Radiación del cuerpo negro: Modelos y arreglos experimentales Juan Pablo Sánchez Grupo 1-31 Fundamentos de Física Moderna Universidad Nacional de Colombia

¿En qué consiste la radiación de un cuerpo negro? La "Radiación de cuerpo negro" o "radiación de cavidad" se refiere a un objeto o sistema capaz de absorber toda la radiación que recibe y de re-irradiarla como un tipo de energía característica del mismo. La energía irradiada puede considerarse que está producida por ondas estacionarias, o modos resonantes de la cavidad. Figura 1: De izquierda a derecha, Joseph Stefan, Ludwig Boltzmann, Wilhelm Wien, John William Strutt (tercer barón Rayleigh) y James Jeans.

Ley de Stefan - Boltzmann La energía irradiada por un radiador de cuerpo negro por segundo, por unidad de superficie, es proporcional a la cuarta potencia de la temperatura absoluta y está dada por: La fórmula de Stefan-Boltzmann también está relacionada con la densidad de energía en la radiación hacia un volumen de espacio determinado. Para objetos calientes distintos a los radiadores ideales, la ley se expresa de la siguiente forma: Donde ℓ es la emisividad del objeto (ℓ = 1 para el radiador ideal). Si el objeto caliente está irradiando energía hacia un entorno mas frío, que se encuentra a una temperatura Tc, la tasa de pérdida de radiación neta es igual a: Figura 2: Energía total emitida por un cuerpo negro, proporcional a su temperatura termodinámica.

Ley del desplazamiento de Wien La posición del máximo en el espectro de la radiación del cuerpo negro depende de la temperatura del cuerpo negro y está dado por la ley de desplazamiento de Wien. Calculando la primera derivada de la función de la distribución de Planck expresada en términos de la longitud de onda o de la frecuencia, se tiene que: Obteniendo la ecuación trascendente: Figura 2: Espectro de radiación de un cuerpo negro. Este resultado constituye la ley de desplazamiento de Wien, que establece que el máximo de la densidad de energía dEl /dl por unidad de longitud de onda a distintas temperaturas T1, T2, T3, .., se produce a las longitudes de onda l1, l2, l3...tales que:

Continuación: De modo similar en el dominio de las frecuencias No se obtiene la velocidad de la luz c como se esperaría, ya que se esta trabajando con el máximo de una distribución que muestra la intensidad por unidad de longitud de onda o por unidad de frecuencia. La luminosidad de un cuerpo caliente no se puede explicar a partir de la ley del desplazamiento de Wien, sino a partir de la intensidad de la radiación emitida en la región visible del espectro. Así, a temperaturas tan elevadas como 6000 K el máximo medido en el eje de frecuencias de la distribución espectral se sitúa en la región del infrarrojo cercano. Sin embargo, a esta temperatura una proporción importante de la intensidad emitida se sitúa en la región visible del espectro. Obtenemos la ecuación trascendente: A medida que la temperatura T se incrementa el máximo se desplaza hacia longitudes de onda menores (mayores frecuencias). Como podemos comprobar, con el producto:

Ley de Rayleigh-Jeans En un cuerpo negro (o “caja negra”), cuando los electrones empiezan a vibrar a causa de la interacción térmica-molecular del fluido, estos emiten radiación, la cual se manifiesta en forma de ondas estacionarias con nodos en las paredes del cuerpo. El número de ondas estacionarias para el intervalo de frecuencias v a v+∆v es: Donde T es la Temperatura y k corresponde a la constante de Boltzmann: Por lo tanto, multiplicando el número de ondas por la energía promedio se obtiene la siguiente expresión: Cuando el sistema esta en equilibrio térmico la energía promedio por onda es: La fórmula anterior se aproxima bien a unos pocos datos experimentales de la región de frecuencias bajas. Sin embargo, cuando empieza a aumentar la longitud de onda, el modelo falla, al mostrar que la energía tiende al infinito cuando esto ocurre. A este fenómeno se le conoce como “Catástrofe Ultravioleta”.

Comparación gráfica de los modelos expuestos: De arriba abajo y de izquierda a derecha, Figura 3: Comparación del modelo de Wien y el modelo de Rayleigh-Jeans. Se puede ver que el primero se ajusta mejor a todo el espectro de longitudes de onda que la segunda, especialmente en la zona de longitudes de onda pequeña. Figura 4: Corrección de los modelos anteriores hecha por Max Planck. Figura 5: Comparación de los tres modelos. En la gráfica se puede ver como el modelo de Planck se ajusta de manera muy precisa a los otros modelos, especialmente en la región entre 1e+072 y 1e+085 [Hz].

Algunos datos bibliográficos de los físicos: Nacimiento Fallecimiento País de origen Joseph Stefan 24/03/1835 7/01/1893 St. Peter – Eslovenia Ludwig Boltzmann 20/02/1844 5/09/1906 Duino - Italia Wilhelm Wien 13/01/1864 30/08/1928 Múnich - Alemania John William Strutt (tercer barón Rayleigh) 12/11/1842 30/06/1919 Essex – Reino Unido James Jeans 11/09/1877 16/09/1946 Lancashire - Reino Unido Tabla 1: Datos bibliográficos de los físicos aquí mencionados. Datos bibliográficos tomados de Wikipedia. Figuras 6, 7 y 8: Referencias gráficas del efecto fotelétrico.

Arreglos experimentales: Figura 6: Arreglo experimental para demostrar la Ley de Stefan-Boltzmann. El arreglo consiste de un “Cubo de Leslie”, es decir, un cubo cuyas caras han sido recubiertas con materiales radiantes, al cual se le introduce agua que luego, utilizando los controles electrónicos que posee, se calienta. Las siguientes dos imágenes muestran como deben ir acoplados los multímetros y los sensores de temperatura al cubo. Experimento tomado de: E.L. Muñoz, M. Creus, F. Sanjuan, H. Rabal, J. Gallego Sagastume (2012). Comprobación experimental de la ley de Stefan-Boltzmann en la cátedra de Física III de Ingeniería de la UNLP. Junio 14, 2015, de Anales AFA de: anales.fisica.org.ar/journal/index.php/analesafa/article/download/1859/1877+&cd=3&hl=es&ct=clnk

Referencias Figura 1: Montaje hecho con fotos de Joseph Stefan, Ludwig Boltzmann, Wilhelm Wien, John William Strutt (tercer barón Rayleigh) y James Jeans, sacadas de Wikipedia, dominio público. Figura 2: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/imgmod/wien.gif Figura 3 y 4: Rodríguez-Meza, M. A.; Cervantes-Cota, Jorge L. (2006). El efecto fotoeléctrico. Junio 14, 2015, de Redalyc de: http://www.redalyc.org/articulo.oa?id=10413309 Figura 5: http://eltamiz.com/images/2012/05/planck-wien-rayleigh.png Figura 6: https://encrypted-tbn3.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcTEYUS06SkF538w6bxdFdx0AyJImC9xJEbU8k6W4evVjzSOyl7bvg Figura 7: https://encrypted-tbn2.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSQr9vRUPp08a7h8YoeyxhsdzWGz5FKaw6x2HcCcwdnNVzmClZVtQ Figura 8: http://1.bp.blogspot.com/_w1kycNNBkOE/TSnoyKYYueI/AAAAAAAAExg/DbaV88fCiF4/s1600/foton_elec.gif Referencia 1: http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/mod6.html Referencia 2: http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/cuantica/negro/radiacion/radiacion.htm#La%20ley%20del%20desplazamiento%20de%20Wien Referencia 3: http://www.nucleares.unam.mx/~vieyra/node3.html