FUNCIONES LINEALES

FUNCIONES LINEALES y=f(x) Sea la ecuación y = x , y = 2.x , y = 3.x , y = x / 2 , etc... Todas las ecuaciones anteriores tienen la forma: y = m.x donde m es un número real y se llama pendiente. Todas las funciones que se pueden expresar de la forma f(x) = m.x Reciben el nombre de FUNCIONES LINEALES, porque su gráfica es una línea recta. Se llaman también de primer grado porque su polinomio característico es de primer grado: f (x) = Polinomio de primer grado. f (b) f (a) α 0 a b x El ángulo α es la inclinación de la recta. La pendiente es m = tg α Pues: m = [f(b)-f(a)]/(b-a) = f(a) / a

FUNCIONES AFINES Sean las ecuaciones y = 2x , y = 2x + 3 , y = 2x - 4 Todas las ecuaciones anteriores tienen la forma: y = m.x + n donde m, la pendiente, es la misma. Representadas gráficamente vemos que nos dan rectas PARALELAS. La diferencia entre ellas es el valor de n, llamada ordenada en el origen, por ser el valor que toma y cuando x=0 f (0) = n Todas las funciones que se pueden expresar de la forma: f (x) = m.x + n Reciben el nombre de FUNCIONES AFINES y=f(x) α f (a) α 0 a x α m = tg α = f(a) / a

m = (y2 - y1) / (x2 - x1) PENDIENTE Sabemos que la pendiente de una recta es: m= tag α Siendo α el ángulo que forma con el eje de abscisas. Si conocemos dos puntos por donde pasa la recta: tag α = (y2 - y1)/(x2 - x1) O sea: m = (y2 - y1) / (x2 - x1) y=f(x) Q(x2,y2) y2 y2,- y1 P(x1,y1) y1 α x2,- x1 0 x1 x2 x

PASO DE TABLA A EXPRESIÓN Ejemplo: Una función lineal viene dada, entre otros, por dos puntos: P1=(4, 3), P2=(5, -7) Obtener su expresión algébrica. Resolución: Como y=[f(x)]=mx+n 3=m.4 +n -7=m.5+n Por Reducción: -7-3 = 5m+n – 4m –n - 10 = m ,, m= -10  n = 3-4m = 3+40=43 Luego: f(x) = -10.x + 43 Tabla de valores x y 4 3 5 -7 Expresión f (x) = -10.x + 43

CASUÍSTICA Todas las funciones que se pueden expresar como y = mx + n son líneas rectas. Veamos algunas particularidades: Si m= 0 y = n  Función constante. Recta paralela al eje de abscisas. Si n=0 y m = 1 y = x  Bisectriz del primer cuadrante. Si n=0 y m = -1 y = - x  Bisectriz del segundo cuadrante. Si es de la forma x = k Recta paralela al eje de ordenadas. x = k NO es una función. y=f(x) y = 5 y = - x y = x 0 x x = 4

y = m (x - xo) + yo EJEMPLO ECUACIÓN PUNTO-PENDIENTE Si de una recta conocemos su pendiente, m, y un punto por donde pasa, (xo,yo), su ecuación puede ponerse de la forma: y – yo = m.(x – xo) O sea: y = m (x - xo) + yo EJEMPLO Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P(3, -2) y tiene de pendiente m= -5. y – (-2) = - 5 (x – 3) y + 2 = - 5.x + 15 y = [ f(x) ] = – 5.x + 13 y=f(x) P(xO,yO) y0 0 x0 x

Ejercicios de Gráficos 1.- Sea la función y=x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. y Tabla de valores x y -2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2 2 3 3 Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente. -2 -1 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 x

Ejercicios de Gráficos 2.- Sea la función y= 3x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. y Tabla de valores x y -2 -6 -1 -3 0 0 1 3 2 6 3 9 Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente. -6 -3 3 6 9 -6 -3 0 3 6 x

Ejercicios de Gráficos 3.- Sea la función y=-2x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. y Tabla de valores x y -2 4 -1 2 0 0 1 -2 2 -4 3 -6 Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y, luego la función es decreciente. -6 -4 -2 2 4 6 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x

Ejercicios de Gráficos 4.- Sea la función y= 2 - x Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. y Tabla de valores x y -2 4 -1 3 0 2 1 1 2 0 3 -1 Al aumentar el valor de x disminuye el valor de y, luego la función es decreciente. -2 -1 1 2 3 -2 -1 0 1 2 3 x

Ejercicios de Gráficos 5.- Sea la función y= x/2 - 3 Hacer una tabla de valores y dibujarla. Indicar si es creciente o decreciente. y Tabla de valores x y -4 -5 -2 -4 0 -3 2 -2 4 -1 6 0 Al aumentar el valor de x aumenta el valor de y, luego la función es creciente. -4 -2 0 2 4 6 x -5 -4 -3 -2 -1 1

MATERIAL COMPLEMENTARIO http://www.x.edu.uy/lineal.htm http://www.vitutor.com/fun/2/r_e.html https://www.youtube.com/watch?v=OF6BFB3K9mw http://matematicasmodernas.com/funciones-lineales-ejemplos/