P1. Septiembre 2007 Sea la función donde se considera la determinación del argumento (0,2π). Se pide: a)Calcular razonadamente el dominio de analiticidad, y clasificar las singularidades, especificando el tipo. b)Indicar las coronas en torno a z 0 = 0 donde se puede hallar el desarrollo de Laurent. c)Calcular el desarrollo de Laurent en torno a z 0 = 0 en la corona |z| > 4.
Respuesta. a) La función f es el producto de dos funciones, luego no es analítica en aquellos puntos en los que: - El cociente no es analítico, es decir, el punto z = 0. - La función no es analítica. Para analizar el dominio de holomorfía de esta función se debe considerar: * Por un lado, los puntos singulares de, en este caso, z = 1. * Por otro lado, los puntos singulares de log w con la determinación (0,2π). Esta determinación no es analítica en w = 0 y en los puntos que cumplen Im(w) = 0 y Re(w)>0. Introduciendo la variable z = x + iy
con lo que Así, no es analítica en todo el segmento real
Con todo, la función f es analítica en todo el plano complejo menos en z = 0 y en el segmento Re (z) Im (z) - Los puntos no son aislados, luego la función no admite desarrollo en serie en torno a ellos. - El punto z = 0 es una singularidad aislada. Para analizar de qué tipo observamos que f se puede expresar de la formacon analítica en z = 0 y g(0) = log(-4) = Ln(4) + iπ ≠ 0. Luego z = 0 es un polo doble.
b) El único punto singular aislado es z 0 = 0, por lo que se puede obtener tanto la serie de Laurent de la función en torno a z 0 = 0 válida en la corona 0 4. Para calcular el desarrollo en serie de la corona |z| > 4, derivamos respecto de z la función, de modo que y buscamos los desarrollos de cada fracción convergente en el dominio |z| > 4 o, expresado de modo más conveniente,