Variables estadísticas bidimensionales

Variables estadísticas bidimensionales Ejemplo 1.- Estudiamos la talla, medida en cm. y el peso, medido en kg. de un grupo de 10 personas, podemos obtener los siguientes valores Talla (cms) 160 165 168 170 171 175 180 182 Peso (kgs) 55 58 61 67 62 66 74 79 83

Podemos llamar X a la talla e Y al peso con lo que se obtendría la variable bidimensional (X, Y) que toma 10 valores, que son las 10 parejas de valores de la tabla anterior: (160,55), (165,58), etc.

En la primera fila se colocan los valores de una de las características o variable que componen la variable bidimensional y en la primera columna los de la otra. En algunos casos el número de "parejas" de valores (x,y) es grande y además muchos de ellos aparecen repetidos; en este caso se utiliza una "Tabla de doble entrada" como la que se muestra a continuación en el ejemplo 2

Ejemplo 2.- Se representa por X el número de hijos de 100 familias y por Y el número de hijas Nº de hijas(Y) Nº de hijos( X) 1 2 3 Total 10 15 43 12 7 31 8 4 16 6 33 34 27 100 La lectura de esta tabla es sencilla. Por ejemplo: habría 7 familias que tendrían 1 hijo y 2 hijas y ninguna familia tendría 3 hijos y 3 hijas.

Representación gráfica Diagramas de dispersión o nubes de puntos La representación gráfica de este tipo de variables es en realidad semejante a la respresentación de puntos en el plano, usando unos ejes de coordenadas. Cada pareja de valores da lugar a un punto en el plano y el conjunto de puntos que se obtiene se denomina "diagrama de dispersión o nube de puntos".

En el ejemplo 1 anterior en el que se estudiaba la talla y el peso de 10 personas se obtendría el siguiente diagrama de dispersión: (En el eje X se representa la talla en cm. y en el eje Y el peso en kg.)

Diagramas de dispersión o nubes de puntos Se puede ver en el primera figura que correspondía al diagrama de talla - peso que la serie de puntos presenta una tendencia "ascendente" . Se dice en este caso que existen entre las dos variables una "dependencia directa" . En caso en que la tendencia sea "descendente" se diría que estaríamos ante una " dependencia inversa " Naturalmente en caso en que no se pueda observar una tendencia clara estaríamos ante una dependencia muy débil que no se puede observar mediante la nube de puntos

Diagramas de dispersión o nubes de puntos

Covarianza Correlacion PARÁMETROS Covarianza Correlacion

Covarianza Sean (xi, yi ) pares de observaciones de dos caracteristicas X y Y, y sean sus respectivas medias. La covarianza entre entre las dos variables se define por : Donde xi e yi representan los pares de valores de la variable y el producto corresponde al producto de las medias aritméticas de las variables x e y respectivamente.

Pasos para calcular la covarianza de una serie de eventos Paso 1: Se calcula Σxiyi , esto es la sumatoria de los productos de las variablares x y y; o sea: (x1 * y1) + (x2 * y2) + ... +(xn * yn ) Paso 2: se define n, que el numero de eventos o el numero de pares de cariables Paso 3: Se calcula , que es el producto de las medias de ambas variables Paso 4: Obtenidos todos los datos se sustituyen en la formula y se obtiene el resultado

Calculemos la covarianza para el ejemplo primero correspondiente a la variable talla - peso Paso 1: La suma de todos los productos de los valores de x (talla) por los de y (peso) sería: 160 · 55 + 165 · 58 + 168 · 58 + 170 · 61 + 171 · 67 + 175 · 62 + 175 · 66 + 180 · 74 + 180 · 79 + 182 · 83 = 114987 Paso 2: Definimos n como el numero de eventos en este caso es 10

Paso 3: A este valor debemos restarle el producto de las medias de ambas variables que naturalmente sabes calcular: Media de x (talla): 172.6 = 172.6 * 66.3 = 11443.38 Media de y (peso): 66.3 De acuerdo ala formula tenemos que: Sxy = (114987 / 10 ) – 11443.38 Sxy = 55.32 Hemos obtenido un valor positivo para la covarianza que corresponde a una dependencia directa como ya habíamos intuido con la nube de puntos

Coeficiente de correlacion Una vez observado que en una variable bidimensional existe una cierta dependencia entre las dos características o variables que la forman (nube de puntos y covarianza), podemos precisar el grado de dicha dependencia. Si los puntos de la nube estuvieran todos sobre la recta de regresión se diría que existe una dependencia funcional. De su estudio se encargan las funciones. Si los puntos no están todos sobre la recta de regresión se dice que entre las variables hay una cierta correlación lineal. Este es el caso que nos ocupa. Para cuantificar el grado de dicha correlación se usa el Coeficiente de correlación. Si le llamamos r, su valor es:

Puede observarse que el signo del coeficiente de correlación es el mismo que el de la covarianza y puede deducirse que el valor del mismo esta comprendico entre -1 y 1. Se pueden deducir las siguientes conclusiones relativas al coeficiente de correlación (r): - Su signo es el mismo de la covarianza, luego si r es positivo la dependencia es directa y si es negativo inversa. - Si r se acerca a -1 o a +1, la dependencia es fuerte y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán bastante fiables. - Si r se acerca a 0 la dependencia es débil y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán poco fiables

Ejemplo: Calcularemos la correlacion para el ejemplo de las tallas y los pesos Sxy = 55.32 Sx = 50.71 Sy = 752.81 r = 55.32 / (50.71 * 752.81) r =0.0014 r se acerca a 0 la dependencia es débil y por tanto las predicciones que se realicen a partir de la recta de regresión serán poco fiables

Recta de regresion Relacion entre dos variables Variable independiente x Variable dependiente y función lineal del tipo y = ax + b, su gráfica correspondería a una recta recta de regresión.

se deduce que la recta de regresión debe pasar por el punto correspondiente a las medias de ambas variables y que debe tener por pendiente la covarianza dividida por la varianza de la variable x. Con ello la expresión de la recta de regresión será: Esta es la llamada "Recta de regresión de y sobre x". Si se deseara estudiar la dependencia de x respecto a y sólo habría que cambiar en la expresión de la recta x por y, obteniéndose la recta regresión de x sobre y

En la imagen siguiente se muestra la recta de regresión de y (peso) sobre x (talla) del ejemplo 1 de este tema. En este caso se supone que represente cómo depende el peso de una persona de su talla Si recordamos que entre la talla y el peso decíamos que existía una dependencia directa, la recta de regresión lo confirma ya que su pendiente es positiva: a medida que aumenta la talla aumenta el peso. Por tanto: Dependencia directa - Pendiente de la recta positiva - Función creciente

Utilidad tiene la recta de regresión Mediante la recta de regresión podríamos obtener de manera aproximada el valor de la variable dependiente (y) de la que conociéramos la variable independiente (x), en una población semejante a aquella de la que se ha obtenido la muestra De manera más precisa, si conocemos la expresión de la recta de regresión, se pueden calcular valores para la variable y, conocidos los de x, como si se tratara de una función

Ejemplo : Si observamos la gráfica, podríamos suponer por ejemplo que una persona de 185 cm pesaría algo más de 80 kg De acuerdo ala formula La recta de regresión de la variable y (talla) sobre x (peso) será la recta: que pasa por el punto (172,6 ; 66,3) (medias repectivas de (x,y)) tiene de pendiente: 55.32 / 50.71 = 1.0909 Recta: y – 66.3 = 1.0909 ( x – 172.6) que operando y simplificando queda: y = 1.0909x – 121.9

El valor del peso que suponíamos aproximado para una talla de 185 cm sería: Este valor obtenido es algo menor al esperado. Eso quiere decir que las predicciones hechas con la recta de regresión no son exactas. Mas adelante precisaremos la "fiabilidad" de las mismas. Por tanto la recta de regresión se puede utilizar para realizar predicciones para la variable y a partir de valores conocidos de la variable x.