SISTEMA DIEDRICO El plano

1.- Dibuja los planos α, β, sabiendo que la traza horizontal α1 forma un ángulo de -135º con la LT y la traza vertical α2 uno de 150º con la LT y el plano β si la traza horizontal β1 forma un ángulo de -75º con la LT y la traza vertical β2 uno de 120º con la LT. El vértice del plano α se encuentra a 20 mm del origen y el de β a 50 mm.

Situamos el origen O.

Sobre la LT llevamos 20 mm

Trazamos la traza horizontal α1 con un ángulo de -135º.

Trazamos la traza vertical α2 con un ángulo de -120º Trazamos la traza vertical α2 con un ángulo de -120º. Y tenemos el plano α representado.

Sobre la LT llevamos 50 mm.

Trazamos la traza horizontal β1 con un ángulo de -75º.

Trazamos la traza vertical β2 con un ángulo de 120º Trazamos la traza vertical β2 con un ángulo de 120º. Y tenemos el plano β representado.

2.- Dibuja los planos α (-30; 35; 30), β (20; 30; ∞) y el plano ɣ dado por los puntos A(40;10;25), B(55;25;10) y C(80;5;30) sitúa en el plano α un punto de alejamiento 10 y cota 15, en el plano β un punto de alejamiento 15 y cota 25.

Situamos el origen O.

Sobre la LT situamos el punto X a 30 mm hacia la izquierda .

Sobre la perpendicular trazada por el origen a la LT llevamos hacia abajo la distancia 35 mm que nos determina el punto Y, unimos el punto Y con el X y obtenemos la traza horizontal α1 del plano α.

Sobre la perpendicular trazada por el origen a la LT llevamos hacia arriba la distancia 30 mm que nos determina el punto Z, unimos el punto Z con el X y obtenemos la traza vertical α2 del plano α. Y tenemos el plano α buscado.

A continuación situamos en el plano un punto D (10,15) A continuación situamos en el plano un punto D (10,15). Para ello trazamos una recta frontal de alejamiento del PV 10 mm, es decir trazamos una paralela a 10 mm de la LT donde corte a la traza α1, una perpendicular a la LT y por donde corte a la LT una paralela a α2 y tenemos la recta frontal del plano α, a continuación trazamos la paralela a la LT a una distancia de 15 mm obteniendo el punto D’’ y a continuación obtenemos D’ con lo que tenemos el punto que pertenece al plano y tiene la cota y alejamiento dado.

Vamos a obtener el plano β para ello situamos el punto X a 20 mm del origen.

Sobre la perpendicular trazada por el origen llevamos la distancia de 30 mm obteniendo el punto Y que uniéndolo con el X obtenemos la traza horizontal β 1.

Sobre la perpendicular trazada por el origen a la LT llevamos hacia arriba la distancia ∞ que nos determina el punto Z (que estará en el infinito), por lo que por X trazamos una paralela a la perpendicular y obtenemos la traza vertical β 2 del plano β. Y tenemos el plano buscado.

Para situar un punto de alejamiento 15 y cota 25 mm, procedemos de la siguiente manera. Al ser una plano proyectante la proyección horizontal del punto se encuentra sobre la traza horizontal del plano. Por tanto trazamos una paralela a 15 obteniéndose el punto E’.

Sobre la línea de referencia llevamos la cota 25 mm del punto a partir de la LT obteniendo la proyección vertical del punto E’’. Con lo que tenemos el punto situado en el plano β de cota y alejamiento dado.

Vamos a trazar el plano dado por tres puntos, para ello situamos los puntos dados y los unimos dos a dos con lo que obtenemos dos rectas que se cortan en uno de los puntos dados. Situamos el punto A (40, 5, 25) .

Situamos el punto B (55, 25, 10) .

Situamos el punto C (80, 5, 25) .

Unimos los puntos A con B y B con C, al unir A’’-B’’=r’’ ; A’-B’=r’ Unimos los puntos A con B y B con C, al unir A’’-B’’=r’’ ; A’-B’=r’ . Al unir C’’-B’’=s’’ ; C’-B’=s’ que son las rectas que determinan el plano buscado y que se cortan en B’-B’’.

Prolongamos las rectas r’-r’’ y s’-s’’ hasta que corten a la LT.

Hallamos las trazas de la recta r’-r’’; la traza vertical V’r- V’’r resulta que es intersección de la recta r con el PV es decir tiene alejamiento 0, el punto de alejamiento 0 es cuando la proyección horizontal de r es decir r’ corta a la LT punto V’r por este trazamos una perpendicular a la LT y obtenemos V’’r. La traza horizontal H’r- H’’r resulta que es intersección de la recta r con el PH es decir tiene cota 0, el punto de cota 0 es cuando la proyección vertical de r es decir r’’ corta a la LT punto H’’r por este trazamos una perpendicular a la LT y obtenemos H’r.

Hallamos las trazas de la recta s’-s’’; la traza vertical V’s- V’’s resulta que es intersección de la recta s con el PV es decir tiene alejamiento 0, el punto de alejamiento 0 es cuando la proyección horizontal de s es decir s’ corta a la LT punto V’s por este trazamos una perpendicular a la LT y obtenemos V’’s. La traza horizontal H’s- H’’s resulta que es intersección de la recta s con el PH es decir tiene cota 0, el punto de cota 0 es cuando la proyección vertical de s es decir s’’ corta a la LT punto H’’s por este trazamos una perpendicular a la LT y obtenemos H’s.

Hallamos las trazas del plano ɣ ; la traza horizontal ɣ1 unimos las trazas horizontales de las rectas H’s y H’r , la traza vertical ɣ2 unimos las trazas verticales de las rectas V’’s y V’’r y obtenemos las trazas del plano.

Resultado final del ejercicio con los tres problemas.

3.- Dado el plano α (60, 30, 60) y los puntos A(30, 0, 30) y B(-30,25, 40) y C(0, 30, 60), averigua si estos puntos están contenidos en el plano α..

Situamos el plano α para ello a partir del origen llevamos 60 mm y situamos el punto X, sobre la perpendicular en el origen a la LT tomamos 30 mm y determinamos el punto Y, sobre la misma perpendicular llevamos 45 mm y hallamos el punto Z, unimos Z con X y se obtiene la traza α2 y si unimos Y con X obtenemos la traza α2.

Situamos el punto A (30, 0, 22) y vemos que pertenece al plano α pues A’ se encuentra sobre la LT y A’’ sobre la traza vertical α2 .

Situamos el punto B(-30, 25, 30) .

Comprobamos que el punto B(-30, 25, 30) pertenece al plano α para ello trazamos una recta horizontal h’-h’’ por ejemplo que pertenece al plano. Por B’ trazamos una paralela a la traza horizontal α1 cuando corta a la LT trazamos una perpendicular a la LT hasta que corta a la traza vertical α2 y por este punto una paralela a la LT , como la recta h’-h’’ pasa por el punto este pertenece al plano α.

Situamos el punto C (0, 30, 45) y vemos que no pertenece al plano α pues A’ se encuentra sobre la traza α1 y A’’ sobre la traza vertical α2 . Con lo que el punto no pertenece al plano.