El efecto Hall cuántico entero (von Klitzing, Dorda y Pepper (1980)) Gas de electrones bidimensional Baja concentración de impurezas Campo magnético perpendicular fuerte

Resistividad Hall

El efecto Hall cuántico (entero) Resistencia Hall

Inciso 1: magnetismo del gas de electrones libres Paramagnetismo de Pauli Diamagnetismo de Landau

Caso H = 0 kF Esfera de Fermi N(e) eF e Density of states 2D

Caso Hamiltoniano vector potential spinless electrons Elección de gauge: gauge de Landau gauge simétrico Con cualquiera de los dos:

Gauge de Landau. Niveles Landau Elección de gauge adecuada a la geometría: (experimento real)

Gauge de Landau. Niveles Landau Quantum harmonic oscillator longitud

Inciso 2: el oscilador armónico cuántico Quantum harmonic oscillator posición de equilibrio

Niveles Landau longitud Quantum harmonic oscillator Landau levels

Niveles Landau N(e) Density of states 2D (por spin) eF e N(e) e perpendicular e Landau levels

Niveles Landau Si el número total de estados no cambia La degeneración de cada estado Landau debe ser muy grande N(e) Density of states 2D eF N(e) e perpendicular e Degeneración de cada estado Landau:

Niveles Landau En efecto, la degeneración: número de valores permitidos de k Condiciones de contorno de Born-von Karman: El sistema está confinado en la dirección y: O.K.

Degeneración de los niveles Landau filling factor Interpretación cuasi-clásica Interpretación cuántica flujo magnético total cuanto de flujo magnético

!! Cuantización de la resistencia Hall ¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado? !!

!! Cuantización de la resistencia Hall ¿Qué ocurre si el primer nivel Landau está totalmente ocupado? !! En general si el factor de llenado es un número entero (un número entero de niveles Landau ocupados) ¿Esto explica los resultados experimentales ?

La condición para n = 1,2,3,.. ¿Explica la curva experimental? ¿Explica los plateaus en rxy? ¿Explica el comportamiento de rxx? rxy H

Quantum versus classical rxy H

Efecto de las impurezas N(e) e eF

Efecto de las impurezas Resolviendo la ecuación de Schrödinger con una distribución “random” de impurezas: transport current no current

e eF e eF e eF

Cuantización de la resistencia Hall How to control experimentally the filling factor n ? Variando el campo magnético externo H Variando la densidad electrónica mediante la aplicación de un potencial de compuerta (gate voltage) al gas bidimensional

Variación de n mediante un potencial de gate SiO2 5000 A Silicon MOSFET (Metal Oxide Semiconductor Field Effect Transistor) conduction band p-Si energy gap eF eF oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo valence band Al situación de equilibrio

Variación de n mediante un potencial de gate p-Si SiO2 valence band conduction band eVG energy gap 2D electron gas (inversion layer) gate eF

Metrology Resistance standard since 1990 precision Fine structure constant uncertainty Unit of resistance

El efecto Hall cuántico fraccionario D. C. Tsui, H. L. Störmer & A. C. Gossard (1982) (experimento) R. Laughlin (1983) (teoría) Resistencia Hall

El efecto Hall cuántico fraccionario R. Laughlin (1983) Resistencia Hall Excitaciones de carga fraccionaria (quasiparticles)

El efecto Hall cuántico fraccionario Detección experimental de la carga Shot noise measurements (W. Schottky 1918) carriers charge En un experimento Hall con n =1/3

Sistemas cuasi-unidimensionales Quantum point contacts (QPC) Atomic contacts V

Cuantización de la conductancia Quantum point contacts (QPC)

Contactos atómicos: cuantización de la conductancia Au MCB, 4 K Pt MCB, 4 K Histograma de Au STM, 300 K

Sistemas cero-dimensionales ? Puntos cuánticos Efectos muy fuertes de interacción electrón-electrón Coulomb blockade effects