Fundamentos de Física Moderna Mecánica Cuántica Andrés Camilo Suárez Leaño 18/06/2015

Ecuación de Schrodinger -Concepto de Sistema Cuántico Contenido Función de onda Energía (n)

Ecuación de Schrodinger La ecuación de Schrödinger, desarrollada por el físico austríaco Erwin Schrödinger en 1925, describe la evolución temporal de una partícula masiva no relativista. Es de importancia central en la teoría de la mecánica cuántica, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda ley de Newton en la mecánica clásica. Las partículas microscópicas incluyen a las partículas elementales, tales como electrones, así como sistemas de partículas, tales como núcleos atómicos.

Con el avenimiento de la mecánica cuántica en 1927, se articularon la hipótesis de Louis de Broglie y el principio de indeterminación de Heisenberg.  Para aplicar el carácter ondulatorio del electrón, se define una función de onda, y, y utilizando la ecuación de onda de Schrödinger, que matemáticamente es una ecuación diferencial de segundo grado, es decir, una ecuación en la cual intervienen derivadas segundas de la función Y : Al resolver la ecuación diferencial, se obtiene que la función y depende de una serie de parámetros, que se corresponden con los números cuánticos, tal y como se define en el modelo atómico de Bohr. La ecuación sólo se plasmará cuando esos parámetros tomen determinados valores permitidos (los mismos valores que se indicaron para el modelo de Bohr).  Por otro lado, el cuadrado de la función de ondas y2, corresponde a la probabilidad de encontrar al electrón en una región determinada, con lo cual se está introduciendo en el modelo el principio de incertidumbre de Heisenberg.Por ello, en este modelo aparece el concepto de orbital (región del espacio en la que hay una alta probabilidad de encontrar al electrón) No debe confundirse el concepto de orbital con el de órbita, que corresponde al modelo de Bohr: una órbita es una trayectoria perfectamente definida que sigue el electrón, y por tanto es un concepto muy alejado de la mecánica probabilística.

Función de onda A principios de la década de 1930 Max Born que había trabajado junto con Werner Heisenberg y Pascual Jordan en una versión de la mecánica cuántica basada en el formalismo matricial alternativa a la de Heisenberg apreció que la ecuación de Schrödinger compleja tiene una integral de movimiento dada por  que podía ser interpretada como una densidad de probabilidad. Born le dio a la función de onda una interpretación probabilística diferente de la que De Broglie y Schrödinger le habían dado, y por ese trabajo recibió el premio Nobel en 1954. Born ya había apreciado en su trabajo mediante el formalismo matricial de la mecánica cuántica que el conjunto de estados cuánticos llevaba de manera natural a construir espacios de Hilbert para representar los estados físicos de un sistema cuántico. De ese modo se abandonó el enfoque de la función de onda como una onda material, y pasó a interpretarse de modo más abstracto como una amplitud de probabilidad. En la moderna mecánica cuántica, el conjuntode todos los estados posibles en un sistema se describe por un espacio de Hilbert complejo y separable, y cualquier estado instantáneo de un sistema se describe por un "vector unitario" en ese espacio (o más bien una clase de equivalencia de vectores unitarios). Este "vector unitario" codifica las probabilidades de los resultados de todas las posibles medidas hechas al sistema. Como el estado del sistema generalmente cambia con el tiempo, el vector estado es una función del tiempo. Sin embargo, debe recordarse que los valores de un vector de estado son diferentes para distintas localizaciones, en otras palabras, también es una función de x (o, tridimensionalmente, de r). La ecuación de Schrödinger da una descripción cuantitativa de la tasa de cambio en el vector estado.

En mecánica cuántica, el estado en el instante t de un sistema se describe por un elemento   del espacio complejo de Hilbert — usando la notación bra-ket de Paul Dirac.  representa las probabilidades de resultados de todas las medidas posibles de un sistema. La evolución temporal de  se describe por la ecuación de Schrödinger :

Energia Los operadores que aparecen en la ecuación de Schrödinger son lineales; de lo que se deduce que toda combinación lineal de soluciones es solución de la ecuación. Esto lleva a favorecer la búsqueda de soluciones que tengan un gran interés teórico y práctico: al saber los estados que son propios del operador hamiltoniano. Estos estados, denominados estados estacionarios, son las soluciones de la ecuación de estados y valores propios, denominada habitualmente ecuación de Schrödinger independiente del tiempo. El estado propio  está asociado al valor propio , escalar real que corresponde con la energía de la partícula en dicho estado. Los valores de la energía pueden ser discretos como las soluciones ligadas a un pozo de potencial (por ejemplo nivel del átomo de hidrógeno); resultando una cuantización de los niveles de energía. Estas pueden corresponder también a un espectro continuo como las soluciones libres de un pozo de potencial (por ejemplo un electrón que tenga la suficiente energía para alejarse al infinito del núcleo de átomo de hidrógeno). A menudo se obtiene que numerosos estados  corresponden a un mismo valor de la energía: hablamos entonces de niveles de energía degenerados. De manera general, la determinación de cada uno de los estados propios del hamiltoniano, , y de la energía asociada, da el estado estacionario correspondiente, solución de la ecuación de Schrödinger :