FÍSICA DE SEMICONDUCTORES Aplicaciones de la Ecuación de Schrödinger UN Juan Camilo Ramirez Ayala código: 30 6 de junio del 2015

Ecuación de Schrödinger - caso: Electrón Libre - Escriba la ecuación de Schrödinger Resuélvala para el caso de un electrón libre CONCLUSIÓN: Por qué se le llama onda plana a un electrón libre?

Ecuación de Schrödinger A continuación se reescribe la ecuación de Schrödinger para una dimensión − ℎ 2 (𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎) 2𝑚 𝜕 2 𝜕 𝑥 2 +𝑈=𝐸𝑡 Donde la expresión de la izquierda expresa la partícula, la expresión siguiente el ambiente (energía), y después de la igualación se expresa la energía total

Electrón libre La solución para un electro libre puede ser la misma que se utiliza para el pozo de potencial finito (diapositiva 9). Una vez se tiene esta solución, se verifica la energía y la probabilidad de encontrar a el electrón en cada estado disponible de estos. Al electrón libre se le considera una onda plana, porque la probabilidad esta distribuida de forma que no se puede retirar del potencial en el cual se encuentra ubicado, es decir el vector velocidad es normal a la superficie, y por ende el electrón no tiene la liberta de movimiento en dos potenciales diferentes.

Ecuación de Schrödinger - caso: Pozo de Potencial Infinito - Escriba la ecuación de Schrödinger para un Pozo de Potencial infinito Concluya que el CONFINAMIENTO, en un sistema cuántico, produce CUANTIZACIÓN de la energía de una partícula atrapada en un Pozo de Potencial infinito

Ecuación de Schrödinger para un potencial infinito Supóngase una caja con paredes infinitas el potencial es cero dentro de las paredes de la caja e infinito fuera de ella. La ecuación de Schrödinger (solución) dentro de la caja vendría expresada como. 𝜓𝑛 𝑥 = 2 𝐿 sin 𝑛𝜋 𝐿 𝑥 𝑛=1, 2, 3….. En vista de lo anterior, se necesita un entero n tal que la energía dentro del sistema este cuantizada, esto se puede observar por la función de onda, ya que los demás términos están expresados con sus respectivos valores, se necesita un n, entero que satisfaga la ecuación, este n dicta que a diferentes niveles de energía, el valor de esta varia.

El confinamiento en un sistema cuántico produce la cuantización de la energía, gracias al entero n dado en la solución de la ecuación. Para comprender mejor lo anterior, se utiliza una imagen como medio de apoyo de este resultado

Ecuación de Schrödinger - caso: Pozo de Potencial finito - Escriba la ecuación de Schrödinger para un Pozo de Potencial finito Conclusión: Discuta qué pasa con la densidad de niveles de energía a medida que se acerca a la parte superior del pozo

Ecuación de Schrödinger para un potencial finito Para un potencial que es igual a cero en una longitud L, y tiene un valor finito para otros valores de x, la solución de la ecuación de Schrödinger tiene la forma de una partícula libre entre –L/2 y L/2. Donde la ecuación tiene la forma 𝛿 2 𝜓(𝑥) 𝛿 𝑥 2 = 𝛼 2 𝜓(𝑥) Hallando la solución general de la ecuación anterior, se ve entonces 𝜓 𝑥 =𝐶 𝑒 𝛼𝑥 +𝐷 𝑒 −𝛼𝑥

Una vez se tiene la respuesta de la ecuación de Schrödinger para un pozo de potencial finito, se verifican los resultados de esta a medida que varia la distancia entre la base y la parte superior, como ilustración y ejemplo se darán a conocer dos imágenes, en las cuales se muestra la comparación entre un pozo de potencial finito y uno infinito para un electrón. Este pozo posee una profundidad de 64 eV y una anchura de 0.39 nm.

Gracias a la imagen anterior se puede observar que a medida que se vaya ascendiendo en el pozo de potencial la densidad de los niveles de energía va aumentando, esto se puede verificar por el distanciamiento de las líneas (cuantización) mostrando que la primera de estas esta muy cerca de la base aproximadamente a unos 1,95 eV, en la siguiente probabilidad, la energía es de aproximadamente 7,76 eV, teniendo una diferencia de 5,81 eV, con la línea de n = 3, la energía esta en el orden de 17,4 eV con una diferencia respecto a la segunda de 9,64 eV mucho mayor a la diferencia anterior, gracias a esto se puede concluir que a medida que se va ascendiendo en el pozo, la energía necesaria es mucho mayor y su diferencia varia de modo exponencial, como lo expresa la solución de la ecuación de Schrödinger.