Estadística Intermedia Mínimos cuadrados ponderados
Una suposición clave en la estimación por mínimos cuadrados es que la varianza de cada error es la misma.
Si no se cumple este supuesto se presenta el fenómeno de heterocedasticidad. La heterocedastcidad no destruye el insesgamiento ni las propiedades de consistencia de los estimadores de MCO. Sin embargo estos estimadores dejan de ser MELI
Modelo lineal general Y=Xβ+ε Tal que E(ε)=0 Y la matriz de varianza-covarianza está dada por E(εεt)=Q
Q-1 recibe el nombre de matriz de ponderación Las ecuaciones normales en forma matricial son X’Q-1XB=X’Q-1Y Si existe la matriz inversa (X’Q-1X)-1, los estimadores por mínimos cuadrados con factores de peso se obtienen por:
B=(X’Q-1X)-1 X’Q-1Y Entonces los mínimos cuadrados ordinarios son un caso especial de los mínimos cuadrados ponderados, es decir, si Q=σ2I B=(X’X)-1X´Y
La definición de la matriz Q implica una estructura de covarianza de los errores aleatorios. La aplicación más sencilla de la estimación por mínimos cuadrados ponderados es suponer la matriz Q como una matriz diagonal
De donde Q-1= 1/σ21 1/σ22 1/σ2n
Una práctica frecuente en la adquisición de datos experimentales es tomar varias mediciones de la respuesta para cada uno de los puntos de observación y después calcular el promedio de las mediciones para cada uno. La razón para llevar a cabo este procedimiento es estabilizar la variabilidad de las observaciones individuales. Dado que la desviación estándar de un promedio es proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de la muestra sobre la cual se basa, la variación de Yi es σ2/ni
Esto conduce a un procedimiento de estimación por mínimos cuadrados ponderados para el cual la inversa de Q está dada por Q-1=1/σ2 n1 n2 nn
Los pesos son los tamaños individuales de cada muestra n1, n2, …, nn para los n puntos de observación . Los promedios basados en un gran número de observaciones deben tener un mayor peso en la determinación de las estimaciones que aquellas que se basan en pocas observaciones.