Cónicas y Curvas Técnicas Dibujo geométrico Cónicas y Curvas Técnicas

1.- Construcción de una elipse dados los dos ejes. AB=80 y CD=45

Como los ejes de la elipse son perpendiculares entre ellos y se cortan en el punto medio. Trazamos la mediatriz del eje mayos A-B.

Con centro en la intersección de los ejes trazamos un circulo de diámetro 45 mm que nos determina los extremos del eje menor CD.

Con centro en C o en D trazamos un arco de radio a=40 mm que determinan los focos F y F’.

Tomamos un punto cualquiera 1 del eje mayor , tomamos la distancia 1-B y con este radio trazamos un arco de centro en F, tomamos la distancia 1-A y con centro en F’ trazamos otro arco de radio 1-A que corta al anterior en dos puntos que son dos puntos de la elipse, pues su distancia a los focos resulta (1-A ) + (1-B) = 2a que es la propiedad fundamental de la elipse.

Si se repite el procedimiento en sentido inverso obtenemos otros dos puntos con lo que tenemos cuatro puntos mas los extremos de los ejes.

Si se repite el procedimiento pero para otro punto 2, y obtenemos otros cuatro puntos.

Tomamos otro punto cualquiera 3 y repetimos el procedimiento y obtenemos otros cuatro puntos.

Unimos los puntos y tenemos la elipse.

2.- Construcción de una hipérbola conocidos el eje mayor o real AB=30 y la distancia focal FF'=50

Trazamos una circunferencia de radio c=25 mm que es la distancia focal y obtenemos los focos F y F’.

Tomamos un punto cualquiera 1 del eje mayor , tomamos la distancia 1-B y con este radio trazamos un arco de centro en F y otro en F’, tomamos la distancia 1-A y con centro en F’ y en F trazamos otro arco de radio 1-A que se cortan con los anteriores en cuatro puntos que son puntos de la elipse, pues su distancia a los focos resulta (1-A ) - (1-B) = 2a que es la propiedad fundamental de la hipérbola .

Si se repite el procedimiento pero para otro punto 2, y obtenemos otros cuatro puntos.

Tomamos otro punto cualquiera 3 y repetimos el procedimiento y obtenemos otros cuatro puntos.

Unimos los puntos y tenemos la hipérbola.

3.- Construcción de una parábola dados el foco y la directriz.

Por el foco F trazamos la perpendicular a la directriz que resulta ser el eje de la parábola.

Hallamos el vértice V de la parábola que se encuentra a la misma distancia del foco y de la directriz d (punto medio).

Trazamos una paralela a la directriz a una distancia cualquiera y con centro en el foco trazamos un arco de circunferencia con radio igual a esa distancia, que corta a la paralela en dos puntos que son puntos de la parábola por equidistar del foco y de la directriz.

Trazamos otra paralela a la directriz a una distancia cualquiera y se repite el mismo procedimiento anterior y obtenemos otros dos puntos.

Trazamos otra paralela a la directriz a una distancia cualquiera y se repite el mismo procedimiento anterior y obtenemos otros dos puntos.

Trazamos otra paralela a la directriz a una distancia cualquiera y se repite el mismo procedimiento anterior y obtenemos otros dos puntos. (que puede pasar por el foco)

Unimos los puntos y tenemos la hipérbola.

4.- Construcción de un óvalo dados los dos ejes AB = 60 y BD= 40 mm.

Unimos A con C y con centro en O trazamos un arco de circunferencia de radio OA que corta al eje menor en el punto 1.

Con centro en el extremo C y radio C1 trazamos un arco de circunferencia que corta a la recta AC en el punto 2.

Se traza la mediatriz de A-2 que corta al eje mayor en el punto 3 y al menor en el 4 que son centros de los arcos de circunferencias.

Hallamos los simétricos de 3 y de 4 obteniendo el punto 6 y 5 Hallamos los simétricos de 3 y de 4 obteniendo el punto 6 y 5 . Los puntos 3-4-5 y 6 son los cuatro centros de los cuatro arcos de circunferencia del ovalo.

Unimos los centros 3-4-5 y 6 tal como vemos que nos determinan los arcos y los puntos de tangencia.

Con centro en 3 y radio 3-A trazamos el arco de circunferencia como vemos y con centro en 6 y radio 6-B trazamos otro arco simétrico al anterior.

Con centro en 4 y radio 4-C trazamos el arco de circunferencia como vemos y con centro en 5 y radio 5-D trazamos otro arco simétrico al anterior. Si trabajamos con exactitud vemos que son tangentes con los dos anteriores.

5.- Construcción de un óvalo dado el eje mayor AB = 60 mm.

Se divide el eje mayor en 3 partes iguales.

Con centro en O y en O1 trazamos 2 circunferencias que pasen por A y por respectivamente.

Los puntos O, O1, O2 y O3 son los 4 centros del ovalo.

Unimos los centros O, O1, O2 y O3 como vemos y nos determinan los puntos T1 , T2, T3 y T4 que son los puntos de tangencia.

Trazamos los arcos de circunferencia de centros O2 y radio O2 -T3 = O2 –T4 , y O3 y radio O3 –T1= O3–T2, los otros son las circunferencias trazadas en un principio.

6.- Construcción de un ovoide dado el menor AB = 50 mm.

Se traza la mediatriz del eje menor CD.

Con centro en O trazamos la circunferencia de diámetro CD.

Los puntos O, O1, O2 y O3 son los centros del ovoide.

Unimos los centros O1 con O2 y con O3 , trazando las tangentes a los arcos de circunferencia.

Con centro en el punto O2= C, y radio O2-O3 = O2-D trazamos un arco y con centro en O3= D y radio O3-O2 = O3-C trazamos otro arco.

Con centro en O1 y radio O1 -T1 = O1 –T2 trazamos la circunferencia que resulta tangente a las anteriores.

Borramos y tenemos el resultado final.

7.- Construcción de un ovoide conocidos los dos ejes AB=70 mm y el eje menor CD= 50 mm.

Trazamos la mediatriz del eje CD.

Con centro en O y diámetro CD trazamos una semicircunferencia que nos determina el punto A extremo superior del eje mayor.

A partir del extremo A llevamos AB= 70 mm, resultando el eje mayor.

Tomamos una distancia DF = BO1

Trazamos la mediatriz del segmento FO1.

La intersección de la mediatriz con el eje menor, punto O2 es el centro del arco del ovoide.

Determinamos el otro centro O3 simétrico del O2 con el eje mayor unimos O2 y O3 con O1 que nos limitan el sector de los arcos.

Con centro en O1 trazamos un arco de circunferencia que pase por el punto B.

Con centro en O2 trazamos un arco de circunferencia desde D a T2, y con centro en O3 trazamos un arco de circunferencia desde C a T1 . Y completamos el ovoide.

8.- Construcción de una voluta de tres centros de paso 24 mm.

Se construye un triángulo equilátero de 8 mm de lado, es decir el paso dividido entre tres, 24/3=8 .

Prolongamos los lados del triángulo tal como vemos formando tres ángulos iguales de 120º.

Hacemos centro en 1 y con radio el lado del triangulo trazamos un arco de circunferencia.

Con centro en 2 y radio 2-4 trazamos otro arco.

Con centro en 3 trazamos un arco de radio 3-5.

Con centro en 1 trazamos un arco de radio 1-6.

Con centro en 2 trazamos un arco de radio 2-7.

Con centro en 3 trazamos un arco de radio 3-8 Con centro en 3 trazamos un arco de radio 3-8. Y podríamos continuar de forma tal que como vemos a partir del tercer arco la separación entre estos es la misma e igual al paso 24 mm.

9.- Construcción de una voluta de cuatro centros de paso 32 mm.

Se construye un cuadrado de 8 mm de lado, es decir el paso dividido entre cuatro, 32/4=8 .

Prolongamos los lados del cuadrado tal como vemos formando cuatro ángulos iguales de 90º.

Con centro en 1 y radio 1- 4 trazamos un arco.

Con centro en 2 y radio 2-5 trazamos otro arco.

Con centro en 3 y radio 3-6 trazamos otro arco.

Con centro en 4 y radio 4-7 trazamos otro arco Con centro en 4 y radio 4-7 trazamos otro arco. Que termina la primera vuelta y el radio es igual al paso 32 mm.

Con centro en 1y radio 1-8 trazamos otro arco.

Continuamos trazando arcos repitiendo los centros y el mismo proceso.

12.- Trazar la espiral de Arquímedes de paso = 45 mm.

Trazamos una circunferencia de radio igual al paso 45 mm y dos diámetros perpendiculares

Se tiene que dividir el radio y la circunferencia en el mismo número de partes, en nuestro caso la dividimos en 16, por ser la división de la circunferencia fácil de dividir (también es factible dividir en 12)

Se divide la circunferencia en 16 partes.

Con centro en O trazamos una circunferencia que pase por 1, es decir de radio O-1.

La circunferencia que pasa por 1 nos determina en la intersección con el radio 1 el punto 1 de la espiral seguimos trazando la circunferencia que pasa por 2.

Se continua trazando circunferencias como vemos por el punto 3 y vamos obteniendo mas puntos de la espiral

Continuamos trazando circunferencias que pasen por 4, 5, 6, 7 y 8 que nos determinan otros tantos puntos.

Continuamos trazando circunferencias que pasen por 9, 10, 11, y 12 que nos determinan otros tantos puntos.

Continuamos trazando circunferencias que pasen por 13, 14 y 15 que nos determinan otros tantos puntos el 16 ya lo tenemos trazado.

Unimos los puntos y obtenemos la espiral de Arquímedes.