Sesión 11.3 Números complejos

Información del curso Tareas: ingresar al Aula Virtual e imprimir. Talleres: Ver horarios en el panel (aula C -12).

Habilidades Define un número complejo. Suma, resta y multiplica números complejos de la forma a + ib. Define el conjugado de un número complejo. Divide números complejos de la forma a + ib. Resuelve ecuaciones cuadráticas y reconoce cuando sus soluciones son complejas. Expresa un número complejo en su forma trigonométrica y binómica.

Habilidades Expresa un número complejo en forma trigonométrica partiendo de la gráfica en el plano complejo. Multiplica, divide, potencia y saca raíces de números complejos en su forma trigonométrica.

Números complejos Un número complejo es cualquier número que puede escribirse en la forma Re Im a bi Z=a+bi donde a y b son reales. El número real a es la parte real, el número b es la parte imaginaria y a + bi es la forma estándar.

Operaciones con números complejos Sean a + bi y c + di son dos números complejos, entonces: Suma: (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i Resta: (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i Considerando que: Multiplicación: (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = (ac - bd) + (ad + bc)i

Ejemplos Escriba la suma o diferencia en la forma estándar. (2 - 3i) + (3 - 4i) (2 + i) - (9i - 3) ( - 3i) + (-2 + ) ( + i2) – (6 - ) Escriba el producto en la forma estándar. (2 - i)(1 + 3i) (5i - 3)(2i +1) ( + 2i) + (6 + 5i) 8.

Conjugado complejo El conjugado complejo del número complejo z = a + bi es: z = a + bi = a - bi Así mismo, el inverso multiplicativo o recíproco de z = a + bi es:

División de números complejos Escriba los números complejos en la forma estándar. 1. a) b) 2. 3. 4.

Soluciones complejas de ecuaciones cuadráticas La solución de la ecuación cuadrática ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales y a ≠ 0, están dadas mediante la fórmula: El radicando b2-4ac es el discriminante, y si este valor es menor que cero, entonces las raíces serán conjugados complejos.

Ejemplos Resuelva: 2. 3. 1.

Trazo de números complejos Trace en el plano complejo u = 1 + 3i, v = 2 - i y u + v. Compárelo con la traza de vectores. u = 1 + 3i Eje real o v = 2 - i Eje imaginario u + v = 3 + 2i o v = 2; -1 y u + v = 3; 2 u = 1; 3 x La aritmética es la misma que la suma de vectores.

Forma trigonométrica de los números complejos Eje imaginario Eje real r=|z| a = r cos  b = r sen z = a +bi La forma trigonométrica del número complejo z = a + bi es Donde: r es el módulo de z y  es un argumento de z r = |z| = |a + bi| =

Ejemplos Determine la forma trigonométrica con 0 ≤  ≤ 2 para el número complejo:  ’ Eje imaginario Eje real  ’ Eje imaginario Eje real

Ejemplos Determine la forma binomial para el número complejo de la forma trigonométrica: c) d) Note el uso de los grados sexagesimales y radianes

Multiplicación y división de números complejos. Sean: Entonces: 1. 2.

Teorema de Moivre Para elevar un número complejo z = r(cos + isen) a una determinada potencia n entera positiva, entonces: Determine mediante el teorema de Moivre: 1. 2.

Raíces de números complejos Para determinar las raíces enésimas de un número complejo Si z = r(cos + isen) Los n números complejos distintos son: donde k = 0, 1, 2, 3, n-1 Son las n-ésimas raíces del número complejo z.

Ejemplos Determine las raíces n-ésimas de las siguientes números complejos y grafíquelos. Raíces cuartas de z = 5(cos(/3) + i sen((/3)). Raíces cúbicas de z = -1. Raíces octavas de la unidad.

Importante Los alumnos deben revisar los ejercicios del libro texto guía. Ejercicios: 6, 10, 16, 22, 24, 30, 36, 42, 50, 58, 66 y 70 de la página 559. Ejercicios: 80, 82 y 84 de la página 560. Sobre la tarea, está publicada en el AV Moodle.