DISTRIBUCIÓN NORMAL DÍA 62 * 1º BAD CS

DISTRIBUCIÓN NORMAL Así como de todas las distribuciones discretas destacábamos la distribución binomial, entre las distribuciones continuas la más importante es la distribución normal. Resulta idónea para explicar: Aceptación de una norma. Gusto por las costumbres. Consumo de un bien. Impacto de un producto. Coeficiente intelectual. Velocidad de cálculo. Estatura o peso. Calibre de unos guisantes. Errores de medidas Fue De Moivre (1733) quien investigó por primera vez la distribución normal, pero no fue hasta 1809 cuando Gauss formuló la expresión analítica y la gráfica de la función de densidad, al estudiar los errores en las medidas. Esta distribución permite describir probabilisticamente fenómenos estadísticos donde los valores más usuales se agrupan en torno a uno central y los valores extremos son escasos.

Campana de Gauss: N(μ, σ) μ=- 3,5 μ=0 μ=3 N(μ, σ) = N(0, 1’5) N(μ, σ) = N(3, 1’5) N(μ, σ) = N(- 3’5, 0,75)

Llamada campana de Gauss por su forma, presenta los siguientes rasgos: Su dominio es todo el eje real. Su recorrido es de 0 a 1/ σ. √2. π Es simétrica respecto a su media. Posee un máx. absoluto que coincide con la media, la moda y la mediana. Sus coordenadas son: Máx = ( μ, 0’4 ) En los puntos ( μ ‑ σ) y ( μ + σ) presenta puntos de inflexión (cambia la curvatura). El eje de abscisas es una asíntota de la curva. El área limitada entre los puntos ( μ - σ) y ( μ +σ) es 0,6826 ; entre los puntos ( μ - 2σ) y ( μ +2σ) es 0,9544 ; y entre los puntos ( μ - 3σ) y ( μ +3σ) es prácticamente la unidad. FUNCIÓN DE DENSIDAD EN LA DISTRIBUCIÓN NORMAL N(μ, σ) = N(0, 1)

Expresión algebraica 2 ( x - μ ) σ f(x) = e σ. √2.π Como se ve en el caso de que la variable X siga una distribución normal, el cálculo de probabilidades implica hallar áreas bastantes complicadas debido a la expresión analítica de su función de densidad. Para facilitar el trabajo existen Tablas que nos proporcionan directamente el valor de estas áreas para el caso de μ = 0, σ = 1 Esta distribución se llama distribución normal tipificada y se simboliza así: N(0,1)

D. N. TIPIFICADA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA Una distribución normal, N(μ, σ ), vimos que presenta la forma de una campana de Gauss. Cuando μ=0 y σ=1, nos encontramos con una distribución normal tipificada o estándar: N( 0, 1) La principal ventaja es que se dispone de Tablas elaboradas para calcular todo tipo de probabilidades

D. N. TIPIFICADA DISTRIBUCIÓN NORMAL TIPIFICADA A efectos prácticos podemos convertir una distribución normal N( μ, σ ) en una distribución normal tipificada o estándar: N( 0, 1), mediante el cambio: X - μ Z = σ Gracias a ese cambio de variable podemos utilizar las Tablas ya elaboradas para calcular probabilidades en una distribución normal. Evidentemente para ello nos deben dar los valores de μ y de σ (cuyo cálculo ya hemos dicho que excede del nivel del curso).

D. N. TIPIFICADA Ejemplo 1 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de X ≤ 8,845 Aplicamos el cambio: X - μ Z = σ 8,845 – 7 Z= = 1,23 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P ( Z ≤ 1,23 ) Pues P(X ≤ 8,845)= P ( Z ≤ 1,23 )

P ( Z ≤ 1,23 ) En la tabla tomamos la fila 1,2 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,03 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P. Z0,000, , ,09 0,00,50000, , ,5359 0,10,53980, , , ,10,86430, , ,20,88490, , ,91, ,0000

D. N. TIPIFICADA Ejemplo 2 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de ( 3,775 ≤ X ≤ 8,845 ) Aplicamos el cambio: 3, Z = = - 2,15 1,5 8,845 – 7 Z= = 1,23 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 ) Pues P(3,775 ≤ X ≤ 8,845)= P (-2,15 ≤ Z ≤ 1,23 )

Hay que hallar P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) Calculemos P ( Z ≤ 2,15) En la tabla tomamos la fila 2,1 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,05 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Z0,000, , ,09 0,00,50000, , , ,00,97720, , ,10,98210, , ,91, ,0000

Razonamiento: P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≤ - 2,15) = = P( Z ≤ 1,23) - P( Z ≥ 2,15) = = P( Z ≤ 1,23) - [ 1 - P( Z ≤ 2,15)] = = P( Z ≤ 1,23) + P( Z ≤ 2,15) - 1 P (- 2,15 ≤ Z ≤ 1,23) = = 0, ,9842 – 1 = = 1,8749 – 1 = 0,8749 Que como era de esperar es menor que la del ejemplo anterior. NOTA: Por las Tablas NO se puede calcular ni P( Z ≤ - 2,15) ni P( Z ≥ 2,15). Sólo P (Z ≤ k), siendo k POSITIVO -3 -2’ ,23 3

D. N. TIPIFICADA Ejemplo 3 Sea la distribución normal N(7, 1’5). Hallar la probabilidad de (7 ≤ X ≤ 11,5) Aplicamos el cambio: Z = = 0 1,5 11,5 – 7 Z= = 3 1,5 Y ahora, mediante las Tablas, calculamos P (0 ≤ Z ≤ 3 ) Pues P(7 ≤ X ≤ 11,5) = P (0 ≤ Z ≤ 3 )

Hay que hallar P (0 ≤ Z ≤ 3) Calculemos P ( Z ≤ 0) En la tabla tomamos la fila 0,0 ( unidades, décimas del valor de Z ) Y la columna 0,00 ( centésima del valor de Z). El punto de intersección de fila y columna nos dará el valor del área, de P Z0,000, , ,09 0,00,50000, , , ,91, ,0000

Razonamiento: P (0 ≤ Z ≤ 3) = = P( Z ≤ 3) - P( Z ≤ 0) = = P( Z ≤ 3) - 0,5000 = = P( Z ≤ 3) – 0,5000 P (0 ≤ Z ≤ 3) = = 0,9995 – 0,5000 = = 0,