Optimización para Ingenieros La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería División de Estudios para Graduados Programa: Computación Aplicada Asignatura: Optimización para Ingenieros Prof. Luis Zerpa, M.Sc. Email: lzerpa@ica.luz.ve Curso de modalidad presencial Período: 1ro 2007 Lugar: Instituto de Cálculo Aplicado Horario: Jueves de 6:00 pm a 9:00 pm Página web: http://www.ica.luz.ve/~lzerpa/OptimizacionParaIngenieros.html

Contenido Programático Introducción Repaso de algebra matricial usando Matlab Programación Lineal Método Simplex Programación No Lineal Optimización sin restricciones Optimización con restricciones Optimización global

JUSTIFICACIÓN En el análisis y diseño óptimo de sistemas complejos en ingeniería las tareas de optimización juegan un rol esencial Se presentan en la solución de problemas de diseño óptimo per se, y muy especialmente en la solución de problemas inversos Estos complejos problemas de optimización pueden ser con función objetivo simple o múltiple, con variables continuas o discretas, sujetos a restricciones de diseño o no, etc es por ello que es necesario conocer y aplicar un amplio espectro de métodos de optimización a saber: optimización local y global, con o sin derivadas, optimización con restricciones

Objetivos del Curso Proveer los conceptos básicos de la Optimización Matemática Proveer de una introducción a los conceptos de optimización local y global, con o sin derivadas, optimización con restricciones, con objetivos múltiples, etc. Aplicar los métodos de optimización ya citados mediante su programación en lenguajes computacionales idóneos

EVALUACIÓN Dos exámenes – 30 % Siete Tareas – 70 % Para el desarrollo de las Tareas se sugiere utilizar la herramienta computacional MATLAB de MathWorks (http://www.mathworks.com/) Las Tareas son de carácter estrictamente individual En caso de que se detecte copia parcial o total de una tarea, la nota final de la materia será uno (01)

BIBLIOGRAFÍA Luenberger, Introduction to Linear and Nonlinear Programming. Addison Wesley, 1984. Bazaraa, Shetty and Sherali, Nonlinear Programming: Theory y Applications. Wiley, 1994. Bertsekas, Dimitri P., Nonlinear Programming, second edition. Athena Scientific, 1999. Fletcher, R., Practical Methods of Optimization. Wiley, 1987. Himmelblau, Applied Nonlinear Programming. McGraw-Hill, 1972. Nash, S. and Sofer, A., Linear and Nonlinear Programming. McGraw-Hill, 1996. Jones, D., Perttunen, C. and Stuckman, B. Journal Optimization Theory and Application. Vol. 79. No. 1. 157-181. 1993. Lipschitzian Optimization without the Lipschitz Constant.

Optimización La mayoría de los problemas en el mundo real tienen varias soluciones y algunos tienen infinitas soluciones El propósito de la optimización es encontrar o identificar la mejor solución posible, entre todas las soluciones potenciales para un problema dado A través de la selección de valores para un número de variables interrelacionadas (Variables de diseño o de decisión) Poniendo atención a un sólo objetivo diseñado para cuantificar el desempeño y medir la calidad de la decisión (Función objetivo) Este objetivo es maximizado o minimizado (dependiendo de la formulación) sujeto a restricciones que pueden limitar la selección de valores de las variables de diseño

Optimización Asumiendo que un problema de optimización está definido de alguna manera, una clasificación general de los métodos de optimización es la siguiente: Métodos Analíticos: Uso del cálculo diferencial (insuficiente para problemas no lineales) Métodos Numéricos: Algoritmos (Procedimientos iterativos) Otros: Métodos gráficos, métodos experimentales, estudio de casos Objetivo del curso

Optimización Casi siempre nuestro interés en la optimización se centra en la solución de problemas reales, los cuáles deben ser representados matemáticamente La optimización de la representación matemática de procesos reales presenta 2 tipos de dificultades: Formulación del modelo matemático (representatividad) (Función a ser optimizada ó función objetivo) Técnica de Solución: Existencia de varios extremos locales y globales Se suponen que los coeficientes y variables del modelo (función objetivo) no son variables aleatorias Errores de redondeo de la aritmética punto flotante

Modelado y tipos de modelos ¿QUÉ ES EL MODELADO? Los procesos y sistemas en ingeniería son generalmente complicados y deben ser simplificados mediante idealizaciones y aproximaciones para poder resolver el problema planteado El proceso de simplificación del problema, para que pueda ser representado en términos de un sistema de ecuaciones (para el análisis, diseño y optimización) o a través de un arreglo físico (para experimentación), es lo que se conoce como modelado

Modelado y tipos de modelos ¿QUÉ ES UN MODELO? Un modelo es un arreglo físico o un conjunto de ecuaciones que sirven para representar algún sistema o proceso Clasificación general de los modelos: Modelos descriptivos Modelos predictivos

Modelado y tipos de modelos MODELOS DESCRIPTIVOS Son los que se usan para explicar los mecanismos y principios que interactúan en un sistema. Por ejemplo, una turbina seccionada, un intercambiador de calor, una bomba de agua, un motor de combustión interna, entre muchos otros MODELOS PREDICTIVOS: Son los que se emplean en el diseño y optimización de sistemas en ingeniería. Son capaces de predecir el comportamiento de un sistema dado. Se pueden clasificar en cuatro tipos: Modelos análogos Modelos Matemático Modelos físico Modelos numéricos

Modelado y tipos de modelos Modelos Análogos Los modelos análogos son basados en las analogías o similitudes entre los diferentes fenómenos físicos existentes; estos permiten el uso de la solución y resultados de un problema familiar, para obtener los correspondientes resultados de algunos problemas no resueltos Un ejemplo de modelos análogos es el análisis de la transferencia de calor a través de una pared de varios espesores y diferentes materiales estudiada mediante la Ley de Ohm’s

Modelado y tipos de modelos Modelos Matemáticos Un modelo matemático es uno que representa el desempeño y comportamiento de un sistema dado en términos de ecuaciones matemáticas, ofreciendo resultados cuantitativos Los modelos matemáticos pueden estar basados en el entendimiento físico de un sistema ó por construcción de modelos a partir de datos (e.g., ajuste de curvas a datos experimentales). Las ecuaciones que gobiernan el sistema pueden ser algebraicas, ecuaciones diferenciales ordinarias y/o parciales, ecuaciones integrales ó combinación de varias de ellas

Modelado y tipos de modelos Modelos Físicos Un modelo físico es uno que representa un sistema, y generalmente es usado para obtener resultados experimentales sobre el comportamiento de un sistema Un ejemplo de ellos son los modelos a escala de vehículos los cuales son colocados dentro de túneles de viento para estudiar las fuerzas de arrastre y sustentación generadas sobre la carrocería

Modelado y tipos de modelos Modelos Numéricos Los modelos numéricos son basados en los modelo matemáticos y permiten obtener el comportamiento del sistema para diferentes condiciones de operación y diferentes parámetros de diseño Un aspecto importante es que muy pocos problemas pueden ser resueltos por procedimientos analíticos, siendo necesario el empleo de métodos numéricos para resolver las ecuaciones que gobiernan los sistemas reales Los modelos numéricos están referidos a la reestructuración y discretización de las ecuaciones que gobiernan el sistema, para luego ser resueltas empleando el computador

Problemas matemáticos de optimización Consisten en la maximización o minimización de funciones algebraicas de una o más variables La selección de las variables pueden estar restringidas por ecuaciones o inecuaciones algebraicas llamadas restricciones, de forma tal que el objetivo no es encontrar el mejor valor posible sino el mejor valor permitido por las restricciones

Formulación general de un problema de optimización Encontrar x tal que se maximice o minimice una función objetivo f(x) sujeto a restricciones: gi(x) = bi (i=1,…, m) gj(x)  bj (j=m,…, k) Donde x es un vector de n variables independientes

Programación matemática La rama de la matemática aplicada que resuelve este tipo de problemas se denomina “Programación Matemática” (Mathematical Programming) f(x) es referida como función objetivo, una solución posible al problema antes formulado se denomina solución óptima u óptimo La optimización computacional es una herramienta fundamental en los procesos de toma de decisiones

Programación matemática

Ejemplos de optimización en ingeniería Diseño de un avión para un mínimo peso y máxima resistencia Trayectorias óptimas de vehículos espaciales Diseño de estructuras con mínimo costo Diseño de proyectos de abastecimiento de agua, como en presas, para mitigar el daño por inundación mientras se obtiene máxima generación de potencia Diseño de bombas y equipos de transferencia de calor para máxima eficiencia Análisis estadístico y modelado con un mínimo error (e.g., redes neuronales) Redes de tuberías óptimas Solución de problemas inversos