Física del Radar de alta frecuencia para aplicaciones marinas. Primera presentación de Tópicos 2 Fabián A. Torres Ruiz Profesor: Sr. Dante Figueroa

Primera Presentación, Física del mar: Programación. Primera Presentación, Física del mar: Introducción a las corrientes marinas Fuerzas externas Fuerzas internas Ecuación del momentum Dispersión de ondas electromagnéticas en el océano

Introducción a las corrientes marinas Fuerzas actuando sobre una masa de agua. Introduciremos el operador derivada convectiva: Este operador nos entrega la razón total de cambio de la parcela de fluido.

Fuerzas externas Como la Tierra es un sistema no inercial, debemos considerar el efecto del Spin el cual introduce dos fuerzas ficticias, la fuerza de Coriolis y la fuerza centrífuga La aceleración para un cuerpo en un marco de referencia no inercial vista desde otro inercial queda expresada como:

El potencial total causado por la gravedad sobre una parcela de fluido es: donde g es el potencial gravitacional, c es el potencial centrifugo y t es el potencial causado por las mareas .

La otra gran fuente de influencia sobre el océano son los llamados gradientes de presión que producen una fuerza por unidad de volumen de la forma:

Fuerzas internas Ahora, si consideramos a las fuerzas internas del fluido, se tienen las fuerzas viscosidad, para las cuales se necesita un tratamiento especial ya que se deben hacer consideraciones de tipo estadístico para modelar el problema de la turbulencia. Para ello se utilizan habitualmente dos modelos: El modelo de Prandtl El modelo de Reynolds

Antes de introducirnos a los modelos Prandtl y Reinolds debemos introducir el llamado Tensor de Esfuerzos Turbulentos que resumen las fuerzas por viscosidad, presión y expansión que actúan sobre una unidad de área de fluido. Las componentes de este tensor son de la forma: El primer subíndice indica la componente de la corriente. El segundo indica la dirección en que varía la velocidad.

Teoría de la longitud de mezcla o modelo de Prandtl El modelo de Prandtl es adecuado para el análisis de la turbulencia en las proximidades de los bordes de un fluido donde se supone viscosidad isotrópica. Si suponemos que las propiedades de un fluido las podemos separar en una parte fluctuante mas una parte promedio, entonces para la velocidad, mediante este modelo, la parte fluctuante queda como:

Así, el coeficiente del tensor de esfuerzos turbulentos queda como Experimentalmente se sabe que l=k z, donde k es la constante de Karman de valor 0.4, y z es la distancia al borde.

Tensiones turbulentas de Reynolds En este modelo, se supone que las tensiones de Reynolds dependen linealmente de las derivadas espaciales de las componentes de la velocidad del flujo de gran escala. Así las componentes del tensor adoptan la forma:

Finalmente, si queremos obtener una forma explícita de las fuerzas internas, se tiene que:

Ecuación de continuidad Si consideramos un elemento de volumen, podemos estudiar la acumulación de masa en este. La cantidad de masa que entra por la cara (dx,0,dz) es: La cantidad que sale por la cara (dx,dy,dz)es: u dz dx dy

Así, la acumulación de masa por esta cara es: Ahora, si consideramos la contribución de todas las caras se tiene la variación local del cambio de densidad. Así la ecuación de continuidad la escribimos como: o en forma alternativa con la derivada convectiva:

La ecuación del momentum Ahora, podemos escribir una ecuación general que describe en gran parte los movimientos de las masas de agua en la Tierra. Esta es la ecuación del momentum y tiene la forma:

Dispersión de ondas electromagnéticas Cuando una onda electromagnética pasa de un medio a otro, es parcialmente reflejada y parcialmente transmitida. De las ecuaciones de Maxwell podemos escribir una ecuación que relaciona a los campos eléctricos y magnéticos como: Desarrollando este término y considerando que la divergencia del campo magnético es cero, se tiene que:

Esta es la ecuación de una onda amortiguada Esta es la ecuación de una onda amortiguada. Para valores pequeños de  se puede escribir que: Que es la ecuación de una onda con velocidad de propagación: Para estudiar la dispersión de ondas electromagnéticas es necesario recurrir al teorema de la divergencia:

Podemos elegir como función de Green la función: Si reemplazamos esta función en la ecuación de Helmholtz inhomogénea: y la reemplazamos en el teorema de Green se tiene que:

Ahora, dividimos la superficie de integración en dos partes, una superior llamada S, , y la otra al nivel del mar llamada S0. En S0 la corriente inducida en el punto x’ se debe tanto al campo incidente como al campo dispersado desde los puntos cercanos a x’. Así se tiene que el campo total en el punto x’ es: donde Bi esta integrado sobre S y Bs sobre S0

Aproximación de Kirchhoff Suponemos que los efectos de campo cercano son despreciables. Los ángulos de incidencia y dispersión se miden con respecto a la vertical. Podemos escribir de la figura que: La aproximación de Kirchhoff consiste en despreciar la diferencia entre r y R de modo que se pueda escribir la función de Green como:

Si L(x’,y’) representa la superficie iluminada, se llega a escribir para el campo dispersado: en que  representa la forma de la superficie del área iluminada y a y b son términos geométricos, dependientes del ángulo de dispersión. En este caso se ha cambiado la integral de la superficie del océano a una de el nivel del mar.

Sección eficaz de la superficie del océano Definimos la sección eficaz biestática de dispersión por unidad de área como la normalización del flujo de energía dispersado por unidad de área del mar desde un ángulo incidente i , entre los ángulos s y s , y observado a una gran distancia. Una integral aproximada para la sección eficaz está dada por:

Ahora, debemos considerar un caso especial de utilización de esta formula. Se trata de la llamada teoría de las pequeñas perturbaciones o Teoría de Bragg

Teoría de las pequeñas perturbaciones (Teoría de Bragg) Cuando la longitud de onda de una onda electromagnética es grande comparada con la altura de la superficie del agua con respecto al nivel de equilibrio, se puede considerar que la superficie es poco rugosa. Para poder aplicar este modelo, se debe cumplir que:

La dispersión de Bragg se produce cuando las olas viajan paralelas o perpendicularmente a la línea del rayo. La sección eficaz queda expresada como: Aquí, las cantidades S( 2k sen(i ),0) son los valores del espectro del número de onda bidimensional evaluado en los vectores de onda de Bragg positivos y negativos.

Los coeficientes ghh y gvv son los coeficientes de Fresnel modificados que para la transmisión y recepción vertical y horizontal respectivamente son

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