Probabilidades Históricamente, el propósito original de la teoría de probabilidades se limitaba a la descripción y estudios de juegos de azar. Girolamo Cardamo (1501-1576) fué el primero enrelacionar probabilidades con juegos de azar. Elaboró un horóscopo para Eduardo VI pronosticando una larga vida. El rey murió al año siguiente Galileo (1564-1642) trató varios problemas de juegos de dados. Pascal y Fermat hicieron aportes a la teoría tratando de dar solución al denominado problema de 9 puntos (Chevalier de Meré, 1654).

En 1812 Pierre Simon Marquez de Laplace presenta su Théorie Analytique de Probabilités presentó muchas ideas, métodos y resultados acerca de la teoría de probabilidades. El la última mitad del Siglo XIX la escuela Rusa contribuyó enormemente al desarrollo de la teoría con los trabajos de Chebychev, Liapunov y Markov. En el Siglo XX Borel inicia la conexión entre la tería de probabilidades y la teoría matemática, teniendo como seguidores a Khintchine, Kolmogorov, Slutsky, Paul Levy y Fisher, siendo considerado este último como el Padre de la Estadística Moderna.

¿Qué es Probabilidad? En forma muy simple, entenderemos como probabilidad la cuantificación del grado de incerteza (posibilidad) sobre la ocurrencia de un resultado de cierto experimento. Un ejemplo de ello es: “Al lanzar una moneda”, ¿ puedo apostar a que sale cara y ganar?. Dicha cuantificación la expresaremos en cantidades numéricas mayores o iguales a cero y menores o iguales a uno.

Clásico, Frecuentista o Subjetivo ? Clásico: Al realizar un experimento todos los resultados (de este) tienen la misma posibilidad de ocurrir. (EQUIPROBABILIDAD) Frecuentista: Si repetimos infinitas veces un experimento bajo las mismas condiciones ambientales y tabulamos los resultados, la columna de proporciones corresponde a las probabilidades. Subjetivo: La probabilidad de un resultado es asignado según el grado de certeza de un individuo. Dos sujetos distintos asignan probabilidades distintas.

Experimento Aleatorio, Espacio Muestral y Evento. Experimento Aleatorio (E): Es un experimento en el cual no se puede predecir, con certeza, su resultado. Espacio Muestral (): Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Evento o Suceso: es cualquier subconjunto del espacio muestral. Evento Seguro: es aquel evento cuya probabilidad de ocurrencia es 1. Evento Imposible(): es aquel evento cuya probabilidad de ocurrencia es 0.

Axiomática

Propiedades Sean A y B eventos.

Equiprobabilidad Sea A un evento. Se define la probabilidad del evento A como: En la clase de Eyp2214-1 hay 6 mujeres y 23 varones Se han escogido al azar 9 personas para efectuarles una interrogación oral. Indicar la probabilidad de que entre las personas seleccionadas hayan 4 mujeres. Sea A el suceso “resultan 4 mujeres”.

Probabilidad Condicional Sean A y B dos eventos. Se define la probabilidad condional de A dado B {P(A|B)} como: La que debe satisfacer los axiomas 1, 2 y 3. Notemos que al condicionar nuestro espacio muestral es ahora B. Además si A y B son independientes P(A|B)=P(A). Ejemplo: Un estudio aplicado a 200 niños mostró la existencia de dos parásitos (lambias y ascarís). Los resultados son mostrados en la siguiente tabla:

A=“niño tiene ascaris” B=“niño tiene lambias” Probabilidad que un niño tenga solo lambias P(B)=92/200=0.46 Probabilidad que un niño tenga ascaris P(A)=22/200=0.11 Probabilidad que un niño tenga ascarís sabiendo que posee lambias P(A|B)=10/92=0.109 Probabilidad que un niño tenga lambias y ascaris P(AB)=10/200=0.05

Diagrama de Árbol Una urna contiene dos fichas blancas (B) y tres fichas rojas (R). Se extraen dos fichas sin reposición. Describa el espacio muestral. P(B|B) P(B) P(R|B) P(B|R) P(R) ¿Con reposición? P(R|R)

Teorema de Probabilidades Totales Ejemplo: Un alumno acaba de matricularse en la PUC La probabilidad que se reciba es de 0.85 si obtiene beca y 0.45 si no la obtiene. Si la probabilidad de obtener una beca es de 0.3 ¿Cuál es la probabilidad que este alumno se reciba?. Sea R=“se recibe” y B=“recibe beca”.

Teorema de Bayes Suponga que estamos bajos las mismas condiciones del teorema de probabilidades totales. Nos interesa poder calcular la probabilidad de que ocurra el i-ésimo elemento de la partición dado que observamos la ocurrencia del evento B Si en el ejemplo anterior nos interesa conocer la probabilidad de que al postulante se le hubieran dado beca, sabiendo que se recibió.

Variables Aleatorias Cuando se realiza un experimento no se está interesado en sus posibles resultados en término de eventos, si no más bien importan números asociados a estos resultados Ejemplo: Se lanza una moneda dos veces. Nos interesa determinar el número de caras que se obtienen como resultado y sus respectivas probabilidades de ocurrencia.