Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento. Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F Es una fuerza constante capaz de entregar energía para inducir oscilaciones? Respuesta: NO. Versión grafica del mismo argumento. Velocidad F

El oscilador amortiguado disipa energía porque la fuerza viscosa es SIEMPRE opuesta a la velocidad. La fuerza viscosa esta “contra fase” con la velocidad, resultando en una perdida de energia (disipacion) en cada ciclo. Debido a esta perdida de energia la velocidad disminuye con lo que la perdida de energia en el proximo ciclo es menor y asi siguiendo resultando, como ya vimos, en una exponencial. Velocidad F

Inyectar energía en un oscilador viscoso, el oscilador amortiguado y forzado alcanza un estado estacionario. F F(t) Una fuerza “sincronizada” con el desplazamiento inyecta energia en el sistema. Un oscilador forzado tiene una energia incial; si la energia disipada (porque la velocidad inicial no es suficientemente grande) es menor que la inyectada el sistema aumenta la energia en cada ciclo con lo que la velocidad aumenta, la energia disipada es mayor... El estado estacionario se alcanza cuando se llega a una velocidad promedio (sin signo) tal que la energia disipada (por la viscosidad) es igual a la absorvida (entregada por la fuerza externa). Velocidad F Viscosa Forzado Ext

El oscilador amortiguado y forzado: Newton aun... F(t) Como siempre, la ecuación diferencial (de Newton) es el punto de partida para entender el movimiento. Una vez más, y dado que esta es una ecuación diferencial lineal, proponer una función exponencial (con exponente real e imaginario) convierte esta ecuación diferencial en una ecuación algebraica en el exponente. Reemplazando la exponencial genérica en la ecuación diferencial, planteando la ecuación algebraica y resolviéndola se obtiene:

El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria. F(t) La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.

El oscilador amortiguado y forzado: Solución estacionaria. F(t) Independiente de las condiciones iniciales La solución a esta ecuación diferencial depende, como las otras que hemos visto, de las condiciones iniciales. Siendo una ecuación de segundo orden quedan dos parámetros a ajustar (físicamente, la velocidad y posición inicial). La solución estacionaria de esta ecuación es independiente de las condiciones iniciales tal como sucede con las otras posiciones de equilibrio que hemos visto. Así como en las soluciones exponenciales el estado de equilibrio corresponde a un punto fijo, aquí la solución estacionaria “de equilibrio” corresponde a una oscilacion.

Una aproximación empírica a la solución estacionaria. SIMULACIONES 1 F F(t) Independiente de las condiciones iniciales Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Posición en el punto de equilibrio y velocidad positiva y de modulo máximo

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Durante este cuarto de ciclo la posición es positiva así como la velocidad. A medida que aumenta la posición, la velocidad disminuye.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Posición en el punto máximo (positivo), la velocidad es 0 y cambia de signo.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x es positiva pero la velocidad es negativa.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Medio ciclo completado, la posición vuelve a ser la misma pero la velocidad se ha invertido. Nótese que entre pi/2 y 3pi/2 se da la situación inversa...

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Durante este cuarto de ciclo de la oscilación tanto x como la velocidad son negativas.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Durante este cuarto de ciclo de la oscilación, x es NEGATIVA y la velocidad es POSITIVA.

Crónica de una oscilación Posición Velocidad (Punto de equilibrio) x=0 Luego de estos cuatro cuartos (cada uno de pi/2) el ciclo se ha completado. Fase de 0 o de 2pi es estrictamente lo mismo.

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía. Velocidad Positiva Velocidad Negativa x t

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía. Velocidad Positiva Velocidad Negativa Fuerza x t

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía. Velocidad Positiva v>0 F>0 +E v<0 F>0 -E v<0 F<0 +E v>0 F<0 -E Velocidad Negativa Fuerza t Si el movimiento y la fuerza están en fase, la transferencia de energía es 0 x

Crónica de una oscilación y de como (y cuando) inyectarle energía. Velocidad Positiva v>0 F>0 +E v<0 F<0 +E v<0 F<0 +E v>0 F>0 +E Velocidad Negativa Fuerza t La transferencia de energía es optima cuando la diferencia de fase es un cuarto de ciclo, es decir cuando la fuerza es proporcional a la velocidad. x

Una aproximación empírica a la solución estacionaria. F F(t) Independiente de las condiciones iniciales Estudiar computacionalmente el comportamiento “asintotico” de este problema fisico.

Una aproximación empírica a la solución estacionaria. F F(t)

Solución analitica a la solución estacionaria. F F(t)

Una aproximación empírica a la solución estacionaria. F F(t) Conclusión 1: Tanto A como fi, quedan determinadas por m,w,k,gama,F. Es decir estas no son constantes libres de la ecuación diferencial. La solución estacionaria es insensible a las condiciones iniciales y depende solamente de la relación entre el oscilador y el forzado.

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso) F(t)

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Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso) F(t) ENCONTRAR LAS TRES DIFERENCIAS

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso) F(t) Conclusión 2: La energía del oscilador en el estado estacionario es constante, se ha llegado a un balance entre la energía disipada y absorbida por ciclo. La energía del oscilador es igual al cuadrado de la amplitud y por lo tanto depende de los parámetros físicos del oscilador y de cierta relación de “coherencia” entre estos y el forzado.

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos. F(t) k=5,m=1 g=0.2 g=0.2 Dos términos positivos. La función será máxima cuando cada uno se minimice. 1)La amplitud (y por ende la transferencia de energía) es máxima cuando la frecuencia del forzado es igual a la frecuencia natural del oscilador. 2) La amplitud máxima es inversamente proporcional a la velocidad. Nótese que para viscosidad cero es infinita. ¿Porque?

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos. F(t) g=0.2 k=5,m=1 g=0.2

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos. F(t) Cambio de escala k=30,m=1 g=2 g=0.5 g=2

Amplitud del forzado en funcion de los parametros fisicos. F(t) El ancho de la curva de amplitud escalea con la viscosidad y disminuye con la raíz de la masa y la constante elástica. Nótese que esta comparación es equivalente al cociente para determinar si un oscilador no forzado llega a oscilar o no. k=30,m=1 g=2 g=0.5 g=2

Amplitud del forzado en función de la masa. F(t) m=3 Aumentar la masa resulta en frecuencias mas bajas y un mundo “en aparencia” mas viscoso. m=1

Espectro, una función de transferencia. F(t) Conclusión 3: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada. Es un filtro, un procesador. Dada una función de entrada cos(wt) responde con la misma frecuencia multiplicado por un factor. Este factor esta dado por el ESPECTRO o CURVA DE RESONANCIA, que es característico y que establece una huella digital del objeto. En realidad el objeto “es” su espectro. La funcion de transferencia, o espectro, tiene un maximo en la frecuencia natural del oscilador y un ancho proporcional a la viscosidad e inersamente proporcional a su “oscilaridad”.

Oscilaciones gratis (en un medio no viscoso) y oscilaciones pagas (forzadas en un medio viscoso) F(t) Conclusión 4: La función de transferencia, además de definir una relación de amplitud, define una relación de fase. Esta función, veremos, es tal que progresa desde la sincronia hasta la anti-sincronia (diferencia de pi) a medida que crece la frecuencia del forzado. En el medio, al pasar por la frecuencia del oscilador, la fuerza es proporcional a la velocidad, lo que hace que la transferencia de energía sea maxima.

Fase del forzado en función de los parámetros físicos. F(t) k=5,m=1,g=0.5

Fase del forzado en función de los parámetros físicos. F(t) k=5,m=1,g=0.5

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud k=30;gama=2;m=1; F(t)

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud k=30;gama=0.5;m=1; F(t)

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud k=30;gama=0.5;m=5; F(t)

Espectro, una función de transferencia. Fase y amplitud k=60;gama=0.5;m=5; F(t)

Espectro, una función de transferencia: Fase y amplitud k=60;gama=0.5;m=5; F(t) DILATACION ROTACION

Espectro, una función de transferencia. Un producto complejo. DILATACION ROTACION

Espectro, una función de transferencia compleja. Conclusión 3 Revisitada: Un objeto físico compuesto por una masa, un resorte y un medio viscoso (oscilador forzado amortiguado) puede pensarse como un objeto con una función de respuesta a una entrada, la multiplicacion por un numero complejo. Esto resulta en: multiplicar la amplitud por un factor, determinado por A(w) y cambiar la fase por un fa factor determinado por fi(w). DILATACION ROTACION