INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Universidad Central de Venezuela Facultad de Ciencias Económicas y Sociales Escuela de Sociología Departamento de Estadística INTRODUCCIÓN A LA PROBABILIDAD Prof. Simón Cabrera Prof. Edmundo Pardo

I. CONCEPTOS BÁSICOS El estudio de fenómenos de diversa naturaleza permite clasificar éstos en dos grandes grupos: Fenómenos determinísticos: aquellos en los cuales una misma acción produce siempre el mismo efecto. Fenómenos probabilísticos o aleatorios: aquellos en los cuales no siempre puede predecirse con certeza el resultado de una misma acción.

¿QUÉ ES INCERTIDUMBRE? La falta de conocimiento cierto de las cosas es la mayor fuente de ansiedad para el hombre y es natural su deseo de remediarla. La carencia de certeza o de conocimiento cierto de la ocurrencia de determinados eventos, lleva a correr ciertos riesgos en las decisiones esto es incertidumbre y es ahí donde el uso de las probabilidades es de gran ayuda para minimizarlos. “Es una verdad cierta que, cuando no está en nuestra mano distinguir las opiniones verdaderas, debemos seguir las más probables”. (Descartes)

1.- Experimento Aleatorio (E) Es un fenómeno empírico que repetido bajo las mismas condiciones, no siempre arroja el mismo resultado. Características Es repetible: se puede realizar u observar en forma indefinida (n veces) en las mismas condiciones. Se conocen a priori los resultados posibles: se puede conocer o delimitar el conjunto de todos los resultados posibles, aun cuando no se puede predecir el resultado particular en una realización del experimento. Presenta regularidad estadística: si el experimento se repite pocas veces los resultados parecen mostrar un comportamiento caótico, mientras que al repetirlo un gran número de veces se puede detectar cierta regularidad en el comportamiento de los resultados.

Ejemplos Analizar 5 solicitudes de crédito y registrar el número de las que resultaron aprobadas. Analizar solicitudes de crédito hasta que por primera vez se obtenga una solicitud aprobada. Observar durante 1 h una taquilla de cierta agencia bancaria y registrar el número de personas que realizan por lo menos una operación. Hacer un pedido para reponer inventario y registrar el tiempo (en días) que tardamos en recibirlo. El desarrollo de cada uno de estos ejemplos se le denomina experimento aleatorio.

Se puede agregar que ninguno de los experimentos anteriores son determinísticos sino probabilísticos o aleatorios, por lo tanto, es necesario el uso de otros métodos para su estudio, de ahí la importancia de la denominada Regularidad Estadística: Si se recogen los datos relativos al nacimiento de los niños en una maternidad a lo largo del tiempo y se registra el género de cada uno, se obtendrá una serie estadística como la observada en el gráfico estabilizada en 0,52 para el caso de las hembras. Si se lanza un gran número de veces una moneda, se observará que se obtendrá aproximadamente, el mismo número de caras (C) y de sellos (S) es decir, que se podrá predecir la proporción de C y de S en una gran serie de repeticiones, estabilizada en 0,50.

Número de observaciones (n) del suceso Si se quiere hacer visible la estabilidad de las frecuencias en los experimentos anteriormente considerados, se puede construir la representación gráfica siguiente: Nacimiento de hembras Resultado: sellos (S) Frecuencia del suceso hi (%) Número de observaciones (n) del suceso

2.- Espacio Muestral (S) Clasificación Es el conjunto no vacío formado por todos los resultados posibles y razonables de un experimento aleatorio. Clasificación Finito: cuando el espacio muestral es un conjunto de eventos numerable. Infinito: cuando el espacio muestral es un conjunto eventos no numerable.

EXPERIMENTO ALEATORIO Ejemplos EXPERIMENTO ALEATORIO ESPACIO MUESTRAL Analizar 5 solicitudes de crédito y registrar el número de las que resultaron aprobadas. S= {0,1,2,3,4,5} Analizar solicitudes de crédito hasta que por primera vez se obtenga una solicitud aprobada. S= {a, ra, rra,rrra,…,rrrrrrrrrra} a: aprobada, r: rechazada Observar durante 1 h una taquilla de cierta agencia bancaria y registrar el número de personas que realizan por lo menos una operación. S= {0,1,2,3,4,5,…,n} n: total de personas Hacer un pedido para reponer inventario y registrar el tiempo (en días) que tardamos en recibirlo. S={t: t N}

3.- Suceso o Evento Es cualquier subconjunto de resultados posibles y razonables de un experimento aleatorio. Si en una realización del experimento aleatorio se satisfacen las condiciones que definen un suceso, se dice que ha ocurrido dicho suceso. Tipos Simples: son sucesos indivisibles; es decir, aquellos que están compuestos por un solo punto muestral. Ejemplo: en el experimento aleatorio lanzar un dado, cualquiera de los lados del dado es un suceso simple.

Compuestos: son sucesos formados por dos o más sucesos simples Compuestos: son sucesos formados por dos o más sucesos simples. Es cualquier subconjunto no unitario del espacio muesral. Ejemplo: en el experimento aleatorio lanzar un dado, el suceso “que salga un número par” es compuesto. Mutuamente excluyentes: son sucesos disjuntos; esto es su intersección es el conjunto vacío. Ejemplo: en el experimento aleatorio aplicar un examen a un estudiante, los sucesos “obtener una nota sobresaliente” y “aplazar la prueba” son mutuamente excluyentes (mex). No se presenta la simultaneidad.

Colectivamente Exhaustivos: dos sucesos A y B son colectivamente exhaustivos si la unión de ellos es el espacio muestral. Seguros: Son aquellos que coinciden con el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Imposible ( ): es aquel que no ocurre nunca; esto es, el conjunto vacío. Por ejemplo, si al lanzar un dado común se puede obtener un 7. Contrario (A): es aquel que ocurre cuando no ocurre el suceso A. Por ejemplo, Si P (lluvia)= 0,40, entonces P (no lluvia)= 1-P (lluvia)= 0,60

a: aprobada, r: rechazada Ejemplos SITUACIÓN PARTICULAR RESULTADOS POSIBLES El número de solicitudes de crédito aprobadas es superior a 3. A= {4,5} Analizar máximo 4 solicitudes de crédito hasta que por primera vez una solicitud sea aprobada. B={a,ra,rra,rrra} a: aprobada, r: rechazada Registrar entre 3 y 7 personas que realizan por lo menos una operación. C = {3,4,5,6,7} El tiempo que tardamos en recibir el pedido es inferior a 3 días. D ={ t:0<t<3 } A cada conjunto de resultados posibles, asociado a las situaciones particulares, se le denomina suceso

II. CONCEPTO DE PROBABILIDAD Los experimentos aleatorios producen resultados inciertos y la probabilidad es una medida de la incertidumbre. Sin embargo, la incertidumbre es de naturaleza muy diferente según lo sea el experimento. No existe un acuerdo total entre los estudiosos de la probabilidad al respecto, por lo que se pueden identificar tres grandes enfoques del pensamiento probabilístico. A continuación, se exponen los principios generales de cada una de éstos, sin tomar partido a favor de alguno en particular.

1.- Enfoque Clásico o a priori Está basado en el concepto de equiprobabilidad del espacio muestral y fue introducido por Laplace. El cálculo de la probabilidad bajo la concepción clásica, se realiza mediante la siguiente regla. Regla de Laplace: La probabilidad de un suceso A es igual al cociente del número de casos favorables al suceso, sobre el número total de casos posibles.

Ejemplos En el lanzamiento de una moneda perfecta la probabilidad de cara debe ser igual que la de sello y, por tanto, ambas iguales a 1/2. La probabilidad de cada uno de los seis sucesos elementales asociados al lanzamiento de un dado común (no cargado) debe ser 1/6.

2.- Enfoque Frecuentista o a posteriori Esta Ley propuesta por Bernoulli, plantea que la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarse en torno a un número, a medida que el número de pruebas del experimento crece indefinidamente. Así bajo la concepción frecuentista, si se repite un experimento indefinidamente, la probabilidad de un suceso A es un número ideal al que se aproxima su frecuencia relativa cuando el total de repeticiones tiende a infinito. Siendo NA la frecuencia absoluta del suceso A.

Ejemplo Se elaboró la siguiente tabla con los 5946 empleados de cierta institución financiera, según su nivel de ingreso: NIVEL DE INGRESO (Bs.) NÚMERO DE EMPLEADOS PORCENTAJE Menos de 500.000 2136 36,0 500.000-999.999 1548 26,0 1.000.000-1.499.999 1202 20,2 1.500.000-1.999.999 648 10,9 2.000.000 o más 412 6,9 Total 5946 100,0

¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado sea menor de Bs. 500.000? Solución: 36,0% ¿Cuál es la probabilidad de que el ingreso de un empleado sea Bs. 1.500.000 o más? Solución: 17,8%

3.- Enfoque Subjetivo Ejemplo La Probabilidad de ocurrencia de un suceso es cuantificada por una persona (o un grupo de personas) catalogada (s) como experta (s) utilizando la información que posee (n). Ejemplo Un ingeniero de transporte a cargo de un nuevo sistema de circulación, expresa que la probabilidad que el sistema funcionará correctamente el 80,0% de las veces. Con base en esta convicción, ¿cuál es la probabilidad de que el sistema funcione apropiadamente? Solución: 80,0%

Definición Axiomática de Kolmogorov Dado un experimento aleatorio cualquiera (E) que tiene asociado un espacio muestral (S), se llama probabilidad P (A) que asigna a cada suceso o evento (A) un número real. Tal que satisfaga con las siguientes propiedades o axiomas: Axioma 1: Axioma 2: P(S)=1 Axioma 3: Si dos sucesos A y B son mutuamente excluyentes (mex) entonces P (AUB)=P(A) +P(B) Axioma 4: Si A1, A2,…,A4 son sucesos o eventos mex dos a dos entonces, , conocida como regla aditiva para sucesos o eventos mex.

Teoremas Fundamentales Si A es el conjunto vacio entonces su probabilidad es cero. Es decir, Teorema 2 Si A es un evento y A su complemento, entonces, Teorema 3 Sean A y B dos sucesos mutuamente No Excluyentes de un espacio muestral (S), entonces,

Teoremas Fundamentales Si Por ser todo conjunto subconjunto de si mismo. Leyes a.- Ley de Probabilidad Condicional Sea S un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sean Ay B dos sucesos cualesquiera de S, tales que P(B) = 0. Se define la probabilidad condicional de A dado B, P(A/B), como:

Leyes b.- Ley Multiplicativa para Sucesos o Eventos Independientes. Sea S un espacio muestral asociado a un experimento aleatorio. Sean A y B sucesos de S. Se dice que A y B son sucesos independientes si y sólo si: o Ejemplo: Si P (A/B)= 0,20 y P (A)= 0,20, entonces A y B son sucesos independientes.

c.- Ley Multiplicativa para Sucesos o Eventos Dependientes. Partiendo de la definición de probabilidad condicional, podemos obtener la probabilidad de la intersección mediante la siguiente regla: Considerando que P (B/A) = P (B) En el caso de la intersección de tres sucesos,