P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera1 Repaso de clase anterior Distribución de Poisson como aproximación de la Bin(n,p) cuando n es muy grande y p es muy chico. Propiedades función de distribución Distribuciones AC.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera2 Ejemplos de distribuciones AC a) Distribución normal o gaussiana. Una variable X se dice normal (gaussiana) standard (típica) ( X ~ N(0,1)) cuando la densidad de X es la “campana de Gauss” Llamaremos Φ a la distribución asociada φ(t) = exp(-t 2 /2) / ((2π) (1/2) )

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P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera5 Se dice que X~N(μ,σ 2 ) si (X- μ)/σ ~N(0,1)

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera6 N(μ,σ 2 ): probabilidad de estar a menos de kσ de μ, para k=1,2,3

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera7 Cálculo con distribuciones normales y uso de tablas. Si bien la función de distribución normal está incorporada en todo software de manejo de datos (por ejemplo, en el EXCEL), de todos modos conviene repasar cómo se calculan probabilidades con distribuciones normales. El procedimiento consta de dos pasos: i)Standarización (reducción al caso N(0,1)) ii)Uso de la tabla normal standard

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera8 i) Standarización. Aquí usamos que X~N(μ,σ 2 ) si y sólo si (X- μ)/σ ~N(0,1) y que sumas en los dos términos de una desigualdad no la alteran, al igual que multiplicaciones por números positivos (si se multiplica por un negativo se invierte el sentido de la desigualdad). Así, por ejemplo si a < b, se tiene: {a<X<b}={ (a- μ)/σ < (X- μ)/σ < (b- μ)/σ } y por ende P(a<X<b)=P( (a- μ)/σ < (X- μ)/σ < (b- μ)/σ )= (usando (X- μ)/σ ~N(0,1) ) Φ((b- μ)/σ ) - Φ((a- μ)/σ )

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera9 ii) Uso de la tabla normal standard.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera10 La lectura directa de la tabla consiste en, dado x, hallar Φ(x). Así, por ejemplo Φ(2.31)= Para valores negativos de x, usar que, por simetría de la densidad gaussiana típica (igualdad de áreas amarillas): Φ(-x)= 1- Φ(x) Así, por ejemplo Φ(-0.67)= 1- Φ(0.67)= 1-0,7486=0,2514.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera11 La lectura inversa de la tabla consiste en, dado un valor p en (0, 1) hallar el valor x=z p tal que el área amarilla sea p, o sea: Φ(z p )= 1-p OBSERVACION: tanto en lectura directa como inversa, para valores que no aparecen en la tabla se usa interpolación lineal. Así por ejemplo z 0.05 =1.645, ya que Φ(1.64)= 0.945, Φ(1.65)= y 0.95=( )/2, por lo que z 0.05 =( )/2=1.645

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera12 Ejemplo de cálculo: Supongamos que X~N(1.5,4) (o sea μ=1.5, σ 2 =4, luego σ=2) y que queremos calcular: P(0.16<X<6.12) Como vimos en el slide 8, P(0.16<X<6.12)= Φ(( )/2) - Φ(( )/2 )= Φ(2.31) - Φ(-0.67) = (ver slide 10) = 0,7382. Por ende: P(0.16<X<6.12)=0,7382.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera13 b) Distribución de Cauchy Una variable X se dice Cauchy standard (típica) ( X~C(0,1)) cuando la densidad de X es Es fácil corroborar que la distribución asociada a f es F(t)= (1/π )(arctg(t) + π/2) Se dice que X ~ C( μ, σ 2 ) si (X- μ )/ σ ~ C(0,1). Es interesante comparar la Cauchy con la gaussiana f(t)= ( π(1+ t 2 )) (-1)

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P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera15 En la Cauchy son mucho más probables que en la normal los “outliers” o “valores raros” Por ejemplo: t P(|X|>t) N(0,1) C(0,1) E Valores “raros” pueden ser indicio de que es preferible un modelo Cauchy a uno gaussiano.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera16 c) Distribución Uniforme. Una variable X se dice Uniforme en [0,1] ( X~U([0,1]) ) cuando la densidad de X es Se dice que X es Uniforme en [a,b] ( X ~ U([ a,b] )) si (X- a )/ (b-a) ~ U([0,1]). Las U([a,b]) coresponden, intuitivamente, a “sortear con equiprobabilidad un número real entre a y b”. f(t)= 1 si t  [0,1]; 0 si no

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera17 Sumamente importante: en todos los programas de cálculo y paquetes estadísticos, hay una función que genera “números aleatorios”. Al ejecutar esa función lo que se obtienen son (en una razonable aproximación) variables U([0,1]) independientes entre sí. Este hecho jugará un rol crucial para una herramienta muy valiosa que veremos más adelante: la Simulación de experimentos y el Método de Monte Carlo. Por ejemplo, en el EXCEL 2000 esta función (volátil) es : RAND()(en las versiones en español, ALEAT(); en algunas versiones es RANDOM() y ALEATORIO())

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera18 La siguiente es una lista de 10 números aleatorios generada por el EXCEL.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera19 Un modelo de “no-envejecimiento”: La distribución exponencial (o de Mirtha Legrand) Si T es el tiempo de vida de un aparato o sistema donde el “envejecimiento” no es significativo como causa de muerte o ruptura, entonces T debe cumplir que para todo t y s>0, (Si duró hasta t, que dure s instantes más, es como durar desde el principio s) P(T>t+s/T>t)=P(T>s)

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera20 Esto se traduce en que P(T>t+s)=P(T>t)P(T>s) para todo t, s>0 y de aquí puede deducirse que P(T>t)= exp(-λ t) para todo t>0, donde λ >o es un parámetro a determinar

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera21 F T (t)=0 si t≤0, F T (t)=1- exp(-λ t) si t>0 f T (t)=0 si t≤0, f T (t)= λ exp(-λ t) si t>0 O sea que T tiene distribución y densidad Una tal distribución se llama Exponencial de parámetro λ.

P y E 2012 Clase 6Gonzalo Perera22 Pronto veremos como estimar el parámetro desconocido λ a partir de datos empíricos y seremos capaces de manejar de manera completa un tal modelo.