Bero-transmisio mekanismoak

Beroa 3 mekanismoren bitartez transmititu daiteke: KONDUKZIOA (Fourier-en legea) KONBEKZIOA (Newton-en hozketa-legea) ERRADIAZIOA (Stefan-Boltzman-en legea) T2 G Q T1

Fourier-en legea : KONDUKZIOA Tenperatura eremua  =  (x,y,z,t ) Tenperatura gradientea Grad  = (/n) n z n Grad  =   = (/x) i + (/y) j + (/z) k  x y Fourier-en legea : q = Q/A = - k (θ)   q = qx i+ qy j+ qz k= -[ kx ()  ] i - [ky ()  ] j - [kz ()  ] k

dQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatu Kondukzioaren ekuazio orokorra: qz+dz z qx qG qy qy+dy qx+dx y qG= elementuan barne garatutako beroa (W/m3) qz x Energia-balantzea eginez: dQsartu + dQgaratu = dQirten + dEmetatu dQsartu = qx dydz + qy dxdz + qz dxdy dQgaratu = qG dV dQirten = qx+dx dydz + qy+dy dxdz + qz+dz dxdy dEmetatu = cp /t dm =  dV cp /t

Fourier aplikatuz: qx = -k()/x qx dydz + qy dxdz + qz dxdy + qG dV = qx+dx dydz + qy+dy dxdz + qz+dz dxdy +  dV cp /t Fourier aplikatuz: qx = -k()/x Taylor-en seriean garatuz: qx+dx = qx + ( qx/x) dx qx + [ (-k()/x) / x ] dx qG dV = [ (-k()/x) / x ] dx dydz + [ (-k()/y) / y ] dy dxdz + [ (-k()/z) / z ] dz dxdy +  dV cp /t = [ -k() ] dV +  dV cp /t qG = [ -k() ] +  cp /t

Hipotesiak: materiale isotropoa K()x = K()y = K()z propietate fisikoak konstanteak K() = K = Kte qG = kte Kondukzioaren ekuazio orokorra k 2  + qG =  cp /t 2  = laplaziarra: Koordenatu kartesiarretan 2  = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2 Koordenatu zilindrikotan 2  = 1/r (r/r)/r + 1/r2  2/2 + 2/z2 Koordenatu esferikotan 2  = 1/r2 (r2/r)/r + ...

koordenatu kartesiarrak 2  = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2 2  = laplaziarra: koordenatu kartesiarrak 2  = 2/x2 + 2/y2 + 2/z2

2  = laplaziarra koordenatu zilindrikoak 2  = 1/r (r/r)/r + 1/r2  2/2 + 2/z2  z r 2  = laplaziarra: koordenatu esferikoak 2  = 1/r2 (r2/r)/r + 1/(r2senΦ) (senΦ /Φ)/ Φ + 1/(r2sen2Φ) 2/2 r Φ 

Pareta laua bero garapenik gabe Condukzioaren ekuazio orokorra a 2  + qG/  cp = /t Tenperatura eremua =  ( x,y,z,t ) Errejimen egonkorra /t = 0 p1 λ  =  ( x,y,z ) y z p2 x Bero garapenik gabe qG = 0 L a 2  = 0 λ 2  = 0

Pareta laua bero garapenik gabe Grad  =   = (/x) i + (/y) j + (/z) k Grad  =   = (/x) = d/dx  =  ( x ) Fluxu dimentsiobakarrekoa z y x

q 1 2 L Fluxu dimentsiobakarrekoa Laplaziarra 2  = 2/x2 = d2/dx2 λ2  = 0 2  = d2/dx2 = 0 1 q d/dx = C1 (x) (x) = C1 x + C2 → Lerro zuzena 2 x L

C1 eta C2 integrazio konstanteak ingurune-baldintzak aplikatuz askatzen dira: 1. ing. bald.: x = 0  = 1 2. ing. bald.: x = L  = 2 1 1.i.b.: 1 = C1· 0 + C2 → C2 = 1 (x) 2.i.b.: 2 = C1·L + 1 → C1 = (2 - 1) / L 2 x Tenperatura-distribuzioa q (x) = 1 + (2 - 1) x / L L

Fourier-en legea aplikatuz: qx = - λ = - λ d/dx = - λ [ (2 - 1) / L ] = λ / L · ( 1 - 2 ) = kte

Ejercicio pared simple Pared plana sin generación interna de calor En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes del almacén, con un área transversal de 100 m2, tiene una ganancia de calor por transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento. λ = 0.03 W / m K θe = 15 ºC Despreciando la resistencia térmica que supone la pared metálica dada su alta conductividad, y considerando régimen estacionario y flujo unidimensional: θi = -20 ºC λ2  = 0 x d/dx = C1 (x) = C1 x + C2 e

Condiciones de contorno: Pared plana sin generación interna de calor Condiciones de contorno: x 1. cond. contorno: x = 0  = -20 ºC 2. cond. contorno: x = e  = 15 ºC 1.c.c.: -20 = C1· 0 + C2 C2 = -20 e 2.c.c.: 15 = C1·e - 20 C1 = 35 / e Aplicando Ley de Fourier: Q = q · A = - λ ·A= - λ d/dx · A= - λ 35/e · A e = - λ 35 · A / Q = - 0.03 · 35 · 100 / -2000 = 0.0525 m = 5.25 cm

Otras posibles condiciones de contorno Pared plana sin generación interna de calor Otras posibles condiciones de contorno Cond. Contorno de 2ª especie: Flujo de calor conocido x = 0, L qx = q Cond. Contorno de 3ª especie: Contacto con fluido x = 0, L qx = qconvección q qconvección 2(x) λ1 x L1

Cond. Contorno de 4ª especie: Contacto con otra capa Pared plana sin generación interna de calor Cond. Contorno de 4ª especie: Contacto con otra capa x = 0, L qx = qconducción superficie 2 - λ1 1 x = - λ2 2 x q1 q2 2(x) 1(x) λ1 λ2 x L1 L2

Ohm-en legea Fourier-en legea Analogia elektrikoa Ohm-en legea Fourier-en legea I = V2-1 / R q = 2-1 / (L / λ ) 2-1 = potentzial termiko diferentzia L / λ = erresistentzia termikoa V2-1 = Potentzial elektriko diferencia R = erresistentza elektrikoa I = flujo de carga eléctrica q = Flujo de calor R ( m2 º C / W ) pareta lauaren erresistentzia termikoa I 1 2 q V1 V2 k L R

Ejercicio resuelto por analogía eléctrica En un almacén frigorífico la temperatura superficial interior es de -20 ºC. Sobre la pared metálica se desea colocar una aislamiento plástico rígido de conductividad térmica 0.03 W / m K. Una de las paredes que tiene un área transversal de 100 m2 tiene una ganancia de calor por transmisión de 2 kW, Si el aire exterior tiene una temperatura de rocío de 15 ºC, cálcúlese el espesor del aislamiento mínimo para que no se produzcan condensaciones superficiales en la cara exterior del aislamiento. λ = 0.03 W / m K Considerando que λpared metálica >> λaislamiento → Rpared metálica << Raislamiento: θe = 15 ºC q q θe = 15 ºC θi = -20 ºC θi = -20 ºC x Rpared metálica Raislamiento Raislamiento = (θe - θi ) / q = (15 –(-20)) / (2000/100) = 1.75 ºC/Wm2 e Raislamiento = L / λ → L = Raislamiento · λ = 1.75 · 0.03 = 0.0525 m

Pareta konposatua 1 y z 4 x λ 2  =0 Geruza bakoitzarentzat: Kondukzioaren ekuazio orokorra, errejimen egonkorrean, fluxu unidimentsionala eta bero garapenik gabe : λ 2  =0 Geruza bakoitzarentzat: λ i2 i = 0 1 2 i = d2i/dx2 = 0 λ1 λ2 y λ3 di/dx = C1 z 4 i(x) = C1 x + C2 → Recta x n geruzen kasuan 2n integrazio konstante sortuko dira ( C1,…., C2n ) eta askatzeko 2n ingurune baldintza beharko dira L1 L2 L3

1. mailako 2 ingurune baldintza: Pared plana sin generación interna de calor 1. mailako 2 ingurune baldintza: q1 q2 q3 1. i.b.: x = 0  = 1 2. i.b.: x = L1+L2+L3+…Ln  = n+1 1(x) 2(x) λ2 λ1 1. mailako n-1 ingurune baldintza: λ2 3(x) x 3. i.b.: x = L1 1(x) = 2(x) . n+1. i.b.: x = L1+L2+L3+…Ln-1 n-1 (x) = n (x) L1 L2 L3 4. mailako n-1 ing. bald.: n+2. i.b.: x = L1 q(x)1 = q(x)2 . 2n. i.b.: x = L1+L2+L3+…Ln-1 q(x)n-1 = q(x)n 2n ekuazio-sistema garatzen da 2n ezezagunekin

Fourier aplikatuz 1. geruzan: Geruza bakoitza banaka aztertuz: Fourier aplikatuz 1. geruzan: q1 q2 q3 q = - (2- 1) / (L1/λ1) → 1 - 2 = q · L1/ λ1 2(x) 1(x) Fourier aplikatuz 2. geruzan: λ2 λ1 q = - (3- 2) / (L2/λ2) → 2 - 3 = q · L2/ λ2 . 3(x) λ2 L1 L2 L3 Ln Fourier aplikatuz n. geruzan: q = - (n+1- n) / (Ln/λn) → n - n+1 = q · Ln/ λn 1- n+1 = q · ( L1/ λ1 + L2/ λ2 …+ Ln/ λn ) q = ( 1- n+1 ) / ( L1/ λ1 + L2/ λ2 +…..+ Ln/ λn ) R pareta konposatuaren erresistentzia termikoa

Analogia elektrikoa λ1 λ2 λ3 λ4 λ5 R3 R5 R1 R2 R4 L1 L2 L3 L4 L5 2(x) 3(x) 1(x) L1 L2 L3 L4 L5 Zirkuito elektriko baliokidea: R3 R5 R1 R2 R4

Pareta konposatuaren analogia elektrikoa 1 λ1 λ2 R2 R3 R1 λ3 q 4 q L1 L2 L3 q = ( 1 - 4 ) / ( R1 + R2 + R3 ) 1 λ1 R1 Q q λ2 R2 2 λ3 R3 L Q = ( 1 - 2 ) · ( 1/ R1 +1/ R2 + 1/ R3 ) Ri = Li / Ai λi

Ejercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calor Calcúlese el flujo de calor a través del muro de la figura A C D λ A = 75 W / m K λ B = 58 W / m K λ C = 60 W / m K λ D = 20 W / m K A = 2 m2 a θ1 = 500 ºC El circuito eléctrico equivalente será: B QC θ4 = 100 ºC QD QA a RC = LC / AcλC QB RA = LA / A λA RD = LD / A λD 20 25 40 RB = LB / ABλB cm

Ejercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calor Resolviendo el circuito: Q RC A C D R = RA + [ RB·RC / ( RB + RC ) ] + RD RD RA RC·RB / (RC + RB ) a θ1 = 500 ºC RB RA = LA / (A λA)= 0’2 / (A·75 )= 0’00267/A ºC / W RB = LB / (AB λB )= 0’25 / [(A/2) 58] = 0’00862/A ºC / W B RC = LC / (AcλC )= 0’25 / [(A/2)·60] = 0’00834/A ºC / W θ4 = 100 ºC RD = LD / (A λD )= 0’4 / (A·20) = 0’02/A ºC / W a R = RA + [ RB·RC / ( RB + RC ) ] + RD = (1/A)·[0’00267+ [ 0’00862·0’00834 / (0’00862 + 0’00834) ] + 0’02 = 0’0269/A ºC / W Q = ( θ1 - θ4 ) / RD = ( 500 – 100 ) / (0’0269/A) = 29.730 W 20 25 40 cm

Ejercicio Una nave industrial de 100 m x 25 x 5 m tiene unas pérdidas de calor por transmisión a través de los muros de 100 kW. La composición de los muros es de ladrillo macizo de 25 cm y conductividad térmica 1 W / m K y enfoscado de yeso de 2 cm de espesor y conductividad 0,93 W / m K. Si la temperatura superficial exterior de los muros es de -1 ºC, calcúlese la temperatura superficial interior. Para reducir las pérdidas de calor a través de muros en un 50 %, se pretende instalar un aislamiento de fibra de vidrio de conductividad 0,095 W / m K mediante planchas que se adosarán al enfoscado de yeso sujetándolas por medio de un tabique de ladrillo macizo de 10 cm de espesor y conductividad 0,98 W / m K, que a su vez será revestido de un enlucido de yeso como el que tenía inicialmente. Calcúlese el espesor mínimo de aislante que será necesario instalar para conseguir dicha reducción en las perdidas por transmisión de calor a través de los muros, siendo la temperatura en el interior de la nave la calculada anteriormente.

Lámina metálica Pino Fibra de vidrio Yeso 15 cm 6 Fibra de vidrio 30 cm 2 Yeso Un techo raso como el de la figura está constituido con montantes de madera y aislamiento de fibra de vidrio entre ellos. El interior del techo raso está enyesado y en el exterior se colocó una lámina metálica delgada. Calcúlese el flujo de calor por unidad de área de techo si la temperatura superficial exterior es de -10 ºC y la superficial interior de 20 ºC. λ fibra de vidrio = 0,035 W / m K λ yeso = 0,814 W / m K λ pino = 0,15 W / m K

Ejercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calor θse = -10 ºC Lámina metálica 15 2 Pino Fibra de vidrio θsi = 25 ºC 30 cm 6 Yeso λ fibra de vidrio = 0,035 W / m K λ yeso = 0,814 W / m K λ pino = 0,15 W / m K

Ejercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calor Se coloca una capa de ladrillo refractario de 5 cm de espesor entre dos placas de acero de 0,6 cm. Las caras de la capa de ladrillo adyacente a las placas son asperas, por lo que el contacto sólido con sólido es de sólo el 30% del área total, con una altura promedio de las asperezas de 0,08 cm. Si las temperaturas superficiales de las placas de acero son de 93 ºC y 427 ºC respectivamente, determínese el flujo de calor por unidad de área. D A = 2 m2 θ4 = 100 ºC λ ladrillo = 1,731 W / m K λ acero = 51,93 W / m K λ aire = 0,0346 W / m K θ1 = 500 ºC 20 25 40 cm

Pared plana con generación interna de calor Ecuación general de la conducción a 2  + qG/  cp = /t Campo temperaturas =  ( x,y,z,t ) Régimen permanente /t = 0 1 z qG  =  ( x,y,z ) y 2 λ2  + qG = 0 x L

Pared plana con generación interna de calor Grad  =   = (/x) i + (/y) j + (/z) k Grad  =   = (/x) = d/dx  =  ( x ) Flujo unidimensional z y x

Q  2 qG 1 L Flujo unidimensional Pared plana con generación interna de calor Flujo unidimensional Laplaciana 2  = 2/x2 = d2/dx2  λ2  + qG = 0 λ 2  + qG = λ d2/dx2 + qG = 0 L x 2 1 qG Q d2 /dx2 = -qG / λ d/dx = -qG· x / λ + C1 (x) = -qG·x2 / 2 λ + C1 x + C2

Pared plana con generación interna de calor Las constantes de integración C1 y C2 se calculan aplicando las condiciones de contorno: 1.cond. de contorno: x = 0  = 1 2. cond. de contorno: x = L  = 2 (x) 1 qG 2 x Q 1.c.c.: 1 = -qG ·02/2 λ + C1· 0 + C2 C2 = 1 L 2.c.c.: 2 = -qG ·L2 /2 λ + C1·L + 1 C1 = (2 - 1) / L + qG L /2λ Distribución de temperaturas en la pared (x) = -qG· x2 / 2 λ + (2 - 1) x / L + qG x L /2λ + 1 = (x) = 1 + (2 - 1) x / L + qG· x (L-x) / 2 λ (Parábola invertida)

Pared plana con generación interna de calor Flujo de calor a través de la pared Aplicando ley de Fourier: qx = - λ = - λ d/dx = - λ [ (2 - 1) / L + qG (L / 2 – x) / λ ] Para x = 0 q0 = λ (1 - 2) / L - qG L / 2 Para x = L qL = λ (1 - 2) / L + qG L / 2 qx q0 qL x max → d/dx =0 → q = 0 Plano adiabático Flujo total de calor que sale (entra) de la pared por conducción: x q = qL + Iq0I = qG · L Q = qG · L · A = qG · V

Pared plana con generación de calor q0 = λ (1 - 2) / L - qG L / 2 qL = λ (1 - 2) / L + qG L / 2 Si qG = 0 → q0 = (1 - 2) / R Pared sin generación Si qG > 0 (fuente) → → qL > 0 sale calor Si qG L / 2 < (1 - 2) / R → q0 > 0 entra calor Si qG L / 2 > (1 - 2) / R → q0 < 0 sale calor q0 Si qG < 0 (sumidero) → → q0 > 0 entra calor qL Si qG L / 2 < (1 - 2) / R → qL > 0 sale calor Si qG L / 2 > (1 - 2) / R → qL < 0 entra calor x

Pared plana con generación interna de calor (x) Caso particular: 1 = 2 = p p p qG x Q 1.c.c.: p = -qG ·02/2 λ + C1· 0 + C2 C2 = p L 2.c.c.: p = -qG ·L2 /2 λ + C1·L + p C1 = qG L /2λ Distribución de temperaturas en la pared (x) = -qG· x2 / 2 λ + qG x L /2λ + p = (x) = p + qG· x (L-x) / 2 λ (Parábola invertida y simétrica)

Pared plana con generación interna de calor Flujo de calor a través de la pared Aplicando ley de Fourier: qx = - λ = - λ d/dx = - λ [ qG (L / 2 – x) / λ ] = qG (x - L/2 ) Para x = 0 q0 = - qG L / 2 Para x = L qL = qG L / 2 q0 qL x

Pared plana compuesta con generación de calor Para las capas sin generación interna de calor: λ1 2  =0 λi2 i = 0 λ2 2  =0 Para la capa con generación interna de calor: λ3 2  + qG= 0 λ1 λ2 1 λ3 q1 = - (2- 1) / (L1/λ1) qG 4 qx = - λ2 [ (3 - 2) / L2 + qG (L2 / 2 – x) / λ2 ] q3 = - (4- 3) / (L3/λ3) L1 L2 L3

Pared plana compuesta con generación de calor q1 = (1- 2) / (L1/λ1) (1) λ1 λ2 1 λ3 q212 = λ2 (2 - 3) / L2 - qG L2 / 2 = q1 (2) q3 = q1 + qG L2 q223 = λ2 (2 - 3) / L2 + qG L2 / 2 = q3 qG q3 = λ3 (3 - 4) / L3 = q1 + qG L2 (3) 4 Ordenando (1), (2) y (3): q1 (L1/λ1) = (1- 2) (1) q1 (L2 / λ2) + qG L22 / 2λ2 = (2 - 3) (2) q1 (L3 / λ3) + qG L2· L3 / λ3 = (3 - 4) (3) L1 L2 L3 q1 ( L1 / λ1 + L2 / λ2 + L3 / λ3 ) + qG L2 ( L2 / 2 λ2 + L3/λ3) = (1 - 4) RT RG-3 q1 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T )

Pared plana compuesta con generación de calor Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente: q1 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T ) q3 = q1 + qG L2 q3 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T -1 ) = (1 - 4) / RT + qG L2 ( R1-G / R T ) Si qG = 0 → q1 = (1 - 4) / RT → Pared compuesta sin generación λ1 λ2 1 λ3 4 L1 L2 L3

Pared plana compuesta con generación de calor Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente: q1 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T ) q3 = (1 - 4) / RT + qG L2 ( R1-G / R T ) Si qG > 0 (fuente) → q3 > 0 sale calor Si qG L2 ( RG-3 / R T ) < (1 - 4) / RT → q1 > 0 entra calor 1 2 3 1 Si qG L2 ( RG-3 / R T ) > (1 - 4) / RT → q1 < 0 sale calor qG 4 L1 L2 L3

Pared plana compuesta con generación de calor Pared antes del sumidero/fuente: Pared después del sumidero/fuente: q1 = (1 - 4) / RT - qG L2 ( RG-3 / R T ) q3 = (1 - 4) / RT + qG L2 ( R1-G / R T ) Si qG < 0 (sumidero) → Si qG L2 ( R1-G / R T ) < (1 - 4) / RT → q3 > 0 sale calor → q1 > 0 entra calor 1 2 3 Si qG L2 ( R1-G / R T ) > (1 - 4) / RT → q3 < 0 entra calor 1 4 qG L1 L2 L3

Ejercicio pared compuesta Pared plana sin generación interna de calor Un almacén industrial de 9x9 m2 en planta se mantiene en invierno a 21 º C mediante un conjunto de emisores que disipan un total de 8.500 kcal/h. Determínese la temperatura interior de las paredes del almacén si se sustituye este sistema de calefacción por una fuente de calor igual 5.600 kcal/hm3 distribuida uniformemente en el suelo y ocupando toda su superficie. λ loseta = 2,5 kcal/ h m K λ capa nivelación = 0,8 kcal/ h m K λ fuente = 14 kcal/ h m K λ aislante = 0,03 kcal/ h m K λ capa antivapor = 1 kcal/ h m K C forjado = 1,43 kcal/ h m2 K θexterior = 0 ºC 3 cm loseta 2 capa nivelación 2 fuente de calor 3 aislante 3 capa antivapor forjado θsuelo = 8 ºC

Qsuelo = qsuelo · Asuelo El suelo se trata de una pared plana compuesta con generación de calor: θext = 0 ºC Qtecho Qsuelo = qsuelo · Asuelo Qparedes Qparedes-techo = (i - ext) / Rparedes-techo Qsuelo 3 cm loseta 2 capa nivelación 2 fuente de calor 3 aislante 3 capa antivapor forjado qsuelo = (i - suelo) / RT - qG LG ( RG-suelo / R T ) RT = ( 3/2,5 + 2/0,8 + 2/14 +3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = 1,7677 K m2 h / kcal RG-suelo = ( 1/14 +3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = 1,73 K m2 h / kcal

Q = 8.500 = Qsuelo + Qparedes-techo Qtecho Para calcular la resistencia térmica de paredes y techos consideramos el caso de suelo sin fuente de calor: θext = 0 ºC Q = 8.500 = Qsuelo + Qparedes-techo Qtecho Qparedes-techo = 8.500 - Qsuelo = (i - ext) / Rparedes-techo Qparedes Q Qsuelo = A suelo · qsuelo = (i - suelo) / Rsuelo Qsuelo 3 cm loseta 2 capa nivelación 3 aislante 3 capa antivapor forjado Rsuelo = ( 3/2,5 + 2/0,8 + 3/0,03 +3/1 ) 10 -2 + 1/1,43 = K m2 h / kcal Qsuelo = A suelo · qsuelo = 81 · (21 - 8) / Rsuelo = 596,16 kcal/h Qparedes-techo = 8.500 – Qsuelo = 8.500 – 596,16 = 7.903,8 kcal/h Rparedes-techo = (i - ext) / Qparedes-techo = (21-0) / 7.903,8 = 0,002657 h K / kcal

λ Volviendo al caso de suelo con fuente de calor: θext = 0 ºC Qsuelo = qsuelo · Asuelo Qtecho Qparedes-techo = (i - ext) / Rparedes-techo Qparedes Qsuelo IQsuelo I= Qparedes-techo λ qsuelo = (i - ext) / (Asuelo ·Rparedes-techo)

Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe Kondukzioaren ekuazio orokorra a 2  + qG/  cp = /t r2 z 1 2 Q r1 Tenperatura eremua =  ( r,Φ, z ) Errejimen egonkorra /t = 0 r  =  ( r,Φ,z ) Bero-garapenik gabe qG = 0 a 2  = 0 λ 2  = 0

Pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe   = r(/r) + 1/r (/) + (/z) z Grad  =   = r(/r) = rd/dr  =  ( r ) Φ r Fluxu dimentsiobakarrekoa

z r Fluxu unidimentsionala λ2  = 0 Q Laplaziarra 2  = 1/r · (r/r)/r = 1/r · d(rd/dr)/dr 1 Q 1/r d(rd/dr)/dr = 0 d(rd/dr)/dr = 0 rd/dr = C1 → d/dr = C1/ r (r) = C1 lnr + C2 → exponentziala 2 r r2 r1 1.ing. baldintza: r = r1  = 1 2. ing. baldintza : r = r2  = 2

Pared cilíndrica sin generación interna de calor 1.i.b. : 1 = C1 lnr1 + C2 2.i.b. : 2 = C1 lnr2 + C2 C1 = ( 1 - 2 ) / ln ( r1 / r2 ) C2 = 1 - lnr1 [( 1 - 2 ) / ln ( r1 / r2 )] (r) = [( 1 - 2 ) / ln ( r1 / r2 )] lnr + 1 - lnr1 [( 1 - 2 ) / ln ( r1 / r2 )] (r) = [( 1 - 2 ) ln ( r / r1 ) / ln ( r1 / r2 )] + 1 1 r 2

Bero-fluxua pareta zilindrikoan Fourier aplikatuz: Qr = - λ A = - λ A d/dr = - λ 2 r L · ( 1 - 2 ) / r ln ( r1 / r2 ) = Qr = ( 1 - 2 ) / [ ln ( r2 / r1 ) / 2 λ L ] R ( º C / W ) pareta zilindrikoaren errresistentzia termikoa R = ln ( r2 / r1 ) / 2 λ L

Pareta zilindriko konposatua Q R1 = ln ( r2 / r1 ) / 2 λ1 L R2 = ln ( r3 / r2) / 2 λ2 L

Pareta esferikoa bero-garapenik gabe Kondukzioaren ekuazio orokorra a 2  + qG/  cp = /t φ r2 Tenperatura-eremua =  ( r,Φ,φ,t ) errejimen egonkorra /t = 0 r1 Φ  =  (r,Φ,φ ) Bero-garapenik gabe qG = 0 a 2  = 0 λ 2  = 0

Grad  =   = /r + 1/rsenφ (/Φ) + 1/r (/φ) Grad  =   = (/r) = d/dr  =  ( r) Fluxu unidimentsionala 2  = 0 = 1/r2 d(r2d/dr)/dr d(r2d/dr)/dr = 0 r2d/dr = C1 d/dr = C1 / r2 (r) =C1 / r + C2

1.i.b.: r = r1  = 1 2. i.b.: r = r2  = 2 1.i.b. : 1 = C1 / r1 + C2 2.i.b.: 2 = C1 / r2 + C2 C1 = ( 1 - 2 ) / ( 1/ r1 - 1/ r2 ) C2 = 1 - ( 1 - 2 ) / r1 ( 1/ r1 - 1/ r2 ) (r) =C1 / r + C2 = ( 1 - 2 ) / r ( 1/r1 - 1/r2 ) + 1 - ( 1 - 2 ) / r1 ( 1/r1 - 1/r2 ) = (r) = 1 + ( 1 - 2 ) · [ ( 1/r - 1/r1 ) / ( 1/r1 - 1/r2 ) ]

Bero-fluxua pareta esferikoan Fourier-en legea: Qr = - λ A = -λ A d/dr = -λ 4 r2 ( 1 - 2 ) / r2( 1/r1 - 1/r2 ) = Qr = ( 1 - 2 ) / [( 1/r2 - 1/r1 )/ 4  λ ] Pareta esferikoaren erresistentzia termikoa : R = ( 1/ r2 - 1/ r1 )/ 4  λ = ( r2 -r1 ) / 4  λ r2 r1 Q R r2 r1 I

(ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz) Errejimen egonkorrean /t = 0 k 2  + qG = 0 1.kondukzioaren ekuazio orokorra ebatzi tenperatura-distribuzioa (ariketaren ingurune baldintzak aplikatuz) 2. Fourier-en legea aplikatu bero-transmisioa Aztertuko ditugun kasuak: Pareta laua bero-garapenarekin eta garapenik gabe Pareta zilindrikoa “ “ Pareta esferikoa “ “

1. Kasua: pareta laua bero-garapenarekin k 2  + qG =  cp /t  =  ( x,y,z,t ) Errejimen egonkorra Fluxu unidimentsionala p p qG  =  ( x ) x Q k 2  + qG = 0 L L non 2  = 2/x2 = d2 /dx2 k 2  + qG = k d2 /dx2 + qG = 0 d2 /dx2 = -qG/k d/dx = -qG x / k + C1 (x) = -qGx2/2k + C1 x + C2

1.ingurune baldintza: x= 0 qx=0 d/dx = 0 C1 eta C2 integrazio konstanteak kalkulatzeko, ingurune baldintzak aplikatu: 1.ingurune baldintza: x= 0 qx=0 d/dx = 0 2. Ingurune baldintza: x = + L  = p L x p Q qG (x) 1.i.b. aplikatuz: d/dx = 0 = -qG/k 0 + C1 C1 = 0 2.i.b. aplikatuz: p = -qG L2 /2k + 0 + C2 C2 = p + qG L2 /2k Paretan barneko tenperatura-distribuzioa (x) = -qG (L2 -x2 ) /2k + p

Q = Qx = L + Qx = -L = 2AL qG = V qG Fourier-en legea aplikatuz: Qx = - k A = -k A d/dx = -k A ( -qGx/k ) Qx= A qG x Paretatik kanpo guzira transmititutako bero-jarioa: Q = Qx = L + Qx = -L = 2AL qG = V qG

2. Kasua: pareta laua bero-garapenik gabe k 2  + qG =  cp /t 1 (x) Kasu honetan qG = 0 k 2  = 0 2 2  = d2 /dx2 = 0 d/dx = C1 (x) = C1 x + C2 Q x L 1.ingurune baldintza: x = 0  = 1 2. Ingurune baldintza: x = L  = 2 Ordezkatuz: (x) = (2 - 1) x/L + 1

Ohm-en legea Fourier-en legea Fourier-en legea aplikatuz: Qx = - k A = -k A d/dx = -k A C1 = Q = k A ( 1 - 2 )/ L Analogia elektrikoa: Ohm-en legea Fourier-en legea I = V2-1 / R Q = 2-1 / (L / k A ) Pareta lauaren erresistentzia termiko baliokidea: RTP = L / k A I 1 2 Q V1 V2 k L R

1 Q 4 Q 1 Q Q 2 Pareta konposatuak: k1 k2 R1 R2 R3 k3 L1 L2 L3 Q = ( 1 - 4 )/ ( R1 + R2 + R3 ) k1 R1 1 Q Q k2 R2 2 k3 R3 L Q = ( 1 - 2 ) x ( 1/R1 +1/ R2 + 1/R3 )

3. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenarekin k 2  + qG =  cp /t R r z p Q qG =  ( r, ,z,t ) Errejimen egonkorra Fluxu unidimentsionala =  ( r ) k 2  + qG = 0 k2  + qG = 0 = k [1/r d(rd/dr)/dr] + qG 1/r d(rd/dr)/dr = -qG/k d(rd/dr)/dr = - r qG/k rd/dr = - r2 qG/2k + C1 d/dr = - r qG/2k + C1/r (r) = - r2 qG/4k + C1 lnr + C2

z 1.ingurune baldintza: r= 0 qr=0 d/dr = 0 2. Ingurune baldintza: r = R  = p 1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 C1 = 0 2.i.b. aplikatuz: p = -qG R2 /4k + 0 + C2 C2 = p + qG R2 /4k z Ordezkatuz: (r) = p + qG ( R2 - r2 ) /4k p r Fourier-en legea aplikatuz: Qr = - k A = -k A d/dr = -k 2 r L ( - r qG/2k ) =  L r2 qG Qr =  L r2 qG = V qG = QG

4. Kasua: pareta zilindrikoa bero-garapenik gabe 1 2 Q r1 k 2  + qG =  cp /t Kasu honetan qG = 0 k 2  = 0 2  = 0 = [1/r d(rd/dr)/dr] r 1/r d(rd/dr)/dr = 0 d(rd/dr)/dr = 0 rd/dr = C1 d/dr = C1/r (r) = C1 lnr + C2 1.ingurune baldintza: r= r1  = 1 2. Ingurune baldintza: r = r2  = 2

1.i.b. aplikatuz: 1 = C1 lnr1 + C2 C1 = ( 1 - 2 ) / ln ( r1 / r2 ) C2 = 1 - lnr1 [( 1 - 2 ) / ln ( r1 / r2 )] (r) = [( 1 - 2 ) / ln ( r1 / r2 )] lnr + 1 - lnr1 [( 1 - 2 ) / ln ( r1 / r2 )] (r) = [( 1 - 2 ) ln ( r / r1 ) / ln ( r1 / r2 )] + 1 1 r 2

Q Fourier-en legea aplikatuz: Qr = - k A = -k A d/dr = -k 2 r L( 1 - 2 ) / r ln ( r1 / r2 ) = Qr = ( 1 - 2 ) / [ ln ( r2 / r1 ) / 2 k L ] Pareta zilindrikoaren erresistentzia termiko baliokidea: RTZ = ln ( r2 / r1 ) / 2 k L Pareta konposatuak: R1 R2 r1 r2 r3 Q R1 = ln ( r2 / r1 ) / 2 k1 L R2 = ln ( r3 / r2) / 2 k2 L

5.Kasua: pareta esferikoa bero-garapenarekin k 2  + qG =  cp /t =  ( r, ,z,t ) Errejimen egonkorra Jario unidimentsionala R    =  ( r ) k2  + qG = 0 = k [1/r2 d(r2d/dr)/dr] + qG 1/r2 d(r2d/dr)/dr = -qG/k d(r2d/dr)/dr = - r2 qG/k r2d/dr = - r3 qG/3k + C1 d/dr = - r qG/3k + C1 / r2 (r) = - r2 qG/6k - C1 / r + C2 1.ingurune baldintza: r = 0 qr=0 d/dr = 0 2. Ingurune baldintza: r = R  = p

Q 1.i.b. aplikatuz: d/dr = 0 C1 = 0 2.i.b. aplikatuz: p = -qG R2 /6k + 0 + C2 C2 = p + qG R2 /6k Ordezkatuz: (r) = p + qG ( R2 - r2 ) /6k Fourier-en legea aplikatuz: Qr = - k A = -k A d/dr = -k 4 r2 (- r qG/3k ) = 4/3 (  r3 ) qG Qr = 4/3 (  r3 ) qG = V qG = QG Q

6. Kasua: pareta esferikoa bero-garapenik gabe k 2  + qG =  cp /t r2 r1 2  = 0 = 1/r2 d(r2d/dr)/dr d(r2d/dr)/dr = 0 r2d/dr = C1 d/dr = C1 / r2 (r) =C1 / r + C2 1.ingurune baldintza: r= r1  = 1 2. Ingurune baldintza: r = r2  = 2 1.i.b. aplikatuz: 1 = C1 /r1 + C2 2.i.b. aplikatuz: 2 = C1 / r2 + C2 C1 = ( 1 - 2 ) / ( 1/r1 - 1/r2 ) C2 = 1 - ( 1 - 2 ) / r1 ( 1/r1 - 1/r2 )

(r) =C1 / r + C2 = ( 1 - 2 ) / r ( 1/r1 - 1/r2 ) + 1 - ( 1 - 2 ) / r1 ( 1/r1 - 1/r2 ) = Fourier-en legea aplikatuz: Qr = - k A = -k A d/dr = -k 4 r2 ( 1 - 2 ) / r2( 1/r1 - 1/r2 ) = Qr = ( 1 - 2 ) / [( 1/r2 - 1/r1 )/ 4  k ] Pareta esferikoaren erresistentzia termiko baliokidea: RTE = ( 1/r2 - 1/r1 )/ 4  k = ( r2 -r1 )/ [r2 r1 4  k ] r2 r1 RTE Q I

KONBEKZIOA Fluidoaren molekulen arteko distantzia handia dela eta, kondukzio bidezko bero-transmisioarekiko erresistentzia termikoa handia da. Molekulen arteko loturak aulak izanik, bero dagoen molekula fluidoan barne mugi daiteke, berarekin batera energia termikoa garraiatuz bero-transmisioa. Materia garraio bitartez gertatzen den bero-transmisio mekanismo honi KONBEKZIO deritzaio.

Konbekzio bidezko bero-transmisioa, faktore askoren araberakoa da: Jariakinaren abiadura ( c ) Ukipen-azaleraren geometria eta ezaugarriak Jariakinaren propietate fisikoak (  ,  ) Solidoaren propietate fisikoak ( k , cp ) etab. Denak laburbiltzeko, koefiziente bat erabiltzen da: h = konbekzio-koefiziente edota pelikula-koefizientea. h pelikula-koefizientea, korrelazio esperimentalen bitartez kalkulatzen da.

Newton-en hozketa-legea: Q = h A  Newton-en hozketa-legea: h ( W/m2K) Analogia elektrikoa: R Q I h R = 1 / h A

U : Bero-transmisio koefiziente orokorra h2 k L 2 1 h1 k b R1 R2 R3 Q KONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA R = R1 + R2 + R3 = 1/A ( 1/h1 + L/k + 1/h2 ) Q = ( b - k ) / R = A ( b - k ) / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ] U =1 / [ 1 / h1 )+ L / k + 1 / h2 ] Q = U A 

h2 h1 R1 R2 R3 Q KONBEKZIOA KONDUKZIOA KONBEKZIOA R = R1 + R2 + R3 = 1/2L ( 1/r1h1 + 1/k ln(r2/r1) + 1/r2h2 ) Q = ( b - k ) / R = 2 r2 L ( b - k ) / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ] Q = U2 A2  U2 =1 / [ (r2 / r1 h1 )+ ( r2 / k )ln(r2/r1) + 1 / h2 ]

KONBEKZIO BEHARTUA Reynolds zenbakia: Jariakinaren inertzia indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa. Re = c  /  Prandtl zenbakia: Jariakinean barne beroa zein abiaduraz transmititzen den adierazten du. Pr = cP  / k Nusselt zenbakia: jarikaina eta paretaren arteko bero-transmisioa adierazten du. Nu =  h / k Parametro hauen arteko erlazioa esperimentalki lortu behar da, ereduekin entsaiatuz. Nu = f ( Re,Pr )

ZENBAIT KORRELAZIO ESPERIMENTAL 1.kasua: Tutueria baten barnekaldeko konbekzioa, jarioa zurrunbilotsua denean.  = 4A/Pbustita  = D c c n=3 hoztutzen bada n= 4 berotzen bada Dittus-Boelter Nu = 0,023 Re 0,8 Pr n D.B. aplikatzeko baldintzak: - Re >2100 (zurrunbilotsua) - parametro adimentsionalak jariakinaren batazbesteko tenperaturan

2.kasua: Gainazal lau batean zeharreko konbekzio behartua. xkr Parametroak pelikula- -batazbesteko tenperaturan neurtuak: m = ( p + f ) / 2  = L Re < 5·104 5·105 Fluxu laminarra NuL = 0,664 ReL 1/2 Pr 1/3 L  xkr Fluxu zurrunbilotsua Re > 5·104 5·105 Nu = 0,036 ReL0,8 Pr 1/3 L  xkr Fluxu mistoa Nu = 0,036 Pr 1/3 (ReL0,8 -23.200) L  xkr

3.kasua: Zilindro baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua. c  = D Parametroak pelikula- -batazbesteko tenperaturan neurtuak: Churchill-Bernstein Nu = 0,3+ [(0,62 Re1/2Pr 1/3)/ [1+(0,4/Pr)2/31/4 · [1+(Re/282.000)1/2   4.kasua: Esfera baten kanpokaldeko gainazalarekiko korronte gurutzatu baten konbekzio behartua.  = D Whitaker Nu = 2+(0,4Re1/2+0,06Re2/3)Pr0,4

Rayleigh-en zenbakia: Ra = Gr · Pr KONBEKZIO NATURALA x θ c pareta Flotazio-indarrak Liskatasun indarrak Grashof zenbakia: Fluidoaren igotze indarren eta liskatasun indarren arteko erlazioa. Gr = g32 / 2 Gas idealetan :  = 1/T Grashof zenbakia handiagoa den neurrian, handiagoa izango da jariakinaren mugimendu librea Nu = f ( Gr, Pr ) Rayleigh-en zenbakia: Ra = Gr · Pr

Gr·Pr > 108 jario zurrunbilotsua 1.kasua: Zilindro horizontal baten kanpokaldeko gainazalarekiko konbekzio naturala.  = D 104< Gr <109 h = 1,32 [ (-f) / D ]1/4 109< Gr <1012 h = 1,25 (-f)1/3  = gainazal tenperatura f = jariakinaren tenperatura 2.kasua: Plaka bertikal baten gainazalarekiko konbekzio naturala.  = L 104< Gr <109 h = 1,42 [ (-f) / L ]1/4 109< Gr <1012 h = 1,31 (-f)1/3