Transformación w = f(z) = 1/z En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es: Una inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x. Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En particular, una circunferencia de radio unidad permanece invariante.

f(z) = 1/z Esquema de color dependiente del argumento Dominio Rango Biyección "We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor

Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.

Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación f(z) = 1/z? Es decir, un círculo de centro (1/(2c), 0) que pasa por el origen. El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.

Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta en el plano z en la forma: Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:

Se transforma bajo 1/z en: a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro. (2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro. (3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro. (4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro. De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma círculos en círculos.

u = 1/a u = -1/b b = 0; u = -v b distinto de 0; en circunferencias. v = -ku circunf. u2 = -v3 /(1+v)

Transformaciones bilineales o de Möbius La transformación inversa es también bilineal: August Ferdinand Möbius (1790-1868) Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa. El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.

Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i). Cuando c  0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y entonces: Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).

¿Cómo transforma la bilineal? De modo que cualquier transformación bilineal puede obtenerse como una composición de una transformación lineal y una transformación 1/z. Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de círculos y líneas en sí mismo.

b) Determinar la imagen de la región , al considerar la transformación: Re(z) 2 4 Re(z') 2 4 6 8 Examen JUNIO 04/05: P-1

Recordemos cómo actúa la inversión: Re(z'') 3/16 1/4 ...exterior del círculo...

Re(z''') 3/8 1/2 ...seguimos en el exterior del círculo...

Re(Z) -3/8 -1/2 Re(Z) 1/4 1/8

Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0. Encontrar la imagen del semiplano infinito superior bajo la transformación bilineal: Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el eje x, tenemos: De modo que el eje x se transforma en el círculo unidad con centro en el origen. z = a se transforma en w = 0 (un punto interior del círculo). La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.