Procesos Estocásticos Edgar H Criollo V Mayo 2010 Estimación de los tiempos de retardos por procesamiento (latencia*) de un dispositivo enrutador (capa de red protocolo TCP/IP). Procesos Estocásticos Edgar H Criollo V Mayo 2010

RESUMEN. Se estudia un sistema de líneas de espera del tipo M/M/1 mediante la simulación por eventos discretos. El sistema estudiado se toma como una aproximación al comportamiento básico de un enrutador. Se busca establecer los conceptos teóricos de las líneas de espera y mediante simulaciones estimar las medidas de tiempo de procesamiento de un enrutador.

JUSTIFICACIÓN Los paquetes transportados en una red de datos son retrasados cuando pasan a través de un enrutador, este retraso depende de la capacidad desempeño, la capacidad de buffer y la carga a la que esta expuesto el enrutador en un determinado periodo de tiempo. Determinar estos tiempos de procesamientos para cierta carga de trabajo generaría un valor agregado a la hora de planificar capacidades y predecir rendimientos de las redes de datos. Los tiempos aproximados de retraso agregados por el procesamiento de los enrutadores pueden ser calculados mediante la simulación por eventos discretos de un modelo M/M/1 de una línea de espera.

MARCO TEÓRICO La teoría de colas es un conjunto de modelos matemáticos que describen o analizan el comportamiento de las líneas de espera. La existencia de colas o líneas de esperas se presenta cuando existen momentos en los que hay una mayor demanda que capacidad de servicio en un sistema determinado. Los enrutadores son sistemas que proporcionan un servicio durante un tiempo aleatorio a paquetes que demandan los servicios de enrutamiento en instantes de tiempo también aleatorio. Los sistemas que proporcionan un servicio durante un tiempo aleatorio a usuarios que demandan este servicio en instantes de tiempo también aleatorios tienen en común: Clientes. Son los entes u objetos que solicitan el servicio. Paquetes para el caso. Servidores. Son lo sistemas o procesos que ofrecen el servicio. Enrutadores para el caso.

MARCO TEÓRICO Proceso en las líneas de espera. Los clientes que requieren el servicio se forman en la entrada al sistema (solicitan el servicio al sistema). Los solicitudes de los clientes entran al sistema (nacimientos), si las condiciones de capacidad de servicio son superadas por la cantidad de solicitudes, las solicitudes se unen a la línea de espera. Llegado el momento, se selecciona una solicitud del cliente que esta en la línea de espera, la cual recibe la prestación del servicio. Esta selección se hace según alguna regla conocida como disciplina de servicio. Se realiza el servicio solicitado por el cliente a un servidor o mecanismo prestador del correspondiente servicio. Finalmente el cliente sale del sistema de líneas de espera (muertes).

MARCO TEÓRICO Los procesos estocásticos pueden ser clasificados según el número de valores (o de estados) posibles para la variable aleatoria en un instante determinado, este número puede ser finito, infinito numerable o no numerable. Si la evolución del sistema depende sólo de su estado en el instante t, tenemos un proceso de Markov. En los casos en que el proceso de Markov es discreto y discontinuo, suele denominarse con el nombre de cadena de markov. En el contexto de teoría de líneas de espera, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de líneas de espera.

MODELO M/M/1 Modelo de llegadas de clientes. Índice de llegadas, Tiempo entre llegadas sucesivas es incierto y variable. Los tiempos entre llegadas se describen mediante una distribución de probabilidad Exponencial, Exp (). Donde  representa la cantidad de solicitudes de servicio por unidad de tiempo. Las llegadas viene en forma individual para recibir el servicio. Modelo de servicio. Índice de servicio, comportamiento Exponencial, Exp (µ). Donde µ es la variable aleatoria que representa la cantidad de solicitudes que los servidores atienden por unidad de tiempo. El modelo de servicio es independiente del de llegada. Tiempo en el sistema: El tiempo de permanencia de un cliente en el sistema. El tiempo en una línea de espera esta caracterizado por su función densidad (fdp), o por su función de distribución (fda). En el caso del modelo M/M/1, el tiempo de estancia en el sistema es una variable aleatoria distribuida exponencialmente, Exp (µ - ) :

MODELO M/M/1 Capacidad del sistema. El número máximo de clientes (población) que puede haber o se pueden atender en el sistema. Puede ser de dos tipos: Finito o Infinito. Numero de canales de servicio. Puede haber una línea de espera para cada dependiente o bien una sola línea de espera global. Condición de saturación. Carga, flujo o intensidad de tráfico del sistema, puesto que mide la relación entre la cantidad de trabajos que llegan y la capacidad de procesarlos.

MEDIDAS DE RENDIMIENTO El cálculo de las medidas de rendimiento depende de los modelos (distribuciones) de llegadas y de servicio del sistema de cada línea de espera P0 Probabilidad de que no existan clientes en el sistema. Pn Probabilidad de que exista n clientes en el sistema. L Número de clientes promedio en el sistema. Lq Número de clientes promedio en la cola. Ws Tiempo promedio de permanencia de un cliente en el sistema. Wq Tiempo promedio de permanencia de un cliente en la cola. Pw Probabilidad de que un cliente que llega deba esperar para ser atendido.

MEDIDAS DE RENDIMIENTO Tiempo medio de permanencia en el sistema. Tiempo medio de permanencia en la línea de espera.

PROBABILIDADES Este sistema puede ser modelado por un proceso de nacimiento-muerte, donde cada estado representa el número de paquetes en la línea de espera del enrutador. Un paquete que llegue al sistema (nace). Va a hacer que si el enrutador que está en estado n, pase a estado n + 1 con tasa λ. Transición 1. Un paquete que sale del sistema (muere). Va a hacer que el sistema que está en estado n, pase a estado n - 1 (o n si n es 0) con tasa μ. Transición 2.

PROBABILIDADES Matriz de transición  Distribución de probabilidades estacionaria.

EL ENRUTADOR Un enrutador, en sus funciones básicas de procesamiento, se puede aproximar por un sistema con las siguientes características: Recibe paquetes de múltiples fuentes, los encola hasta que pueda procesarlos, los procesa para determinar qué ruta deben seguir, los envía a través de la ruta elegida. De este modo, el modelo de líneas de espera que representa al enrutador será el modelo M/M/1. Una sola línea de espera (una sola entrada), cuya capacidad es infinita, un solo dependiente o enrutador y el modelo de funcionamiento o disciplina es FIFO.

SIMULACIONES Tanto el transmisor como el canal de comunicación son ideales, no hay errores ni perdidas de datos. El enrutador recibe paquetes de diferentes fuentes, tiene memoria suficiente para almacenar en línea de espera todos los paquetes que recibe. La velocidad de transmisión y recepción son iguales. Tanto el equipo trasmisor (pc, switch, etc.) como el receptor (router) tiene la misma velocidad de transmisión y recepción de paquetes. En los tiempo de procesamiento no se cuenta los tiempos que involucran la puesta del paquete en la línea de espera de salida y el tiempo que tarda la transmisión del paquete. Todos los paquetes son idénticos, en su tamaño en bytes la MTU (Maximo Tamaño de paquete) es determinística.

SIMULACIONES Queue Análisis es utilizada para realizar las simulaciones del modelo de la línea de espera M/M/1 mediante eventos discretos es. Esta herramienta resuelve y permite evaluar el desempeño de un sistema de líneas de espera, permitiendo establecer dinámicamente la cantidad de servidores (Enrutadores), el tamaño de población (Paquetes) y el modelo de llegada (según una distribución establecida), etc. VELOCIDAD DE TRANSMISION PARA EL PROTOCOLO ETHERNET 10BaseT4 a 100Mbps MTU. Máximo tamaño del paquete (MTU) para Ethernet = 1500 bytes CAPACIDAD DE PROCESAMIENTO DE UN ENRUTADOR. Cantidad de paquetes procesados por unidad de tiempo

EJEMPLO SIMULACIÓN Escenario 1. Referencia Ethernet = 100BaseT, velocidad transmisión: 100Mbps. Velocidad de transmisión en bps = 100000000bps. Máximo tamaño del paquete (MTU) para Ethernet = 1500 bytes  12000bits Máximo numero paquetes por segundo = 100000000/12000 = 8333. Modelo: Tiempo de simulación: 5 segundos. Tasa media de llegadas: No paquetes que llegan: 41665 paquetes. Índice de las llegadas λ: 8333 pps. Tasa media de procesamiento: No paquetes procesados: 72400 pps. Índice de procesamiento μ: 14480 pps.

EJEMPLO SIMULACIÓN Escenario 2. Referencia Ethernet = 100BaseT , velocidad transmisión: 100Mbps. Velocidad de transmisión en bps = 100000000bps. Tamaño promedio del paquete (MTU) para Ethernet = 900bytes.  7200 bits. Máximo numero de paquetes por segundo = 100000000/7200 = 13587. Modelo: Tiempo de simulación: 5 segundos. Tasa media de llegadas: No paquetes que llegan: 67935 paquetes. Índice de las llegadas λ: 13587 pps. Tasa de procesamiento: No paquetes procesados: 72400 pps. Índice de paquetes procesados μ: 14480 pps.

EJEMPLO SIMULACIÓN Escenario 3. Rango variable de Tasa media de llegadas Modelo: Tiempo de simulación: 5 segundos. Tasa media de llegadas: Índice de las llegadas λ: De 7000 pps a 14000 pps aumentando cada 100. Tasa media de procesamiento: Índice de paquetes procesados μ: 14480 pps.

EJEMPLO SIMULACIÓN Escenario 4. Rango variable de Tasa media de procesamiento Modelo: Tiempo de simulación: 5 segundos. Tasa media de llegadas: Índice de las llegadas λ: De 8333 pps. Tasa media de procesamiento: Índice de paquetes procesados μ: De 14480 pps a 20000 aumentando cada 100.