SISTEMA DE REPRESENTACION SISTEMA DIEDRICO DE MONGE PERPENDICULARIDAD Ing. José GASPANELLO SISTEMA DE REPRESENTACION

Estudiaremos la PERPENDICULARIDAD entre tres tipos de combinaciones Dos planos o rectas son perpendiculares si entre ellos forman un ángulo rectos, o sea un ángulo de 90º, en realidad se forman cuatro ángulos rectos. Estudiaremos la PERPENDICULARIDAD entre tres tipos de combinaciones 1.- ENTRE RECTAS.- 2.- ENTRE RECTAS Y PLANOS.- 3.- ENTRE PLANOS.-

1.- PERPEND. ENTRE RECTAS DEFINICIONES: PARA QUE DOS RECTAS SEAN PERPENDICULARES ENTRE SI, ES CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE QUE SEAN PERPENDICULARES ENTRE SI SUS PROYECCIONES, SOBRE UN PLANO PARALELO A UNA DE ELLAS.-

1.- PERPEND. ENTRE RECTAS Por el punto “A” trazar una recta perpendicular a la recta HORIZONTAL “h”.- PV pv hv 1h 1v Como la recta “hh” es paralela al plano horizontal de proyección el ángulo de 90º se proyectara en verdadera magnitud .- Av Ah L T Entonces por “Ah” trazamos la proyección horizontal de la recta perpendicular “ph”.- ph hh 90º Por “Av” y “1v” trazamos la proyección vertical de la recta perpendicular “pv”.- PH

1.- PERPEND. ENTRE RECTAS Por el punto “A” trazar una recta perpendicular a la recta FRONTAL “f” dada .- PV pv 1h 1v fv Como la recta “fv” es paralela al plano vertical de proyección, el ángulo de 90º se proyectara en verdadera magnitud .- 90º Av Ah L T Entonces por “Av” trazamos la proyección vertical de la recta perpendicular “pv”.- ph Por “Ah” y “1h” trazamos la proyección horizontal de la recta perpendicular “ph”.- fh PH

2.- PERPEND. ENTRE RECTAS Y PLANO PARA QUE UNA RECTA SEA PERPENDICULAR A UN PLANO, ES CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE QUE DEBA SERLO A DOS RECTAS DEL PLANO; EN PARTICULAR LO SERA A UNA RECTA HORIZONTAL Y A OTRA FRONTAL DEL PLANO DADO.- Basta definir entonces, una recta horizontal y otra frontal al plano dado y por ella trazar las perpendiculares desde el punto solicitado.-

2.- PERPEND. ENTRE RECTAS Y PLANO Por el punto “A” trazar una recta perpendicular al plano dado por dos rectas (a y b) que se cortan en el punto “B” PV pv bv av fv 90º Bv Trazamos una recta horizontal “h” y otra frontal “f” que pertenezcan al plano dado .- Bh Av Ah hv Entonces por “Ah” pasamos una recta perpendicular a la proyección horizontal de “hh”, resultando la “”ph”.- L T ph hh bh 90º ah Por “Av” trazamos la una recta perpendicular a la proyección vertical de “fv”, obteniéndose la recta “pv” buscada.- fh PH

2.- PERPEND. ENTRE RECTAS Y PLANO Por el punto “A” trazar una recta perpendicular al plano oblicuo “β” dado por sus trazas.- PV thβ tvβ pv 90º La recta será perpendicular al plano dado por sus trazas cuando sus dos proyecciones sean respectivamente perpendiculares a dichas trazas.- Av Ah L T ph Por lo que por “Av” trazamos una recta perpendicular a la proyección vertical de la “tvβ”, y por “Ah” la perpendicular a la “thβ”.- 90º PH

2.- PERPEND. ENTRE RECTAS Y PLANO Por el punto “A” trazar una recta perpendicular al plano de punta “β” dado por sus trazas.- PV thβ tvβ fv 90º La recta será perpendicular al plano dado por sus trazas cuando sus dos proyecciones sean respectivamente perpendiculares a dichas trazas.- Av Ah L T fh 90º Por lo que por “Av” trazamos una recta perpendicular a la proyección vertical de la “tvβ”, y por “Ah” la perpendicular a la “thβ”.- PH

Por el punto “A” trazar una plano perpendicular a la recta “r” dada.- 2.- PERPEND. ENTRE PLANO Y RECTA Por el punto “A” trazar una plano perpendicular a la recta “r” dada.- PV av fv 90º 1°: SOLUCIÓN: hv Av Ah Trazar por el punto “A”, una recta horizontal y otra frontal perpendiculares a la recta “r” dada.- L T hh De esta forma definimos un plano mediante dos rectas (f y h) concurrentes en “A” y que es perpendicular a la recta dada.- fh ah 90º PH

Por el punto “A” trazar una plano perpendicular a la recta “r” dada.- 2.- PERPEND. ENTRE PLANO Y RECTA Por el punto “A” trazar una plano perpendicular a la recta “r” dada.- PV tv av 90º 2°: SOLUCIÓN: Definiendo un plano mediante sus trazas.- hv Bv Av Ah Para ello trazamos por “A” una recta horizontal del plano, haciendo “hh” perpendicular a ‘ah”.- L T Bh th // hh hh ah La perpendicular por “Bv” a “av” dan la traza vertical del plano buscado.- La traza horizontal del plano es paralela a “hh”.- 90º PH

3.- PERPEND. ENTRE PLANOS PARA QUE DOS PLANOS SEA PERPENDICULARES ENTRE SI, ES CONDICION NECESARIA Y SUFICIENTE QUE UNO DE ELLOS CONTENGA UNA RECTA PERPENDICULAR AL OTRO.- Si por un punto en el espacio trazamos una recta perpendicular al plano β, todos los planos que contengan a la recta, serán perpendiculares al mismo.- β Luego por un punto se podrán trazar infinitos planos perpendiculares a otro.-

3.- PERPEND. ENTRE PLANOS Por el punto “A” trazar un plano perpendicular al plano oblicuo “β” dado por sus trazas.- PV rv thβ tvβ Av Ah 1º-Por el punto A trazamos una recta “r” perpendicular al plano “β” dado.- tvα 90° rh 2º-Obtenemos las trazas de la recta “r” trazada.- L T thα th tv 3º-Hacemos pasar por las trazas de la recta, las trazas del plano del mismo nombre. Por la “th” de la recta pasamos la “thα” del plano.- 90° 4º-Por la “tv” y el punto interseccion de la “th” y la LT trazamos la “tvα”.- PH

3.- PERPEND. ENTRE PLANOS Hacer pasar por una recta “a” un plano perpendicular a otro dado por dos rectas concurrentes “b” y “c”.- PV av bv fv cv dv 1º-Debemos encontrar una recta que sea perpendicular al plano dado y que forme un plano con la recta “a”.- hv Ph Pv 90º L T ch 2º-Definimos entonces una recta horizontal y otra frontal del plano dado.- dh ah hh bh fh 3º-Por el punto “P” perteneciente a la recta “a” trazamos las perpendiculares a la “hh” y a la “fv” del plano dado.- 90º PH

3.- PERPEND. ENTRE PLANOS Resolvamos el mismo problema anterior, pero con el plano dado por sus trazas, o sea: Hacer pasar por una recta “a” un plano perpendicular a otro dado por sus trazas.- PV tvα thα tvβ av Tav bv 90º Ph Pv Tbh Tbv thβ L Tah T 1º-Por el punto “P” de la recta “a” trazamos la perpendicular “b” al plano “α”.- ah bh 90º 2º-Si queremos expresarlo con sus trazas, se determinan luego las trazas del plano “β”, definido por las rectas “a” y “b”.- PH

4.- PERPEND. ENTRE RECTAS DESDE UN PUNTO DADO Trazar por un punto “P” dado, una recta perpendicular a otra recta “a” dada.- a 1º- Para resolver este problema hacemos pasar por el punto “P” un plano “α” perpendicular a la recta “a” dada, definiéndose el punto de intersección “Q”.- Q α P 2º-uniéndose el punto “P” con el “Q” tendremos la recta buscada.-

4.- PERPEND. ENTRE RECTAS DESDE UN PUNTO DADO Veamos en el EPURADO iv PV fv 2h 2v ah av 1º-Por el punto “P” conformamos un plano con una recta horizontal y otra frontal, perpendicular a la recta “a”.- 90º Qv Qh βh βv Ph Pv hv 1h 1v L T 2º-Obtenemos la interseccion del plano con la recta “a” dada, usando un plano vertical auxiliar, resultando el punto “Q”.- hh ih fh 3º-Uniendo el punto “Q” con el punto “P”, obtenemos la recta buscada.- 90º PH

SISTEMA DE REPRESENTACION FIN DE LA CLASE PERPENDICULARIDAD Ing. José GASPANELLO SISTEMA DE REPRESENTACION