Fundamentos Matemáticos IV David Delgado Gómez david.delgado@upf.edu Despacho 321

Historia de la teoría de Grafos 1736: Solución de los puentes de Konigsberg por Euler. 1936: Konig escribe el primer libro sobre teoría de grafos (en alemán) 1962: Oystein Ore escribe el primer libro en ingles sobre la teoría de grafos:”Theory of Graphs”.Tambien escribe: Graphs and Their Uses (1963) y The Four-Color Problem (1967) 2007: Multiples aplicaciones debido a su relacion con ciencias de la computacion: optimizacion de redes o clasificacion de datos.

Ejemplo de Grafo (Matching) Alan Beatriz Carlos Diana Restaurante Secretaria Bar Librero Alan Beatriz Carlos Diana Secretario Librero Restaurante Secretaria Bar Librera

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Ejemplo Grafo (Hamiltoniano) Tomas, Daniel, Susana, Linda y Javier van a una cena. Se sabe que: Tomas conoce a Susana y Linda. Daniel conoce a Susana y Linda. Javier conoce a Daniel y Linda. ¿Es posible sentarlos en una mesa redonda de forma que personas que estén sentadas juntas se conozcan? Javier Linda Tomas Susana Daniel Tomas Susana Linda Javier Daniel

Ejemplo de Grafo (Coloracion) Imaginemos que tenemos que mover los siguientes animales de un zoo a otro León Conejo Hámster Tigre Hurón ¿Cuál seria el mínimo numero de compartimentos necesario para poder desplazarlos sin que se coman?

León Hurón Conejo Hámster Tigre León Tigre Hámster Conejo Hurón

Definición: Un grafo G esta formado por un par de elementos (V,E), donde V es un conjunto de elementos llamados vértices ( o nodos o puntos) y E es un conjunto (que puede ser vacío) de subconjuntos de dos elementos de V llamado aristas (bordes, ramas o líneas). X Y Z U W V V(G)={X, Y, Z, U, V, W} E(G)={YX, XZ, XW, WU, UV}

Definiciones: El número de vértices se denomina el orden p de un grafo. El número de aristas es el tamaño q del grafo. Dos vértices unidos por una arista se dice que son adyacentes. X Y Z U W V Orden=6 Tamaño=5 U y V son adjacentes Observación: q es menor o igual a p (p-1)/2.

Observación: Durante el curso analizaremos propiedades y aplicaciones de “grafos”. Multi-grafos y Pseudo-grafos serán tratados únicamente en momentos puntuales. Barcelona Sant Cugat Rubí Multi-Grafo Pseudo-Grafo

Definiciones(2): Dado un vértice v de un grafo G se define la vecindad de v, N(v) como N(v)={u ε V(G) | vu ε E(G)} Se define el grado ‘grad(v)’ de un vértice v como el numero de vecinos que tiene. Si G tiene tamaño p entonces 0 ≤ grad(v) < p

Ejemplo: Hallar el orden, tamaño y grado de los vértices del siguiente grafo: X V Z U W Orden=p=6 Tamaño=q=5 Grad(x)=2 Grad(y)=2 Grad(z)=3 Grad(v)=2 Grad(u)=1 Grad(w)=0 Par Impar Impar Vértice Extremo (Par) Vértice aislado Observación: grad(x)+grad(y)+grad(z)+grad(u)+grad(v)+grad(w)=10= 2q. Observación: El numero de vértices de grado impar es un numero par.

Teorema. Sea G un grafo de orden p y tamaño q, con V(G)={v1, v2, …, vp}. Entonces ∑ grad(vi)=2q Consecuencia. Todo grafo G tiene un numero par de vértices de grado impar ∑ grad(vi) = ∑par grad(vj) + ∑impar grad(vz) =2q ∑impar grad(vz) =2q- ∑par grad(vj)=par

Ejemplo: Si tenemos 20 aristas y queremos construir un grafo donde todos los vértices tienen grado 4, cuantos vértices debería tener el grafo ∑ grad(vi) =2 q=40 4p=40 p=10 El grafo tendría 10 vértices. Ejemplo: ¿Es posible que en un grupo de 7 personas cada una conozca exactamente a 3 del grupo? ∑ grad(vi) =2 q 3*7=2q 21=2q q=21/2 lo cual es absurdo. Por tanto no es posible

Grafos especiales Un grafo se dice regular de grado r si todo vértice de G tiene grado r. P=4 Regular 0 Regular 1 Regular 2 Regular 3 Observación: - SI G tiene orden p y es regular de grado r entonces 0 < r < p-1. - Si G tiene orden p y r es un numero entero puede ocurrir que no existan grafos regulares para este orden p y grado r. Por ejemplo p=5 y r =3.(numero impar de vértices impares) (ver Havel-Hakimi)

Un grafo de orden p se dice completo si cada vértice de G es adyacente a todos los demás. Es decir, es un grafo regular de grado p-1 y tiene tamaño p (p-1)/2. Se denotara por Kp K1 K2 K3 K4 K5

Un grafo G se dice bipartito si V(G) pueden ser separado en dos conjuntos no vacíos V1 y V2 tales que todo vértice de G une un vértice de V1 con uno de V2. U Y Z X W V X Z W U Y V

Un grafo G se dice bipartito completo si es bipartito y cada vértice de V1 es adyacente a todos los de V2. Se representara por Km,n U Y Z X W V V U Y Z X W Bipartito completo K2,4 Bipartito

Ejemplo: Dibujar los grafos K5 y K1,5

Secuencia de grados Dado un cierto numero de vértices y sus grados, ¿Cómo decidir si existe un grafo con ese numero de vértices y con esos grados? Definición: Dado un grafo G de orden p, la sucesión s=grad(v1), grad(v2), grad(vp) se denomina sucesión de grados del grafo. Por convenio asumiremos que grad(v1) ≥ grad(v2) ≥ … ≥ grad(vp) s=4,4,3,2,2,1 Definición: Decimos que una secuencia de enteros no negativa es grafica si es la secuencia de grados de algún grafo La secuencia 4,4,3,2,2,1 es grafica. Anteriormente vimos que 3,3,3,3,3 no es gráfica.

¿Cómo determinar que una sucesión es grafica? Para que sea grafica dos condiciones necesarias son: grad(vi) ≤ p-1 - ∑ grad(vi) sea par Sin embargo estas condiciones no son suficientes. (Es decir si no se cumplen la secuencia no es grafica pero si se cumplen puede que lo sea puede que no) Ejemplo: Cinco invitados van a una fiesta. ¿Es posible que cada una de ellas conozca a un numero diferente de invitados? Si esto fuese posible se tendría que s: 0,1,2,3,4 Lo cual es absurdo ya que un invitado no conoce a nadie (grado 0) pero habría otro de los invitados (grado 4) que si la conocería. Con lo cual esta secuencia no puede ser grafica. Sin embargo cumple las dos condiciones necesarias.

Teorema de Havel - Hakimi: Supongamos que tenemos p vértices con una secuencia de grados s: d1, d2,…, dp de enteros no negativos , y sea d1≥ d2 ≥ …. ≥ dp con p ≥ 2 y d1 ≥ 1. La secuencia s es grafica si y solo si la secuencia s1: d2-1 , d3 -1, … , d d1+1-1,d d1+2, dd1+3, … , dp es grafica. Algoritmo para determinar si una secuencia es grafica ( If ) Si no cumple las dos condiciones necesarias entonces no es grafica. ( Else ) Si las cumple (If) Si todos los grados son 0 entonces es grafica. (Else) Si no (While) Mientras existan grados distintos de 0 y no haya elementos negativos. Aplicar Havel –Hakimi. Reordenar términos si no están decreciendo. (Else)Si no

Ejemplo: Determinar si la secuencia 4 4 3 3 2 2 es grafica. Tiene 6 vértices y todos los grados son menores que 6. La suma de los grados es 18 que es un numero par Entonces puede ser grafica Paso 1: 3 2 2 1 2 Paso 1-Reordenamiento: 3 2 2 2 1 Paso 2: 1 1 1 1 Paso 3: 0 1 1 Paso 3 – Reordenamiento : 1 1 0 Paso 4: 0 0 entonces es grafica

Ejemplo (Continuación): Sabiendo que la sucesión 4 4 3 3 2 2 es grafica, dibujar un grafo que tenga esta secuencia Paso 4: 0 0 Paso 3: 0 1 1 Paso 3 – Reordenamiento : 1 1 0 Paso 2: 1 1 1 1 Paso 1: 3 2 2 1 2 Paso 1-Reordenamiento: 3 2 2 2 1 Sucesión: 4 4 3 3 2 2

Ejemplo: Determinar si la secuencia 5 4 3 2 1 1 es grafica. Tiene 6 vértices y todos los grados son menores que 6. La suma de los grados es 16 que es un numero par Entonces puede ser grafica Paso 1: 3 2 1 0 0 Paso 2: 1 0 -1 0. Entonces no es grafica.

Subgrafos Definición. Un grafo H es un subgrafo de un grafo G si V(H) están incluidos en V(G) y E(H) están incluidos en E(G). Grafo G Subgrafo G NO es subgrafo G

Subgrafos especiales Definición: Un subgrafo H de G se dice recubridor, cobertor o generador si V(H) = V(G). NO es Subgrafo Recubridor de G Subgrafo Recubridor de G NO es Subgrafo Recubridor de G Grafo G

Se define el subgrafo inducido por un conjunto de vértices S de G <S>, como el MAXIMO subgrafo de G que tiene los vértices de S. NO es un subgrafo inducido por un subconjunto de vértices de G NO es un subgrafo inducido por un subconjunto de vértices de G SI es un subgrafo inducido por un subconjunto de vértices de G Grafo G

Se define el subgrafo inducido por un conjunto de aristas X de G <X>, como el MINIMO subgrafo de G que tiene las aristas en X . SI es un subgrafo inducido por un subconjunto de aristas de G NO es un subgrafo inducido por un subconjunto de aristas de G SI es un subgrafo inducido por un subconjunto de aristas de G Grafo G

Programación: representación de grafos

Matriz de adyacencia Definición: Dado un grafo G de orden p y tamaño q con V(G)={v1, v2, …, vp} se define la matriz de adyacencia A=[aij] de G como la matriz p X p definida por aij= 1 si vivj pertenece a E(G) aij=0 si vivj no pertenece a E(G) v1 v3 v4 v6 v5 v2 v1 v2 v3 v4 v5 v6 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Observación: Una matriz de adyacencia es simétrica y la diagonal esta formada por ceros

Lista de adyacencia Una matriz de adyacencia necesita p2 posiciones de memoria. Si un grafo tiene pocas aristas y muchos vértices esto supone un mal uso de la memoria. 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4 v1 v3 v4 v6 v5 v2 Una lista de adyacencia necesita (p+q)*2 posiciones de memoria

Tabla de adyacencia Una forma mas ordenada de presentar la lista de adyacencia es mediante una tabla de adyacencia. Requiere (p+2q)*2 posiciones de memoria. 1 7 2 9 3 11 4 15 5 16 6 0 7 2 8 8 3 0 9 1 10 10 3 0 11 1 12 12 2 13 13 4 14 14 5 0 15 3 0 16 0 0 1 2 3 4 5 6 2 3 1 5 4

Isomorfismo de grafos Los tres grafos tienen p=5, q=6 y s= 3,3,2,2,2 El tercer grafo no es isomorfo por que los vértices de grado 3 están unidos. El grafo 1 y 2 son isomorfos. Podríamos preferir el grafo 2 si estamos dibujando un circuito ya que sus aristas no se cruzan.

Definición: Dos grafos G1 y G2 son isomorfos si existe una función biyectiva f :V(G1)->V(G2) De forma que si uv pertenece a E(G1) entonces f(u)f(v) pertenece a E(G2). Observación: Para probar que dos grafos son isomorfos hay que dar el isomorfismo Para probar que no son isomorfos basta con ver que uno no tiene una propiedad que el otro tiene y que se conserva bajo el isomorfismo. Por ejemplo: Ambos deben tener el mismo numero de vértices. Ambos deben tener el mismo numero de aristas. Ambos deben tener la misma secuencia de grados Grafos no isomorfos de orden 3