La cuarta dimensión Guía del usuario

Sobre el conferencista  Alfredo Gómez Rodríguez  Instituto de Física  Facultad de Ingeniería  UNAM

Sobre el conferencista

 Tiene en común con ALF tres cosas:  El nombre  El tamaño  Que los dos tienen una suegra extraterrestre (bueno, no exactamente, como veremos después)

ESPACIOS VECTORIALES Recuerde que un espacio vectorial sobre un campo F es un conjunto V, cuyos elementos se llaman vectores, y que tiene definidas dos operaciones:

ESPACIOS VECTORIALES  La primera operación es una “suma” que asocia con cualesquiera dos vectores a y b de V otro vector de V, llamado suma de a y b, y denotado como a+b.

ESPACIOS VECTORIALES  La otra operación es una “multiplicación” que asocia con qualquier número α de F y cualquier vector a de V otro vector de V llamado producto de α con a y denotado como αa.

ESPACIOS VECTORIALES  Además los espacios vectoriales deben de satisfacer las siguientes diez propiedades, o axiomas.

ESPACIOS VECTORIALES  1) para cualesquiera vectores a y b de V, a+b está en V (cerradura).  2) para cualesquiera vectores a y b de V se tiene que a+b=b+a (conmutatividad).  3) para cualesquiera a,b y c en V se tiene que a+(b+c)=(a+b)+c (asociatividad).

ESPACIOS VECTORIALES  4) existe un elemento 0 en V con la propiedad de que para cualquier a en V se cumple que a+0=0+a=a.  5) dado cualquier a en V, existe otro elemento de V denotado por –a y que tiene la propiedad de que a+(-a)=(- a)+a=0.  Dicho mas brevemente, los espacios vectoriales forman un grupo abeliano con respecto a la suma.

ESPACIOS VECTORIALES  6) si α está en F y a está en V, entonces αa está en V.  7) Si α está en F y a y b están en V, entonces se cumple que α(a+b)= αa+ αb (propiedad distributiva)  8) Si α y β están en F y a está en V, entonces se cumple que (α+ β)a= αa+ βa (propiedad distributiva)

ESPACIOS VECTORIALES  9) Si α y β están en F y a está en V, entonces se cumple que (αβ)a= α(βa)  10) 1 (la unidad de F) tiene la propiedad de que para cualquier a en V 1a=a.

COMBINACIONES LINEALES  Si a 1,a 2 …a n son vectores de V, una combinación lineal de éstos es una expresión de la forma c 1 a 1 +c 2 a 2 +…c n a n donde c 1, c 2 …c n son números de F.

GENERADORES  Se dice que los vectores a 1,a 2 …a n de V generan a V (o que son un conjunto generador) si todo vector a de V puede expresarse como combinación lineal de dichos vectores, es decir, si existen números c 1, c 2 …c n tales que a= c 1 a 1 +c 2 a 2 +…c n a n.

INDEPENDENCIA LINEAL  Se dice que los vectores a 1,a 2 …a n de V son linealmente independientes si la única manera de tener una combinación lineal igual a cero c 1 a 1 +c 2 a 2 +…c n a n =0 es con los coeficientes c 1 =c 2 =…c n =0.

DEPENDENCIA LINEAL  Se dice que los vectores a 1,a 2 …a n de V son linealmente dependientes si existen números c 1, c 2 …c n no todos ellos cero y tales que c 1 a 1 +c 2 a 2 +…c n a n =0

BASE-DIMENSIÓN FINITA  Se dice que los vectores a 1,a 2 …a n de V son una base de V si:  1) generan a V  2) son linealmente independientes.  Se dice que un espacio vectorial V es de dimensión finita si tiene una base con un número finito de vectores.

UN TEOREMA FUNDAMENTAL  TEOREMA:  Sea V un espacio vectorial de dimensión finita.  entonces dos bases cualesquiera tienen el mismo número de vectores.

DIMENSIÓN  Sea V un espacio vectorial de dimensión finita.  se dice que la dimensión de V es n (y escribimos dim(V)=n) si toda base de V tiene n vectores.

NUESTRO MUNDO TRIDIMENSIONAL  PROPOSICIÓN: Vivimos en un mundo tridimensional (dim(mundo)=3)  Largo  Alto  Ancho  Pero hay evidencias de que el mundo podría tener más dimensiones

CARTA A LOS EFESIOS  …seáis capaces de comprender con todos los santos cuál sea la anchura, la longitud, la profundidad y la altura,…  Pablo de Tarso, epístola a los Efesios, capítulo 3, versículo 18  pero: Saulo acababa se ser derribado de su caballo cuando iba a Damasco, ¿se golpeó la cabeza?, ¿sabía contar?

EL CIELO ES TETRADIMENSIONAL  También Dalí piensa que el verdadero mundo podría ser tetradimensional.

TESERACT  La cruz es el desarrollo de un hiper- cubo (un cubo en cuatro dimensiones).  para entenderlo consideremos el desarrollo de un cubo en tres dimensiones (lo que comprábamos en la papelería de chavos para armar un cubo)

DESARROLLO DEL CUBO

Desarrollo del hipercubo

Los seres de la cuarta dimensión  No hay tal cosa como cuarta dimensión, lo que hay es espacios de cuatro dimensiones  Los escritores han imaginado cómo serían los seres de la “cuarta dimensión”

MXYSZPTLK

¿Dónde viven los seres de la cuarta dimensión?  Sea E un espacio con dim(E)=4 y W un subespacio con dimensión dim(W)=3.  Podemos pensar que nosotros vivimos en W.  MXYSZPTLK no vive (normalmente, aunque viene de visita) en W

Variedad lineal.  Sea V un espacio vectorial y W un subespacio de V.  una variedad lineal de V con subespacio W y punto de apoyo p (p está en V) se define como:  [p]={xЄV|x=a+p con a ЄW}=W+p

¿Dónde viven los seres de la cuarta dimensión?  Podemos decir que mxyszptlk vive en una variedad lineal diferente de la nuestra.  como nosotros vivimos en W podemos decir que estamos en [0]  Mxyszptlk vive en [p] con p≠0

¿CÓMO SON LOS SERES DE LA CUARTA DIMENSIÓN?  Lo más cercano a un ser de la cuarta dimensión que conozco es mi suegra.  la siguiente figura la muestra riéndose de mis chistes. ¡es realmente fotogénica!

MI SUEGRA DE LA CUARTA DIMENSIÓN

Cómo serían los habitantes de un mundo de menos dimensiones  Cualquier intromisión la verían como una “aparición” (¡el álgebra lineal explica los milagros!)

No todo es facil en “Flat Land”  A veces es problemático tener aparato digestivo en dos dimensiones.

OTROS ESPACIOS DE MÁS DIMENSIONES  Los físicos piensan que todo está hecho de “cuerdas”  las cuerdas viven en espacios de 10 o de 16 dimensiones  pero no vemos las demás dimensiones porque el universo es muy pequeño en la dirección de éstas (compactificación).

COMPACTIFICACIÓN  La superficie de una manguera es de dos dimensiones, tal y como apreciamos en la figura  pero si la vemos de muy lejos parece una línea (de una dimensión).

Cuasicristales  Hay una nueva clase de materiales que se llaman cuasicristales.  tienen que ver con la llamada “razón áurea” que es (1+√5)/2 y fue muy usada por leonardo Da Vinci

Cuasicristales  Para entender los cuasicristales considere unos conejos que (como todos los conejos) pasan la mayor parte del tiempo produciendo otros conejos.  pero las reglas de reproducción de estos conejos son las siguientes.

Cuasicristales.  Al final de cada mes todo conejo joven se vuelve viejo  Cada conejo viejo da lugar a un conejo joven  Los conejos de este mundo son inmortales  Esquemáticamente:

Cuasicristales

Cuasicristales.  Al principio había un conejo viejo  Luego éste da origen a uno joven, ahora hay dos conejos  Luego el viejo da origen a otro conejo joven en tanto que el joven envejece y hay tres.  Luego hay cinco etc.  Esto se llama secuencia de Fibonnacci

Cuasicristales.  Si ponemos átomos en una linea, separados por distancias “corta” y “larga” como en la serie de conejos, obtendremos un cuasicristal en una dimensión.  Lo interesante es que los cuasicristales pueden pensarse como proyecciones de cristales

Cuasicristales pero que viven en espacios de mas dimensiones. Esquemáticamente lo que ocurre es como en la siguiente figura

Cuasicristales

 Para formar cuasicristales en dos dimensiones tengo que proyectar desde un espacio de cuatro dimensiones y la estructura resultante se parece a la que sigue (llamada mosaico de Penrose)

Cuasicristales  Un cuasicristal en tres dimensiones se obtiene proyectando desde seis dimensiones.  por ello, según los cristalógrafos, el mundo tiene seis dimensiones.  vivimos en un subespacio tridimensional pero podemos ver “sombras” del mundo real.

EL MITO DE LA CAVERNA (LA REPÚBLICA DE PLATÓN)  Imagina un antro subterráneo que tiene todo a lo largo una abertura que deja libre a la luz el paso, y, en ese antro, unos hombres encadenados desde su infancia, de suerte que no pueden cambiar de lugar ni volver la cabeza, por causa de las cadenas que les sujetan las piernas y el cuello, pudiendo t

EL MITO DE LA CAVERNA (LA REPÚBLICA DE PLATÓN)  solamente ver los objetos que tengan adelante. A su espalda, a cierta distancia, y a cierta altura, hay un fuego cuyo fulgor les alumbra, y entre ese fuego y los cautivos se halla un camino escarpado. A lo largo de ese camino imagina un muro semejante a esas vallas que los charlatanes ponen entre ellos y los espectadores, para ocultar a éstos el juego y los secretos trucos de las

EL MITO DE LA CAVERNA (LA REPÚBLICA DE PLATÓN)  maravillas que les muestran.  La situación es como en la figura que sigue:

EL MITO DE LA CAVERNA (LA REPÚBLICA DE PLATÓN)

Cuasicristales  Los cuasicristales son, como en el mito, proyecciones o sombras en nuestro mundo (de tres dimensiones) de lo que ocurre en el mundo real de las ideas (de seis dimensiones)  En álgebra lineal sabemos cómo hacer proyecciones

PROYECCIONES  Sea V un espacio vectorial y W un subespacio de V con una base ortonormal s={e 1 e 2… e r }.  La proyección p w (v) de un vector v de V sobre el subespacio W de define como:  p w (v)=Σ j v j

San Alberto, y la cuarta dimensión

San Alberto  En la teoría de la relatividad se usa el espacio R 4  Un elemento de R 4 p=(x,y,z,t) representa un “evento” que ocurre en el punto (x,y,z) al tiempo t.  En este espacio se define una función que asocia con cualesquiera dos elementos p y q de R 4 un número

San Alberto definido mediante =xx’+yy’+zz’-tt’ si p=(x,y,z,t) y q=(x’,y’,z’,t’) Esta función tiene las siguientes propiedades que son válidas para cualesquiera vectores p=(x,y,z,t) q=(x’,y’,z’,t’) y r=(x’’,y’’,z’’,t’’) de R 4 y cualquier número real α

San Alberto  =  = +  = α  Tiene tres de las cuatro propiedades de un producto interior pero no cumple la cuarta propiedad, que es:  ≥0, =0 sí y sólo sí p=0

San Alberto  pero tiene la propiedad de que si  =0 para cualquier q, entonces p=0 (se dice que el producto no es degenerado).  el espacio R 4 con el producto se llama “Espacio de Minkowsky”

Norma de Minkowsky  La llamada norma de Minkowsky se define mediante:  S 2 = =x 2 +y 2 +z 2 -t 2  Pero nótese que no es una norma en el sentido que enseñamos en clase pues puede ocurrir que <0  es mejor decir que s representa la distancia en espacio-tiempo.

La cuarta dimensión El espacio de Minkowsky es, claramente, un espacio tetradimensional. En este caso la cuarta dimensión es el tiempo, no es una dimensión espacial como en los casos anteriores.

¿con qué tiene que ver el álgebra lineal?  Con religión y la Biblia  Con la filosofía y Platón  Con Da Vinci, Dalí y el arte  Con la cristalografía  Con las cuerdas  Con el espacio-tiempo de la Relatividad  Y con la posibilidad de ir de paseo por la cuarta dimensión.

El mundo del espejo  ¿podríamos viajar al mundo “al otro lado” del espejo?  Lewis Carroll en su obra Alicia a través del espejo especula con la idea

El mundo del espejo

¿no es peligroso?  ¿Te gustaría vivir en un espejo, gatito? Me pregunto si te darían leche allí. A lo mejor la leche que hay en el espejo no se puede beber.  Alicia (Lewis Carroll: Alicia a través del espejo)

¿son iguales el mundo y el mundo del espejo?  Considere usted un objeto O y su imagen especular O'. Si O y O' son idénticos, se dice que el objeto O es aquiral; en caso contrario que O es quiral (o tiene quiralidad).

Quiralidad  Viene de griego cheiros= mano.  De ahí palabras como quiromancia, quiropráctico, quirófano, cirujano, quiróptero.

Otra definición de quiralidad  Quiralidad: Es la capacidad de ciertos objetos de existir en versiones "derecha" o "izquierda" o en versiones "dextrógira " (como tornillo de rosca derecha) o "levógira" (como tornillo de rosca izquierda).

Enantiomorfos  Dos objetos, el uno la imagen especular del otro, se dice que son enantiomorfos (griego enantios=opuesto y morfé= forma).  Por ejemplo, un guante derecho y un guante izquierdo son enantiomorfos.

Objetos quirales

Definición de Kelvin  “Digo que una figura, o un grupo de puntos, es quiral, y digo que tiene quiralidad, si su imagen en un espejo plano, realizada idealmente, no puede hacerse coincidir con ella misma."

La quiralidad de las moléculas

La quiralidad de las moléculas II

La quiralidad de las moléculas III

Quiralidad y reacciones químicas

Talidomida  La talidomide aparece como una mezcla de dos enantiómeros (llamados S y R).  El enantiómero R is responsible de la actividad anti-inflamatoria de la droga, mientras que el enantiómero S es el responsable de su actividad teratogénica (que produce malformaciones).