Tema 3. Semántica de la lógica proposicional 3b Conceptos clave

TAUTOLOGÍA CONTRADICCIÓN CONTINGENCIA SATISFACIBILIDAD

-Estás triste -le dijo con voz inquieta el Caballero-: para alegrarte voy a cantar una canción. -¿Es muy larga? -le preguntó Alicia. -Es larga -dijo el Caballero- pero muy muy hermosa. A todo aquel que me la oye cantar… o se le saltan las lágrimas o si no… -O si no, ¿qué? -dijo Alicia, pues el Caballero se había quedado cortado de golpe. -… pues no se le saltan. Lewis Carroll, A través del espejo

Tautología, contradicción, contingencia Considera las siguientes fórmulas: p  1 p  (q p) 1 p  (¬ q) 1 Este tipo de fórmulas, verdaderas para cualquier posible asignación de valores de verdad de sus constituyentes, se denominan TAUTOLOGÍAS

Tautología, contradicción, contingencia Considera las siguientes fórmulas: p  ¬ 1 q  ¬ (p  q) 1 (p  q)  ¬ q 1 Este tipo de fórmulas, falsas para cualquier posible asignación de valores de verdad de sus constituyentes, se denominan CONTRADICCIONES

Tautología, contradicción, contingencia La negación de una contradicción siempre será una tautología, y la negación de una tautología será una contradicción: ¬ [p  (¬ p q)] 1 ¬ 1 [(p  q)  ¬ q)] 1

Tautología, contradicción, contingencia Considera estas otras fórmulas: p  1 (p  q)  1 p  (p ¬ q) 1 Este tipo de fórmulas, verdaderas en algunas interpretaciones y falsas en otras, se denominan CONTINGENCIAS

Tautología, contradicción, contingencia La negación de una contingencia será siempre una contingencia, puesto que los valores 1 pasarán a 0, y los 0 pasarán a 1, y seguirá habiendo tanto interpretaciones verdaderas como falsas: ¬ 1 [(p  q)  q)] 1

Satisfacibilidad Considera estos 2 pares de fórmulas: p ¬p ¿crees que es posible que sean verdaderas a la vez? Obviamente no: cuando una es verdadera, la otra es falsa.

Satisfacibilidad ¿Y estas otras 2, pueden ser verdaderas a la vez? p  q ¬(p  q) Tampoco, aunque este caso no es tan obvio como el anterior. Para verlo habrá que comparar sus tablas de verdad: 1 q  p q)  (p ¬ En los casos en que una es verda- dera, la otra resulta ser falsa. No hay ningún caso en que ambas sean verdaderas a la vez.

Satisfacibilidad ¿Y estas otras 2, pueden ser verdaderas a la vez? p  q ¬(p  q) En este caso sí. Comparemos sus tablas de verdad: p  q ¬ (p  q) Hay al menos una fila en la que ambas son verdaderas, la fila 3. Basta con eso para decir que este par de fórmulas es SATISFACIBLE 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

Satisfacibilidad de una fórmula Una fórmula es satisfacible si y sólo si tiene al menos una interpretación verdadera, i.e., al menos una fila con un 1 bajo alguna interpretación de sus atómicas. Por tanto, una fórmula será satisfacible si es una tautología o una contingencia. Una fórmula insatisfacible es contradictoria

Satisfacibilidad de un conjunto de fórmulas Un conjunto de fórmulas es satisfacible ssi hay alguna interpretación en que cada una de ellas es satisfacible a la vez. Es decir, cuando encontramos al menos una fila con todo 1s bajo la conectiva dominante de cada fórmula. Esto equivale a decir que un conjunto de fórmulas 1, … n es satisfacible ssi es satisfacible la fórmula que obtenemos al unirlas por conyuntores: (1  …  n)

¿Es satisfacible este conjunto de fórmulas? p  q ¬(r  ¬q) ¬p  r Para saberlo, podemos unirlas en una única fórmula: (p  q)  ¬(r  ¬q)  (¬p  r) y a continuación resolvemos la tabla de verdad de esta fórmula. Si hay al menos un caso en que esta conyunción es verdadera, este conjunto de fórmulas es satisfacible. Esto equivale a decir que debemos encontrar al menos una fila en que debajo de la conectiva dominante de cada fórmula aparezca un 1

¿Es satisfacible este conjunto de fórmulas? p  q ¬(r  ¬q) ¬p  r ( p  q ) ¬ r  1  1 ( ¬ p  r ) 1 1 Observando la 5ª fila comprobamos que este conjunto de fórmulas sí es satisfacible

¿Es satisfacible este otro conjunto? p  q ¬(q  ¬r) r  ¬p ( p  q ) ¬  r 1  ( r  ¬ p ) 1 1 No es satisfacible: no hay ninguna fila en que bajo cada conectiva dominante (, ¬, , respectivamente) encontremos un 1

Satisfacibilidad Lo que buscamos al comprobar si un conjunto de fórmulas es satisfacible o no, es poder determinar si las condiciones establecidas por las fórmulas pueden cumplirse conjuntamente o no. Si el conjunto de fórmulas es satisfacible, plantea condiciones consistentes, y si no es satisfacible, plantea condiciones inconsistentes o contradictorias.

¿habrá marido para Fefa? Satisfacibilidad Fefa: Quiero un marido rico y guapo. Fufa: ¿Preferirías uno que fuese guapo y fiel? Fefa: Ni hablar. Y si es infiel, que no sea rico. ¿habrá marido para Fefa? p  es rico q  es guapo r  es fiel Condiciones del marido: p  q ¬(q  r) ¬r  ¬p

¡Pobre Fefa! (p  q) ¬ (q r) (¬ r  p) 1 ¡Pobre Fefa! Sus condiciones son inconsistentes

CONSECUENCIA LÓGICA VERDAD LÓGICA EQUIVALENCIA

-Sé lo que estás pensando -dijo Tweedledum- pero no es eso, de ninguna manera. -Por el contrario -continuó Tweedledee-, si lo hubiera sido, lo habría sido; y si lo fuera, lo sería; pero como no lo es, no lo es. Eso es lógica. Lewis Carroll, A través del espejo

Consecuencia lógica En un argumento válido, la conclusión se sigue de las premisas. Esto ocurre cuando no es posible que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa. Diremos entonces que la conclusión es consecuencia lógica de las premisas. Por tanto, también una fórmula ß será consecuencia lógica de una fórmula , cuando no pueda ocurrir que  es verdadera y ß falsa

 Consecuencia lógica EL CONDICIONAL ¿Cómo saber cuándo una fórmula ß es consecuencia lógica de una fórmula  ? Habrá que disponerlas de tal manera que podamos observar si ocurre que  sea verdadera y ß falsa Hay una conectiva cuya tabla de verdad se corresponde con esta situación: EL CONDICIONAL 

Consecuencia lógica Una fórmula ß es consecuencia lógica de una fórmula  cuando el condicional (  ß) no es falso en ningún caso, i.e., cuando (  ß) es una tautología. Cuando ß es consecuencia lógica de , escribimos:  ß y cuando no lo es:

¿es ß consecuencia lógica de  ? Sean   p  q ß  p  q ¿es ß consecuencia lógica de  ? Efectivamente, no hay ningún caso en que ocurra que  sea verdadera y ß sea falsa. Es decir, no hay ningún caso en el que el condicional que hemos construido sea falso. (p  q)   1

Consecuencia lógica La idea de consecuencia lógica se puede generalizar a conjuntos de fórmulas: Una fórmula ß es consecuencia lógica de un conjunto de fórmulas 1 … n ssi no puede ocurrir que 1 … n sean verdaderas y ß sea falsa, es decir, cuando el condicional (1  …  n)  ß sea una tautología. Cuando ß es consecuencia lógica de , escribimos: {1 … n} ß y cuando no lo es: {1 … n} ß

¿es ß consecuencia lógica de 1 y 2? Sean 1  (p  q) 2  (r  ¬p) ß  r  q ¿es ß consecuencia lógica de 1 y 2? [(p  q)  (r  ¬ p)]  1 Efectivamente, no hay ningún caso en el que el condicional que hemos construido sea falso

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos Tenemos, por tanto, un método para determinar cuándo un argumento es válido. 1º) Identificamos las premisas y conclusión, y las traducimos a fórmulas de L0 2º) Construimos un condicional, cuyo antecedente es una conyunción de todas las fórmulas de las premisas, y su consecuente es la fórmula de la conclusión 3º) Evaluamos si el condicional es tautológico: si lo es, el argumento es válido si no lo es, el argumento no es válido: hay al menos un caso en que las premisas son verdaderas y la conclusión falsa

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos EJEMPLO 1: Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos. 1º) Identificar y traducir: p  humanos son libres q  humanos ligados a esencia r  D crea humanos Premisas: (p  ¬q) ; (r  q) ; p Conclusión:  ¬r

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos EJEMPLO 1: Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos. 2º) Construir condicional: [(p  ¬q)  (r  q)  p]  ¬r

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos EJEMPLO 1: Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos. 3º) Evaluar condicional: [(p  ¬ q)  (r p] r 1

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos EJEMPLO 1: Una condición necesaria para que la humanidad sea libre es que los seres humanos no estén ligados a una esencia. Si Dios creó a los humanos, entonces estamos ligados a una esencia. Claramente, los humanos somos libres. Por tanto, Dios no creó a los humanos. La fórmula [(p  ¬q)  (r  q)  p]  ¬r , correspondiente a dicho argumento, es tautológica. Por tanto, el argumento es VÁLIDO.

Consecuencia lógica: cómo evaluar argumentos EJEMPLO 2: Si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa o con la cuerda. Pero lo hizo con la cuerda si y sólo si el asesinato se cometió en el vestíbulo. El asesinato se cometió en la cocina. Por lo tanto, si la señora White lo hizo, lo hizo con la llave inglesa. p  W lo hizo q  W lo hizo con llave r  W lo hizo con cuerda s  asesinato en vestíbulo t  asesinato en cocina La fórmula a evaluar es: ([p  (q  r)]  (r  s)  t)  (p  q) cuya tabla de verdad necesitaría 32 filas

El método “abreviado” Para evaluar fórmulas con más de 3 constantes, la tabla de verdad resulta un método demasiado engorroso. Podemos explotar las propiedades de las conectivas lógicas para obtener métodos abreviados de evaluación de fórmulas. La idea general es: podemos determinar que una fórmula NO es tautológica, si encontramos al menos una fila en la que la fórmula es falsa; y podemos determinar que NO es contradictoria, si encontramos al menos una fila en la que la fórmula es verdadera.

Explotar las propiedades de las conectivas En ocasiones, conocer el valor de verdad de una fórmula molecular nos permite conocer el valor de verdad de sus componentes: Supongamos que el valor de (  ß) es 1 ¿Podemos saber algo sobre los valores respectivos de  y de ß? En efecto, tanto  como ß deben tener valor 1 Supongamos que el valor de (  ß) es 0 ¿Podemos saber algo sobre los valores respectivos de  y de ß? Ahora ya no: tanto  como ß pueden tener valor 1 ó 0

Explotar las propiedades de las conectivas Considera ahora las fórmulas (  ß) y (  ß). Si (  ß) vale 0,  debe valer 1 y ß debe valer 0 Si (  ß). vale 0, tanto  como ß deben valer 0 Si (  ß) o (  ß) valen 1, no sabemos los valores de  y ß Si contamos con más información, los dos últimos casos también ayudan. Por ejemplo: Si (  ß) vale 1 y  vale 1, ß debe valer 1 Si (  ß) vale 1 y  vale 0, ß debe valer 1

El método “abreviado” 1º Determinamos qué queremos saber de la fórmula, si es tautológica o contradictoria 2º Asignamos como valor inicial el contrario al que queremos obtener. A partir de éste vamos llenando aquellos otros valores “obligados” por las tablas de las conectivas lógicas 3º Comprobamos si por el camino topamos con una contradicción.

El método “abreviado” 1º Determinamos qué queremos saber de la fórmula: A) queremos saber si es tautológica: intentamos que la fórmula sea falsa; si lo conseguimos, entonces no es tautológica; si no lo conseguimos, entonces es tautológica. Esto es lo que nos interesa cuando queremos saber si un argumento es válido. B) queremos saber si es contradictoria; intentamos que la fórmula sea verdadera; si lo conseguimos, entonces no es contradictoria; si no lo conseguimos, entonces es contradictoria. Esto es lo que nos interesa cuando queremos saber si una o más fórmulas son satisfacibles.

El método “abreviado” 2º Fijamos los valores de verdad de la fórmula: queremos saber si el argumento del ejemplo 2 es válido, i.e., si su fórmula es tautológica: ([p  (q  r)]  (r  s) t) (p q) 1 1 1 1 1 1 1 Intentamos conseguir un caso en la fórmula es falsa, así que ponemos 0 bajo el condicional ii) Para que el condicional sea 0, el antecedente debe ser 1 y el consecuente 0. Estos valores van bajo las respectivas dominantes iii) Una vez fijados estos valores, nos obligan a fijar otros valores de las fórmulas, de acuerdo a la tabla de cada conectiva

El método “abreviado” ([p  (q  r)]  (r  s) t) (p q) 1 1 1 1 1 1 1 Fijémonos en (p  q): como es un condicional que debe tener valor 0, ello obliga a fijar los valores de su antecedente y consecuente en 1 y 0, respectivamente. Fijémonos en t: como es una fórmula unida por un conyuntor con valor 1, debe tener valor 1. ([p  (q  r)]  (r  s) t) (p q) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 iv) Trasladamos los valores obtenidos para esas constantes a sus otras ocurrencias dentro de la fórmula Fijémonos en [p  (q  r)]: es un condicional que debe tener valor 1 y cuyo antecedente es 1, por tanto su consecuente (q  r) debe ser 1 también. Dado que q tiene valor 1, el único modo posible es que r tenga valor 1. Fijamos este nuevo valor. v) Comprobamos si es posible rellenar el último valor de verdad sin contradicción. En nuestro ejemplo sí lo es: s puede tener valor 1

El método “abreviado” 3º Comprobamos si por el camino topamos con una contradicción. ([p  (q  r)]  (r  s) t) (p q) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 No hemos encontrado contradicción. Eso quiere decir que hay al menos un caso en que la fórmula es falsa. Nuestra fórmula NO ES UNA TAUTOLOGÍA y, por tanto, el argumento al que corresponde NO ES VÁLIDO La fórmula sería tautológica y, en consecuencia, el argumento válido, SI NO HUBIÉSEMOS CONSEGUIDO HACERLA FALSA. Es decir, si a lo largo del proceso nos hubiésemos encontrado con que nos vemos obligados a hacer asignaciones contradictorias

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas Las propiedades de las conectivas se pueden explotar también para saber algo sobre el tipo de fórmula Sean dos fórmulas  y ß de las que sabemos:  es tautología ß es contradicción Considera estas fórmulas:   ß   ß   ß   ß ¿podemos saber qué tipo de fórmulas son?  ß es una contradicción  ß es una contradicción  ß es tautológica   ß es una contradicción

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas Sean dos fórmulas  y ß de las que sabemos:  es tautología ß es contingencia Considera estas fórmulas:  ß   ß   ß   ß ¿podemos saber qué tipo de fórmulas son?  ß es una contingencia  ß es una contingencia  ß es tautológica   ß es una contingencia

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas Sean dos fórmulas  y ß de las que sabemos:  es contradicción ß es contingencia Considera estas fórmulas:  ß   ß   ß   ß ¿podemos saber qué tipo de fórmulas son?  ß es una contradicción  ß es una tautología  ß es contingencia   ß es una contingencia

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas Sean dos fórmulas  y ß de las que sabemos:  es tautología (  ß) es tautología ¿podemos saber qué tipo de fórmula es ß? ß tiene que ser una tautología Si ß fuese contradicción,   ß sería contradicción Si ß fuese contingencia,   ß sería contingencia

Explotar las conectivas: tipos de fórmulas Sean dos fórmulas  y ß de las que sabemos:  es contradicción (  ß) es contradicción ¿podemos saber qué tipo de fórmula es ß? LAS CONDICIONES DEL EJERCICIO NO SE PUEDEN CUMPLIR Si  es una contradicción, (  ß) necesariamente debe ser una tautología

Tautología, contradicción y consecuencia lógica El caso del condicional es particularmente interesante:   ß -si ß es una tautología, el condicional   ß es tautológico, independientemente de lo que sea  -si  es una contradicción, el condicional   ß también es una tautología, independientemente de lo que sea ß Esto significa que una tautología es consecuencia lógica de cualquier cosa y que cualquier cosa es consecuencia lógica de una contradicción

Verdad lógica Cuando una fórmula es verdadera en todas las interpretaciones posibles de sus constantes, se trata de una verdad lógica Por tanto, una fórmula es verdad lógica ssi es tautológica Y dado que una tautología es consecuencia lógica de cualquier cosa, podemos expresar una verdad lógica con el símbolo de la consecuencia: ß para toda ß que sea tautología

Equivalencia lógica Consideremos las siguientes fórmulas: 1 p  q ¬(¬p  ¬q) ¬(p  ¬q) ¬(q  ¬p) Si hacemos sus tablas de verdad, veremos que obtenemos columnas idénticas: Decimos en ese caso que las fórmulas son lógicamente equivalentes, es decir, para cualquier interpretación (cualquier fila) de la fórmula obtenemos el mismo valor de verdad en las demás 1

Equivalencia lógica Eso significa que todas las tautologías son lógicamente equivalentes entre sí y que lo mismo ocurre entre las contradicciones Y supongamos que  y ß sean dos fórmulas lógicamente equivalentes: ¿qué podemos decir de la fórmula   ß ? Se trata de una tautología, dado que, en cada fila, a cada valor de  le corresponderá exactamente el mismo valor de ß, con lo que se cumplen las condiciones de verdad del 

Equivalencia lógica Así mismo, podemos decir que cuando dos fórmulas  y ß son lógicamente equivalentes,  es consecuencia lógica de ß, y ß a su vez es consecuencia lógica de  Por tanto, toda tautología tiene como consecuencia lógica a cualquier otra tautología

¿Cuántas conectivas hay? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p q ? Esta tabla recoge todas las posibles conectivas. Comencemos por identificar las 5 que ya conocemos: ¬, , , ,  ¿A qué columnas corresponden?

¿Cuántas conectivas hay? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p q ?     ¬p ¬q Las columnas 11 y 12 se limitan a negar los valores de p y q, respec- tivamente. ¿Qué conectivas se esconden en las demás columnas? Centrémonos en 1, 4, 5 y 6

¿Cuántas conectivas hay? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p q       ? ¬p ¬q 4 y 6 se limitan a reproducir los valores de q y p, respectivamente. 1 es la columna de una tautología y 5 hace lo mismo que el condi- cional, pero en sentido inverso, o sea, equivale a q  p

¿Cuántas conectivas hay? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p q       ? ¬p ¬q De modo que podemos prescindir de todas esas columnas: podemos realizar sus funciones mediante nuestras conectivas. Si miramos las columnas 9-16, vemos que son una imagen espejo de 1-8.

¿Cuántas conectivas hay? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 p q        >–< ¬p >– ¬q –<   Por tanto, para expresar las conectivas 9-16 nos basta con tener las conectivas 1-8, más el negador ¬

¿Cuántas conectivas hay? Resumiendo, podemos establecer las siguientes equivalencias: p  q equivale a q  p pq  ¬ (p  q) p >–< q  ¬ (p  q) p >– q  ¬ (q  p) p –< q  ¬ (p  p) p  q  ¬ (p  q) De ahí que podamos prescindir de todas esas conectivas

¿Cuántas conectivas hay? ¿Es posible reducir aún más el número de conectivas? Recordemos estas equivalencias lógicas: p  q ¬(¬p  ¬q) ¬(p  ¬q) ¬(q  ¬p) Esto indica que la función del conyuntor puede realizarse por medio del disyuntor + el negador, o del condicional + el negador. En realidad, cualquiera de estos pares de conectivas: {¬, }, {¬, }, {¬, } es suficiente para cubrir todas las combinaciones de nuestro cuadro general de conectivas

¿Cuántas conectivas hay? De hecho, podríamos reducir nuestras conectivas a una sola: pq (o también p  q) ¬p  pp (p  q)  (pq)( pq) (p  q)  (pp)(qq) (p  q)  [p(qq)] o también: [p(pq)] Pero reducir demasiado el número de conectivas resulta engorroso. Lo que se intenta es encontrar un número equilibrado que (a) capte nuestras intuiciones más típicas del lenguaje natural y (b) resulte en fórmulas manejables