Aproximación numérica de las ecuaciones de flujo mediante UNIDAD III Aproximación numérica de las ecuaciones de flujo mediante diferencias finitas

OBJETIVO TERMINAL DE UNIDAD Al finalizar esta unidad el alumno debe lograr aproximar las ecuaciones de flujo mediante diferencia finita.

OBJETIVOS ESPECÍFICOS 3.1 Dar a conocer las distintas consideraciones para aproximar las ecuaciones de flujo. 3.2 Demostrar la aproximación de la serie de Taylor. 3.3 Discretizar las ecuaciones de flujo para dos direcciones: 3.4 Describir la Formulación Explícita e Implícita .

( ) : .. ., ; ),.. , dep u ind y x f C B A ¶ = + Simulación de yacimientos - Aproximación numérica de ecuaciones de flujo Las ecuaciones de flujo son diferenciales no lineales que se resuelven por diferencia finitas. Las ecuaciones diferenciales En dos variables independientes se pueden expresar: ( ) : .. ., ; ),.. , 2 dep u ind y x f C B A ¶ = +

Simulación de yacimientos - solución numérica ecuaciones de flujo Depende de a, b y c la ecuación será elíptica, parabólica e hiperbólica. Si: (b2 - 4ac) es menor que 0, elíptica.; Igual a cero parabólica. Y mayor que cero hiperbólica. Ejemplos: . parabólica 1 elíptica , a hiperbólica 2 t u x y ¶ = +

3.1 Consideraciones para aproximar las ecuaciones de flujo. Recordemos: æ ö ¶ æ r ¶ F ö æ r ¶ F ö æ r ¶ F ö ç ç o o ÷ ç ÷ ÷ X K K + ç X W K K W ÷ + X g K K g + ç ç ÷ ç ÷ ÷ ¶ x ç io m m x ro ¶ x iW m m x rW ¶ x ç ig m è ø è ø m x rg ¶ x ÷ ÷ è o o W W è g g ø ø æ ö ¶ æ ç r ¶ F ö æ r ¶ F ö æ r ¶ F ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ X o K K o + X W K K W + X g g ÷ K K + ç ç ÷ ç ÷ ÷ ¶ y ç io m m y ro ¶ è y iW m m y rW ¶ y ç ig m m y rg ¶ ÷ ÷ ø è ø y è o o W W è g g ø ø æ ö ¶ æ r ¶ F ö æ r ¶ F ö æ r ¶ F ö ç ç ÷ ÷ ç X o K K O ÷ + ç X W K K W ÷ + X g K K g + q x Bo ¶ ç ç z ç io m m z ro ¶ ÷ ç z iW m m z rW ¶ ÷ z ç ig m m z rg ¶ z ÷ ÷ ÷ i è ø è ø è o o W W è g g ø ø [ 1 ¶ ( ( ) ( ) ( ) ) ] = f X r S / m + X r S / m + X r S / m . Bo ¶ t io o o o iw w w w ig g g j

Además de las ecuaciones de flujo, se tienen las siguientes relaciones auxiliares: So + Sw + Sg = 1 Krw = Krw(Sw) Krg = Krg(Sg) Kro = Kro(So, Sw, Sg) Pcow = Po - Pw = Pcow(Sw) Pcgo = Pg - Po = Pcgo(Sg)  Pg - Pw = Pcgw = Pcow + Pcgo r, m, Bf, Rs son funciones de presión Quedan 3 ecuaciones diferenciales con 3 incógnitas: Po, Sw, Sg - Las demás cantidades dependen de éstas y de las relaciones vistas

Solución numérica de las ecuaciones por diferencia Finitas Diferencias finitas consiste en resolver para las variables dependientes, presión y saturación. De cada fase, en puntos discretos que definen una malla en el yac. Para cada uno de los niveles de tiempo en los cuales se divide la simulación. Se aproximan las derivadas en espacio y tiempo por diferencias finitas. Error puede aproximarse matemáticamente por el desarrollo en serie de Taylor. En la práctica se estima el error variando los intervalos de espacio y tiempo para estimar su efecto en los resultados Formulación en diferencia finita, debe conservar el balance de materiales. Las mallas pueden ser regulares, irregulares, cartesianas, polares, cilíndricas.

P ¶ x DP  x 3.2 Demostrar la aproximación de la serie de Taylor. 1 6 2 3 4 5 Función continua Aproximación de la presión por diferencias finitas  DP x x P ¶ Pendiente que representa aproximación hacia atrás Pendiente que representa aproximación centrada Pi+1 Pendiente representa aprox. hacia adelante Pi Pendiente exacta Pi-1 Δx i-1 i i+1

La serie de Taylor expandida: ·········· P = i ± C ¶ DC 1 + 2! 2 3! 3 n! n Ahora restamos I. y II. ·········· P = i + C ¶ DC 1 2! 2 3! 3 n! n I. II. ·········· P = i - C ¶ DC 1 + 2! 2 3! 3 n! n despreciable C ¶ P DC i - P 2 ¶ 2 - P 2! 2 C ¶ DC i P P i - P i C ¶ P DC i DC P i = + + + + O(ΔC) i + 1 i - 1 2! ¶ C 2

La serie de Taylor expandida: = 2DC C ¶ P i 1 + - O( ΔC 2 ) C ¶ P i = 1 + - 2DC O( ΔC 2 ) Ahora para la segunda derivada partimos de la serie expandida y multiplicamos por (-1) la ecuación II. y restamos I. con II. nos queda: C 2 ¶ P ¶ 2 i = DC 2 + O( ΔC 2 ) 1 - 2P

( ) é ù ¶ K K ¶ P 1 æ K K ¶ P ö æ K K ¶ P ö ( ) » ê ç ÷ - ç ÷ ú ç ÷ ç 3.3 Discretizar las ecuaciones de flujo para dos direcciones: Recordemos ahora los términos discretizados de las ecuaciones de flujo (los términos espaciales, los del lado izquierdo): Dx Dx Dx i-1 i-1/2 i i+1/2 i+1 é ù ¶ K K ¶ P 1 æ K K ¶ P ö æ K K ¶ P ö ( x r ) » ê ç x r ÷ - ç x r ÷ ú ç ÷ ç ÷ ¶ x m B ¶ x i D x ê m B ¶ x m B ¶ è ø è x ø ú ë û i + 1 i - 1 2 2 ( ) ú û ù ê ë é - D ÷ ø ö ç è æ » + 1 2 i r x P B K m

i+1/2 e i-1/2 representan las fronteras entre dos bloques. Entonces, cómo calcular Kx, Kr, μ y B en esa frontera? - Las soluciones propuestas: - Kx(i-1/2) como promedio armónico entre de Kx(i-1) y Kx(i) - Kx(i+1/2) como promedio armónico entre de Kx(i) y Kx(i+1) - Kr, μ y B en ambas fronteras se calculan como: - Promedio aritmético de los valores en las celdas adyacentes

[ ] ( ) ¶ é ù ¶ é ù Kx Kro ¶ Ky Kro ¶ + + q ê ú ê ú = ¶ m Bo ¶ x ¶ Flujo de una sola fase incomprensible con un componente (petróleo). o ro x io K m X ç è æ ÷ ø ö ¶ F r y i q x Bo + ( ) [ ] / S t . Bo 1 f = g = ρ / 144 D P g - = F Asumiendo: flujo es lineal en las direcciones (X y Y), Medio poroso homogéneo, Fluido incomprensible y despreciando las fuerzas gravitacionales. ¶ é ù ¶ é ù Kx Kro ¶ ( Po ) Ky Kro ¶ ( Po ) j i o B S t , ) ( ¶ + + o q ê ú ê ú = ¶ m Bo ¶ x ¶ m Bo ¶ y x o y o ë û ë û é n + 1 n ù 1 æ j S ö æ j S ö = ê ç o ÷ - ç o ÷ ú ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë û o i , j o i , j

¶ ¶ P ¶ ¶ P + ( K M ) ( K M ) ¶ x ¶ x ¶ y ¶ y é ù 1 æ j S ö æ j S ö = Si hacemos Mo = Kro/Bomo, (y similarmente Mw = Krw/Bwmw, Mg = Krg/Bgmg) y, para simplificar, consideramos sólo las 2 direcciones horizontales e ignoramos el término gravitacional, la ecuación para el petróleo queda así: é + ù ¶ ¶ P ¶ ¶ P 1 æ n 1 n j S ö æ j S ö o + o = ê ç o ÷ - ç o ÷ ( K M ) ( K M ) ú ç ÷ ç ÷ ¶ x x o ¶ x ¶ y y o ¶ y D t ê è B ø è B ø ú ë o i , j o û i , j

K M K M K M K M + = = é ù 1 æ j S ö æ j S ö ê ç ÷ - ç ÷ ú ç ÷ ç ÷ D t Aplicando para las condiciones de frontera: Po - Po Po - Po K M + K M ( i 1,j i,j - i,j i - 1,j ) / D x + x o x o D x D x i + 1 / 2,j i - 1 / 2, j Po - Po Po - Po K M K M ( i ,j+1 i,j = - i,j i ,j-1 ) / D y y o y o D y D y i , j + 1 /2 i , j - 1 /2 é n + 1 n ù 1 æ j S ö æ j S ö ê ç o ÷ - ç o ÷ ú = ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë o û i , j o i , j

= i = j é ù 1 æ j S ö æ j S ö ê ç ÷ - ç ÷ ú ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø Y entonces la discretización queda así, ahora sin suponer que Δx y Δy sean constantes: (KxMo)i+1/2,j[(Po)i+1,j - (Po)i,j] (KxMo)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j] - xi+1 - xi xi - xi-1 + xi+1/2 - xi-1/2 (KyMo)i,j+1/2[(Po)i,j+1 - (Po)i,j] (KyMo)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1] - yj+1 - yj yj - yj-1 = yj+1/2 - yj-1/2 i j é n + 1 ù 1 æ j S ö æ n j = S ö ê ç o ÷ - ç o ÷ ú ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë o i , j o û i , j

Multiplicamos la ecuación anterior por Δxi ΔyjΔz: (KxMo)i+1/2,j[(Po)i+1,j - (Po)i,j] xi+1 - xi - (KxMo)i-1/2,j[(Po)i,j - (Po)i-1,j] xi - xi-1 + (KyMo)i,j+1/2[(Po)i,j+1 - (Po)i,j] yj+1 - yj (KyMo)i,j-1/2[(Po)i,j - (Po)i,j-1] yj - yj-1 xi+1/2 - xi-1/2 yj+1/2 - yj-1/2 = DxiDyjDzk ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ D n j i o B S t V , 1

DEFINIMOS: (Kx)i+1/2,jΔyjΔzk (Tx)i+1/2,j = xi+1 - xi (Tox)i+1/2,j = , transmisibilidad en dirección x xi+1 - xi (Tox)i+1/2,j = (Tx)i+1/2,j (Mox)i+1/2,j (Ky)i,j+1/2ΔxiΔzk (Ty)i,j+1/2 = , transmisibilidad en dirección y yj+1 - yj (Toy)i,j+1/2 = (Ty)i,j+1/2 (Moy)i,j+1/2

(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j] - (Tox)i-1/2,j Entonces la ecuación anterior queda: (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j] - (Tox)i-1/2,j [(Po)i,j - (Po)i-1,j] + (Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j] - (Toy)i,j-1/2 [(Po)i,j - (Po)i,j-1] = + é æ ö n + 1 æ n ù j S j S ö = V i , j ê ç o ÷ - ç o ÷ ú ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë o i , j o û i , j (Dt = tn+1 - tn ) Quedando por definir en qué nivel de tiempo se evalúa la expresión del lado izquierdo.

(Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j] - (Tox)i-1/2,j Introduciendo el aporte de los pozos: (qo)i,j en el bloque i,j positivo, si se inyecta (qo)i,j negativo, si se produce entonces la ecuación anterior (para el petróleo) queda: (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j] - (Tox)i-1/2,j [(Po)i,j - (Po)i-1,j] + + (Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j] - (Toy)i,j-1/2 [(Po)i,j - (Po)i,j-1] + ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ - D + n j i o B S t V , 1 (qo)i,j + =

En el caso de inyección, las tasas qo, qw o qg son especificadas por el usuario (o el BHP máximo) En el caso de producción las tasas son proporcionales a su movilidad a. Si el usuario específica qo (y esta restricción está activa): El simulador calcula Δpo [Δpo = (Pob - Pwf)], Luego calcula Pw y qw α Mw(Pwb - Pwf) y similarmente para qg b. Si se específica qL = qo + qw y la restricción está activa, entonces el simulador calcula: qo α Mo(Pob - Pwf) qw α Mw(Pwb - Pwf) tal que qo + qw = qL

[(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] - Finalmente, entonces, tomando en cuenta también los pozos y la gravedad, la ecuación discretizada final queda: (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] - - (Tox)i-1/2,j [(Po)i,j - (Po)i-1,j - rog(Di,j - Di-1,j)] + + (Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j - rog(Di,j+1 - Di,j)] - (Toy)i,j-1/2 [(Po)i,j - (Po)i,j-1 - rog(Di,j - Di,j-1)] + = (qo)i,j ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ D n j i o B S t V , 1 - Similarmente para el agua (sustituyendo el subíndice o por w) - Y para el gas (tomando en cuenta el gas libre y el gas en solución)

[(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] - 3.4 Describir la Formulación Explícita e Implícita . Formulación explícita: Solución para la presión con una sola fase. Recordemos que las ecuaciones discretizadas quedan así: (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j - rog(Di+1,j - Di,j)] - - (Tox)i-1/2,j [(Po)i,j - (Po)i-1,j - rog(Di,j - Di-1,j)] + + (Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j - rog(Di,j+1 - Di,j)] - - (Toy)i,j-1/2 [(Po)i,j - (Po)i,j-1 - rog(Di,j - Di,j-1)] + é + æ n 1 n ù (qo)i,j V j S ö æ j S ö + = ê ç o ÷ ç ÷ i , j - o ú ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë o i , j o û i , j Y similares para el agua y para el gas, en 2 dimensiones

En la formulación totalmente explícita la discretización espacial se evalúa en el tiempo n. Por tanto queda: (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j] - (Tox)i-1/2,j [(Po)i,j - (Po)i-1,j] + + (Toy)i,j+1/2 [(Po)i,j+1 - (Po)i,j] (Toy)i,j-1/2 [(Po)i,j - (Po)i,j-1] + = (qo)i,j n ú û ù ê ë é ÷ ø ö ç è æ D j i o B S t V , 1 Es decir, consiste en buscar los ceros de estas funciones. Por ser funciones no lineales, suele aplicarse el método de Newton, o Newton-Raphson.

+ = (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j] + = (Twx)i+1/2,j Sólo falta despejar: é + ù é ù æ j S ö n 1 æ j S ö n D + t n n n ê ç ÷ ú = ê ç ÷ ú (Tox)i+1/2,j [(Po)i+1,j - (Po)i,j] o o ç ÷ ç ÷ ê è B ø ú ê è B ø ú V ë i , j o û ë û i , j o i , j é n + 1 ù é æ n ù j S ö æ j S ö D + t n n n ê ç w ÷ ú = ê ç w ÷ ú (Twx)i+1/2,j [(Pw)i+1,j - (Pw)i,j] ç ÷ ç ÷ ê è B ø ú ê è B ø ú V ë w û ë i , j w û i , j i , j n+1 n+1 n+1 n+1 Son 2 ecuaciones y 4 incógnitas: So, Sw, Po, Pw Ahora bien, sabemos que: a) So + Sw = 1 b) f n+1 = f n [1 - CrΔPo] n+1 n (Dpo= Po - Po ) c) Bo = Bo [1 - CoDPo ] n n+1 d) Pcwo = Po - Pw Por tanto podemos expresar las 2 ecuaciones con sólo 2 incógnitas: So y Δpo (o Po ). Resolviendo, luego se obtienen Sw, Pw, etc. n+1 n+1 n+1 n+1

(Tox)i+1/2 [(Po)i+1 - (Po)i ] - (Tox)i-1/2 [(Po)i - (Po)i-1 ] + (qo)i Formulación implícita: Solución para la presión con una sola fase. Para este caso tomamos la ecuación de petróleo (So = 1) que, discretizada, queda así: (Tox)i+1/2 n+1 [(Po)i+1 - (Po)i ] n+1 n+1 - (Tox)i-1/2 n+1 [(Po)i - (Po)i-1 ] + n+1 n+1 (qo)i n+1 é n + æ 1 n ù j S ö æ j S ö + = V ê ç o ÷ - ç i o ÷ ú ç ÷ ç ÷ D t ê è B ø è B ø ú ë o û i o i Observar que ahora la expresión del lado izquierdo está tomada al tiempo n+1

[(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] = [ - ] Dx2moBo e-CoDPo Dt Bo e-CoDPo Bo Para un análisis más simple, tomemos Δx, f, K, mo constantes, n+1 n qo = 0 y hagamos Bo = Bo e-CoDPo (ignorando las variaciones espaciales de Bo) Entonces, dividiendo por Vi = (ΔxΔyΔz)i y recordando que (Kx)i+1/2DyiDzi Kro) (Tox)i+1/2 = ( ) xi+1 - xi moBo i+1/2 la ecuación queda: K n+1 n+1 n+1 f 1 1 [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] = [ - ] n n Dx2moBo e-CoDPo n Dt Bo e-CoDPo Bo n (Dpo = Po - Po ) n+1

[(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] = 1 - e-CoDPo Dx2mo Dt n Bo e-CoDPo Ahora, multiplicando en cada lado por queda: K n+1 n+1 n+1 f [ ] [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] = 1 - e-CoDPo Dx2mo Dt K n+1 n+1 n+1 f Co n+1 n [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ]  [(Po)i - (Po)i ] Dx2mo Dt 3. Este esquema es estable para todo tamaño de Δt y se llama implícito porque hay una relación implícita (en el tiempo n+1) entre las presiones en los puntos i+1, i, i-1. 4. Para expresar el problema de manera completa, debemos escribir esta ecuación tantas veces como bloques tengamos (NX) y resolver el sistema de NX ecuaciones con las NX incógnitas simultáneamente.

[(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ]  [(Po)i - (Po)i ] Dx2mo Dt Consideremos el caso 1D siguiente: 1 2 3 4 5 6 7 8 Dx P1 P8 Condiciones de borde: P1 y P8 conocidos La ecuación: K n+1 n+1 n+1 f Co n+1 n [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ]  [(Po)i - (Po)i ] Dx2mo Dt puede re-escribirse como: K Dt [(Po)i - (Po)i ] = n+1 n Co [(Po)i+1 - 2(Po)i + (Po)i-1 ] f Dx2mo

(Po)i+1 - (2+a)(Po)i + (Po)i-1 = - a(Po)i f Co Dx2mo = a Llamemos K Dt Entonces la ecuación queda re-escrita como: n+1 n+1 n+1 n (Po)i+1 - (2+a)(Po)i + (Po)i-1 = - a(Po)i o, eliminando el subíndice o y cambiando signos: n+1 n+1 n+1 n - Pi+1 + (2+a)Pi - Pi-1 = aPi Si tenemos P1 y P8 conocidos y fijos, el sistema completo queda:

Nodo i=3: - P2 + (2+a)P3 - P4 = aP3 Nodo i=2: (2+a)P2 - P3 = aP2 + P1 n+1 n+1 n+1 n Nodo i=3: - P2 + (2+a)P3 - P4 = aP3 n+1 n+1 n+1 n Nodo i=4: - P3 + (2+a)P4 - P5 = aP4 n+1 n+1 n+1 n Nodo i=5: - P4 + (2+a)P5 - P6 = aP5 n+1 n+1 n+1 n Nodo i=6: - P5 + (2+a)P6 - P7 = aP6 n+1 n+1 n Nodo i=7: - P6 + (2+a)P7 = aP7 + P8 El lado derecho es conocido y el izquierdo relaciona todas las presiones desconocidas al tiempo n+1

AP = aP + b (2+a) -1 0 0 0 0 P2 P2 P1 P3 P3 -1 (2+a) -1 0 0 0 P4 P4 En forma matricial quedaría: n+1 n (2+a) -1 0 0 0 0 P2 P2 P1 P3 P3 -1 (2+a) -1 0 0 0 P4 P4 0 -1 (2+a) -1 0 0 + P5 = a P5 0 0 -1 (2+a) -1 0 P6 P6 0 0 0 -1 (2+a) -1 0 0 0 0 -1 (2+a) P7 P7 P8 n+1 n AP = aP + b Condiciones de borde Matriz de coeficientes Valores conocidos de presión al tiempo n Vector de incógnitas, presiones al tiempo n+1

[(Po)i+1,j - 2(Po)i,j + (Po)i-1,j ] + Dx2mo A B C D B. En dos dimensiones: Dx E El caso ahora es de 1 sola fase, pero en 2D Dy 1 2 3 4 F G 5 6 7 8 H 1. Haciendo las mismas suposiciones que para el caso 1D (Kx, Ky, φ, μ o, Δx, Δy constantes), la ecuación discretizada queda ahora: 9 10 11 12 I J K L M N Kx n+1 n+1 n+1 [(Po)i+1,j - 2(Po)i,j + (Po)i-1,j ] + Dx2mo Ky f Co n+1 n+1 n+1 n+1 n + [(Po)i,j+1 - 2(Po)i,j + (Po)i,j-1 ] [(Po)i,j - (Po)i,j ] = Dy2mo Dt

[Pi+1,j - 2Pi,j + Pi-1,j ] + [Pi,j+1 - 2Pi,j + Pi,j-1 ] = a 2. También este esquema es estable para todo tamaño de Δt. Para el caso simplificado en que Δx = Δy, Kx = Ky, el sistema de ecuaciones para un problema como el de la figura anterior quedaría así (eliminando el subíndice o): n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n [Pi+1,j - 2Pi,j + Pi-1,j ] + [Pi,j+1 - 2Pi,j + Pi,j-1 ] = a [Pi,j - Pi,j ] n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n Pi,j-1 + Pi-1,j - 4Pi,j + Pi+1,j + Pi,j+1 = a Pi,j - aPi,j - n+1 n+1 n+1 n+1 n+1 n Pi,j-1 - Pi-1,j + (4+a)Pi,j - Pi+1,j - Pi,j+1 = aPi,j Concretamente, el sistema completo quedaría como se muestra en la lámina siguiente:

Nodo 1: Nodo 2: Nodo 3: Nodo 4: Nodo 5: Nodo 6: Nodo 7: Nodo 8: P2 - P5 + (4+a)P6 - n+1 P7 - P10 = aP6 n - + (4+a)P1 - P2 - P5 = aP1 + A + E - P1 + (4+a)P2 - P3 - P6 = aP2 + B - P2 + (4+a)P3 - P4 - P7 = aP3 + C - P3 + (4+a)P4 - P8 = aP4 + D + F P1 + (4+a)P5 - P6 - P9 = aP5 + G P3 - P6 + (4+a)P7 - P8 - P11 = aP7 P4 - P7 + (4+a)P8 - P12 = aP8 + H P5 + (4+a)P9 - P10 = aP9 + I + K P6 - P9 + (4+a)P10 - P11 = aP10 + L P7 - P10 + (4+a)P11 - P12 = aP11 + M P8 - P11 + (4+a)P12 = aP12 + J + N

En forma matricial: (4+a) -1 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 0 P1 aP + b 0 0 -1 0 0 -1 (4+a) -1 0 0 -1 0 P7 0 0 0 -1 0 0 -1 (4+a) 0 0 0 -1 P8 0 0 0 0 -1 0 0 0 (4+a) -1 0 0 P9 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 (4+a) -1 0 P10 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 (4+a) -1 P11 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 -1 (4+a) P12

Ejercicio: Igual que el anterior, pero ahora las condiciones de borde son dP/dx = 0 (Se supone que los bloques virtuales que bordean la frontera tienen presiones iguales a la de los bloques fronterizos - Ver Figura) 1 8 4 11 1 1 8 4 11 11 7 3 10 6 7 6 2 9 5 12 12 2 2 9 5 12