una persona para escoger entre loterías. Supongamos que esa persona opta por juzgar en L₁ o en L₂, pero no en ambas. Anotamos p L₂ si la persona prefiere a anotamos si le da lo mismo seleccionar a o L₂. L₁iL₂ decimos que y L₂ son loterías equivalentes. Finalmente, escribimos L₂ p L₁ si quien toma decisiones prefiere a L₂.

Supongamos que pedimos a alguien que tome decisiones que categorice las loterías siguientes: .50 30 000 dólares 0 dólares L4 .02 .98 -10 000 dólares 500 dólares L3 0 dólares

El método Von Neumman-Morgenstern para clasificar estas loterías es como sigue. Se comienza por identificar los resultados mas favorables ( 30 000 dólares) y los métodos favorables ( -10 000 dólares) que se puedan dar. Para todos los demás resultados (r₁ = 10 000 dólares r₂ = 500 dólares y r₁ = 0 dólares), se le pide a quien toma la decisión que calcule una probabilidad Pi tal que se le dé lo mismo cualquiera de las dos loterías: y P₁ 1 — P₂ 30 000 dólares 0 dólares 1 r₁ Supongamos que para que r₁ = 10 000 dólares, a quien toma decisiones le da lo mismo cualquiera de lo siguiente: .90 .10 30 000 dólares -0 dólares 1 10 000 dólares y

Y para r₂ = 500 dólares. Le da igual cualquiera de las dos siguientes: .62 .38 30 000 dólares -10 000 dólares 1 500 dólares y Y para r₁ Le da igual cualquiera de las dos siguientes: .60 .40 30 000 dólares -10 000 dólares 1 0 dólares y

Con ( 1 ) a ( 3 ). Quien toma decisiones puede formar loterías cada L₁ , L₂, L3, L4 tal que L4i L cada solo representa el resultado mejor ( 30 000 dólares) y el peor ( 10 000 dólares) posible. Así de acuerdo con ( 1), vemos que L₁iL donde: .90 .10 30 000 dólares -10 000 dólares ” 1 L

L .50 .60 .40 De (3) vemos que L₂i donde: 30 000 dólares ” 2 L .60 .40 -10 000 dólares

L2 es una lotería compuesta en la que recibimos 30 000 dólares con una probabilidad de .50 y en la que jugamos con probabilidad .50, una lotería que tiene una probabilidad de .60 de obtener 30 000 dólares y una probabilidad de .40 de obtener -10 000 dólares. De manera mas formal, una lotería L es LOTERÍA COMPUESTA si para alguna i hay probabilidad Pi de que la recompensa que recibe quien toma decisiones es jugar lotería L .A continuación presentamos un ejemplo de una lotería compuesta: .50 -4 dólares L .60 .40 -6 dólares (L’)

Así con la probabilidad Así con la probabilidad .50 L da una recompensa de -4 dólares, y con probabilidad .50 nos hace jugar a L´. Si una lotería no es compuesta, se llama LOTERIA SIMPLE . Regresando a la descripción de L2, observamos que es una lotería que produce una probabilidad de .50 .50(.60) = .80 de dar 30 000 dólares y una probabilidad de .40(.50) = .20 de dar -10 000. Así L₂i L2” Li2 donde: .80 .20 30 000 dólares -10 000 dólares ´ 2 L

Igualmente, con (3) encontramos que L3i L3 donde: .60 .40 30 000 dólares -10 000 dólares ´ 3 L Con (2)vemos que quien toma las decisiones es indiferente al optar entre L4 y L donde: ´ 4 .02 .98 -10 000 dólares ” L .62 .38 30 000 dólares

Fa realidad L4 produce una probabilidad de. 98(. 62) = Fa realidad L4 produce una probabilidad de .98(.62) = .6076 de obtener 30 000 dólares y una de .02 .38(.98) = .3924 de obtener -10 000 dólares. Por lo tanto L4i L4¨ i L4 donde: .6076 .3924 30 000 dólares -10 000 dólares ´ 4 L ´ i Como Li¨ Li podemos clasificar a L₁, L₂, L3 y L4 si categorizamos a L₁, L₂, L3 y L4

Axiomas De Von Neumann-Morgenstern Estos autores demostraron que si las preferencias de una persona satisfacen los siguientes axiomas, entonces dicha persona puede escoger entre, loterías mediante el criterio de conveniencia esperada.

AXIOMA 1 DE ORDENACIÓN COMPLETA Para dos recompensas cualesquiera r1 y r2 debe ser cierta una de las afirmaciones siguientes: quien toma decisiones (l) prefiere r1 a r2 (2) prefiere r2 a r1 o (3) le da lo mismo escoger entre r1 y r2 . También, si la persona prefiere r1 a r2 y prefiere r2 a r3 entonces debe preferir r1 a r3 (transitividad de preferencias).

L r1 AXIOMA 2 DE CONTINUIDAD. L1 1 r2  Si quien loma decisiones prefiere r1 a r2, y prefiere r2 a r3 entonces L1 i L2 para una C (c) < c < l), donde C 1 – C r1 r3 2 L L1 1 r2

AXIOMA 3 DE INDEPENDENCIA. Suponga que a quien toma la decisión le da lo mismo las recompensas r1 y r2. Sea r3 cualquier otra recompensa. Entonces, para toda c(0 < c < 1), L1i, L2, donde;

PROBABILIDAD DESIGUAL. AXIOMA 4 DE PROBABILIDAD DESIGUAL. Suponga que quien toma decisiones prefiere la recompensa r1 y en comparación con r2. si dos loterías solo tienen a r1 y r2 como resultados posibles, quien toma decisiones preferiría la que tenga mayor probabilidad de obtener r1.

AXIOMA 5 DE LOTERÍA COMPUESTA Suponga que cuando se toman en cuenta todos los resultados posibles, una lotería compuesta L da una probabilidad pi (para i = 1, 2,…,n) de recibir una recompensa ri. Entonces L´iL donde L´ es la lotería simple

BIBLIOGRAFÍA WAYNE L. WISTON, INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES, PRÁCTICAS Y ALGORITMOS GRUPO EDITORIAL IBEROAMERICANA PAGINAS: 721 - 728