Diseño de un grupo de sujetos

Diseño longitudinales de medidas repetidas Diseño longitudinales de medidas repetidas. Estudio de las curvas de crecimiento

Concepto Los estudios longitudinales de medidas repetidas ofrecen la oportunidad de examinar los patrones individuales de cambio en función del tiempo y condiciones. Estos patrones aportan estimaciones de la tasa de cambio en función del tiempo, edad o condición, libres de la confusión de los efectos de cohortes u otros factores que varían entre individuos. ..//..

Al mismo tiempo, en esta clase de estudios se plantea, como objetivo, el análisis de los procesos de carácter madurativo y progresivo, así como los que son función del tiempo; es decir, el análisis de las curvas de crecimiento. En el contexto de medidas repetidas, las observaciones se toman en ocasiones seleccionadas del continuo temporal subyacente. Los sujetos son observados en diferentes ocasiones y en cantidades discretas. ..//..

Entre los objetivos específicos del diseño longitudinal de medidas repetidas está el estudio del proceso que resulta del paso del tiempo y la identificación de algún patrón de tendencia en el tiempo. Dado que este diseño se caracteriza por la combinación de la variable Sujetos y la variable Ocasiones de observación, es simbolizado por S x O (Sujetos x Ocasiones), y genera una matriz de datos factorial de doble entrada.

Matriz de datos y formato del diseño

Diseños longitudinales de medidas repetidas de un solo grupo y múltiples observaciones (1GMO) Sujetos O1 O2 ... Ot 1 2 3 . N Y11 Y21 Y31 . YN1 Y12 Y22 Y32 . YN2 ... Y11 Y21 Y31 . YNt totales: Medias:

Modelo de análisis Análisis de la variancia de medidas repetidas o mixto (ANOVARM)

Modelo de análisis de la Variancia mixto (con variables fijas y aleatorias) Yij =  + i + j + ij

Yij = puntuación del sujeto i en la ocasión de observación j μ = la media global de la población o constante de ubicación arbitraria i = el componente específico asociado al sujeto i y constante a lo largo de las observaciones j = el efecto general de la ocasión j para todos los sujetos ij = el componente de error específico asociado al sujeto i y a la ocasión j

Asunciones del anovarm El término ij es independiente de i y los sujetos han sido muestreados de una población donde el componente  (factor aleatorio) tiene una distribución independiente, definida por   NID(0,²) Se asume, también, que el componente de error recoge los errores de muestreo y medida, tiene una distribución   NID(0,²) y que los niveles de O (factor de ocasiones) son fijos t j = 0 j=1

Supuesto sobre la matriz de covariancia El modelo del anovarm, con un componente fijo y otro aleatorio, recibe el nombre de modelo mixto y asume, como restricción fundamental, que la matriz de covariancia de las medidas repetidas en la población, tenga el siguiente patrón  = ²11' + ²I

En la ecuación anterior, cada elemento de la diagonal principal es ² + ² y los elementos externos de la diagonal principal ; es decir, esta matriz (conocida por matriz de simétrica combinada) requiere que las covariancias sean iguales -condición de uniformidad-. ..//..

Huynh y Feldt (1970) han demostrado que es condición suficiente, para la validez de la prueba F, la igualdad de las variancias de las diferencias entre las puntuaciones de un mismo sujeto (condición de esfericidad o circularidad).

Hipótesis a probar en el diseño

La no existencia de efectos atribuibles al factor HIPÓTESIS DE NULIDAD La no existencia de efectos atribuibles al factor ocasiones. H0: 1 = 2 = ... = t H0: 1 = 2 = ... = p = 0

Ejemplo práctico Supóngase que un investigador elige un grupo de seis sujetos de una determinada población y les aplica una prueba de memoria de recuerdo. Para ello, pide a los individuos que restituyan la máxima cantidad de ítems de una lista de 50 palabras, de igual valor asociativo, leída en voz alta. ..//..

Durante los tres días siguientes, requiere de los sujetos que ejecuten una prueba de recuerdo sobre el material verbal.

Matriz de datos

DISEÑO LONGITUDINAL DE MÚLTIPLES OBSERVACIONES (1GMO) MEDIAS TOTALES 1 2 3 4 5 6 N. Sujeto O4 O3 O2 O1 22 25 30 38 690 132 150 180 228 126 122 105 109 102 24 20 21 17 28 27 23 33 31 34 41 39 35 36 37 40 OBSERVACIONES DISEÑO LONGITUDINAL DE MÚLTIPLES OBSERVACIONES (1GMO)

Pruebas del supuesto del modelo estadístico Supuesto de homogeneidad y simetría (uniformidad) de las variancias y covariancias (Box, 1950) Prueba de circularidad (Mauchley, 1940)

PRUEBA DE ESFERICIDAD DE MAUCHLEY (1940)

Procedimiento de cinco pasos

Se trata de probar el presupuesto de esfericidad de la matriz de variancia-covariancia del diseño. Es decir si: C*’C* = I Donde C es una matriz de transformación ortogonalizada que representa la hipótesis de nulidad global. 1. Definimos, en primer lugar, la hipótesis de nulidad de la variable Ocasiones (simbolizada por O); bajo el supuesto de cuatro medidas repetidas es: H0: .1 = .2 = .3 = .4 ..//..

Esta hipótesis puede ser especificada en términos de las siguientes funciones lineales: .3 – .4 = 0 (.1 + .2) /2 - (.3 + .4) /2 ..//..

2. Se expresan dichas funciones lineales en términos de álgebra matricial: 1 -1 0 0 .1 0 0 0 1 -1 .2 = 0 0.5 0.5 -0.5 -0.5 .3 0 .4 0 C’ x  = 0 ..//..

Se ortonomaliza la matriz C (se divide cada elemento de la matriz C por la raíz cuadrada de las sumas de los cuadrados de los valores de la columna a que pertenece y se simboliza esta matriz por C*). A continuación de se obtiene la transpuesta de C* (es decir, C*’). ..//..

3. Se calcula el determinante y la traza de la matriz siguiente: C*’C* ..//..

4. Se calcula el valor de W y d: |C*’C*| W = (p-1) Traza (C*’C*) (p – 1) d = 1 – [(2p2 – 3p + 3) / 6 (n – 1) (p – 1)] Donde p es la cantidad de ocasiones de observaciones y n la cantidad de sujetos de la muestra. ..//..

5. Se obtiene una aproximación de la chi-cuadrado mediante 5. Se obtiene una aproximación de la chi-cuadrado mediante la siguiente transformación  2 = –(n – 1)d ln(W) Donde ln es el logaritmo natural y el valor de la aproximación chi-cuadrado tiene los siguientes grados de libertad: g.l. = p(p – 1)/2 – 1 Al inferirse la hipótesis de nulidad se concluye que la matriz de variancia-covariancia del diseño es esférica.

Resultados de las pruebas

Supuesto de homogeneidad del ejemplo Uniformidad Circularidad Box(1950) Mauchley (1940) χo2 = 8.373 χo2 = 0.2555 g.l.= [p2+p-4]/2 =8 g.l.=[p(p-1)/2]-1=5 χ20.95(8) =15.507 χ20.95(5) =11.07 A(H0) p>0.05

ANOVARM Cálculo de las sumas de cuadrados

1. Suma de Cuadrados total: SCT = Y2 – C 2. Suma de Cuadrados de la constante, C: (Y)2 SCC = N 3. Suma de Cuadrados entre Sujetos: SCS = (Y1.2/p + ... Yn. 2/p) – (Y)2/N

4. Suma de Cuadrados entre ocasiones: SCO = (Y.12/n + ... Y.p 2/n) – (Y)2/N 5. Suma de Cuadrados sujetos por ocasiones (término de error) SCSxO = SCT – SCC – SCS – SCO

ANALISIS DE LA VARIANCIA F.V. SC g.l. CM F S SCS n-1 O SCO p-1 SCO CMO p-1 CM SxO SxO (error) SCSxO (n-1)(p-1) SCSxO (n-1)(p-1) Total SC T np-1

DISEÑO LONGITUDINAL DE MÚLTIPLES OBSERVACIONES (1GMO) MEDIAS TOTALES 1 2 3 4 5 6 N. Sujeto O4 O3 O2 O1 22 25 30 38 690 132 150 180 228 126 122 105 109 102 24 20 21 17 28 27 23 33 31 34 41 39 35 36 37 40 OBSERVACIONES DISEÑO LONGITUDINAL DE MÚLTIPLES OBSERVACIONES (1GMO)

Cálculo de las Sumas de cuadrados SCtotal = 412 + 392 + ... + 172 + 252 – C = 20884.0 – 19837.5 = 1046.5 SCconstante = (690)2/24 = 19837.5 SCsuj. = 1262/4 + 1222/4 + ... + 1262/4 – (690)2/24 = 149.0 SCocas. = 2282/6 + 1802/6 + ... + 1322/6 – (690)2/24 = 880.5 SCsxo = 1046.5 – 880.5 – 149 = 17.0

CUADRO RESUMEN DEL ANOVA (1GMO) F0.95(5/15) = 2.9; F0.95(3/15) = 3.29 np-1=23 1046.5 Total <0.05 26.37 259.7 29.8 293.5 1.13 (n-1)=5 (p-1)=3 (n-1)(p-1)=15 149 880.5 17 Sujetos (S) Ocasiones (O) SxO (error) p F CM g.l SC F.V.

Sumas de cuadrados de los componentes de tendencia F.V. g.l. SC Ocasiones Lineal 1 SC(C1) = nu12 Cuadrado 1 SC(C2) = nu22 Cúbico 1 SC(C3) = nu32 (p – 1) 1 SC(Cp-1) = nut-12

Coeficientes polinómicos ortogonales Coeficientes polinómicos estimados. Constante 57.5 Lineal -11.8512 Cuadrático 2.5 Cúbico -0.2237

DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA ORTOGONAL DE LA SC DE OCASIONES 3 880.5 Ocasiones F0.95(1/15) = 4.54 1.13 15 17 SxO (error) <0.05 >0.05 745.75 33.18 0.26 842.7 37.5 0.3 1 Lineal Cuadrático Cúbico p F CM g.l SC F.V.

ALTERNATIVAS DE ANALISIS DEL DISEÑO Si se cumple el modelo mixto ----- ANOVA Análisis de datos del diseño F conservadora F ajustada MANOVA Si no se cumple

F.V. F normal F conservadora F conservadora: Se modifican los grados de libertad para entrar en la tabla teórica del estadístico: F.V. F normal F conservadora SCO SC SxO p – 1 (p – 1)(n – 1) [1/(p – 1)](p – 1) = 1 [1/(p – 1)](p – 1)(n – 1) = n – 1 F ajustada: Multiplicado los g.l. del numerador y denominador por la  de Greenhouse y Geisser (1959) F conservadora F normal  = 1/(p – 1)   = 1

Límites de los valores de   de Greenhouse y Geisser (1959)  = 0.546 F conservadora F normal  = 1/(p – 1)   = 1 0.33 0.546 1

Valores F y clase de prueba Valores teóricos del estadístico F, según las distintas pruebas y un nivel de significación de 0.05. Clase de prueba g.l. valor F Normal 3/15 3.29 Conservadora 1/5 6.61 Ajustada 0.546(3)/0.546(15) = 1.638/8.19 5.01

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CURVA DE LAS MEDIAS DE OCASIONES