EL MODELO DE BLACK-SCHOLES CAPÍTULO 17º EL MODELO DE BLACK-SCHOLES

1. Marco conceptual del modelo de Black-Scholes 2. Planteamiento del problema 3. Variables del modelo 4. La fórmula de Black-Scholes 5. Ejemplo numérico

Pgs. 366-367 1. MARCO CONCEPTUAL DEL MODELO DE BLACK-SCHOLES Una de las aportaciones más importantes a la ciencia financiera en los últimos años Solución analítica en un solo paso, a diferencia del modelo binomial Se trata el tiempo como variable continua (fórmula del interés) Solamente se tienen en cuenta las ganancias por plusvalía Las variaciones de los precios de los activos en el mercado spot sigue una distribución normal (paseo aleatorio, random walk) Su media y su desviación típica son constantes a lo largo del tiempo Los precios mismos de los activos en el mercado spot siguen una distribución lognormal

Pg. 368 2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA Se trata de conseguir una cartera compuesta de acciones y de opciones short call que reproduzcan el esquema de rendimientos de un bono sin riesgo. Esta finalidad se consigue reequilibrando de forma continua la cartera de cobertura, acciones más opciones. El modelo de Black y Scholes, permite determinar cada día qué opciones se encuentran infravaloradas, y cuáles sobrevaloradas, introduciendo en la fórmula el precio spot de la acción en ese día. Como consecuencia de ello, la cartera, dado que su riesgo es cero, proporcionará una rentabilidad equivalente al tipo de interés sin riesgo [r] del mercado, que es, así mismo, la tasa de rentabilidad exigida por el inversor

3. VARIABLES DEL MODELO Pg. 368 S0 = Precio spot del activo subyacente en el momento actual E(Sn) = Valor esperado del precio spot del activo subyacente en la fecha de vencimiento dS= la variación instantánea de [S] cuando [n 6 4], E = Precio de ejercicio de la opción C = Prima de la opción short CALL µS = La esperanza matemática del rendimiento instantáneo del activo subyacente FS = La desviación típica del rendimiento instantáneo del activo subyaente. h = Coeficiente de cobertura (hedge). Número de opciones CALL que hemos de vender por cada acción que entre en la cartera r = tasa de interés sin riesgo. Se trata de la tasa de interés subanual equivalente. Siendo la tasa nominal anual [ra], r = ra / 365. n = Tiempo hasta el vencimiento medido en años. Si el plazo es inferior al a½o se usan números fraccionarios, p.e., 3 meses = 0.25 a½os; si son días = (número de días / 365) It = Inversión en la cartera en el momento [t] medida en unidades monetarias z = Variable alatoria tipificada

4. LA FÓRMULA DE BLACK-SCHOLES Pg. 371