Matemáticas 4º ESO Opción B COMBINATORIA Tema 15 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Diagrama del árbol Tema 15.1 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B Combinatoria La Combinatoria es la parte del Algebra que estudia los distintos grupos que se pueden formar con cierto número de objetos. La Combinatoria prescinde de la naturaleza de los objetos, pero no del orden en que están colocados, considerando todos los objetos como diferentes. Al número de elementos de que disponemos se le llama base, mientras que el número de elementos que de ellos tomamos para formar grupos se llama orden de la agrupación (binarias, ternarias, cuaternarias, etc). Según la forma de agrupar los distintos elementos de un conjunto tendremos: VARIACIONES CON Y SIN REPETICIÓN PERMUTACIONES CON Y SIN REPETICIÓN COMBINACIONES CON Y SIN REPETICIÓN @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Las claves de la Combinatoria Lo más difícil de la Combinatoria es distinguir entre variaciones, permutaciones y combinaciones, y después discernir si son no con repetición. En las dos primeras (variaciones y permutaciones) la clave estará en el orden de colocación de los elementos. En la tercera (combinaciones) la clave estará en la ausencia de órden, importando el conjunto de dichos elementos. En la primera forma de agruparlos (variaciones) se toman parte de los elementos de un conjunto, mientras que en la segunda forma (permutaciones) se toman todos los elementos del conjunto. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B DIAGRAMA DEL ÁRBOL Se lanzan tres monedas al aire. ¿Cuántos resultados posibles puede haber?.¿Qué son?. 1ª Moneda 2ª Moneda 3ª Moneda El nº total de resultados es: N=2.2.2 = 23 = 8 Como se puede repetir C y X habrá repetición. Como importa el orden, pues no es lo mismo XCC que CXC, no serán combinaciones. Serán variaciones con repetición. C CCC C X CCX C CXC C X X CXX C XCC C X XCX X C XXC X X XXX @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B DIAGRAMA DEL ÁRBOL Un cartero lleva tres cartas a unas viviendas con siete buzones. Como tiene prisa, las distribuye al azar. ¿Cuántos resultados posibles puede haber?.¿Qué son?. . B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 . C2 C3 . C1 C3 C2 . C1 C3 . C2 C3 C1 . C1 C2 . C3 C2 C1 Vemos que los buzones 4 al 7 se quedan sin cartas, y además vemos que ningún buzón tiene 2 o 3 cartas. Este esquema no vale para resolver el ejercicio. Probamos con otro esquema. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B . C1 C2 C3 . B1 . B1 B2 . B3 . B2 B4 B1 . B5 B2 . B3 B6 B3 En total habría 342 flechas, pues . B7 B4 en la primera columna habría 7 . B4 B5 elementos, en la segunda 49 (no . B6 solo los 7 señalados) y en la . B5 B7 tercera habría 343 (no solo los 7 . que se muestran). . B6 . . B7 Vemos ahora que el diagrama del árbol sí que funciona. Cualquier carta puede ser arrojada en cualquier buzón y cualquier buzón puede alojar hasta la totalidad de las tres cartas. El total de resultados es: N=7.7.7= 73 = 343 Variaciones con repetición @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B DIAGRAMA DEL ÁRBOL Para aprobar un examen de matemáticas, un alumno debe hacer bien 3 de los 8 ejercicios propuestos por el profesor. Pero sin haber dado con la solución correcta de uno de ellos no se puede pasar al siguiente. ¿Cuántas maneras distintas de corregir in situ se le pueden presentar al profesor?.¿Qué son?. El alumno, cada alumno, elegirá en primer lugar la pregunta más fácil de las 8. Luego la más fácil de las 7 que le quedan. Y por último la más fácil de las 6 que le quedan. El nº total de casos posibles es: N= 8.7.6=336 Importa el orden y no se pueden repetir: Variaciones sin repetición. . T1 T2 T3 . P1 . P1 P3 . P4 . P2 P5 P1 . P6 P3 . P3 P7 P4 . P8 P5 . P4 P6 . P7 . P5 . . P6 . P7 . P8 En el esquema sólo son visibles 6 de los 336 casos @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Variaciones sin repetición Tema 15.1 * 4º ESO Opc B @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

VARIACIONES SIN REPETICIÓN De m elementos tomados de n en n , son los diferentes grupos que con ellos se pueden formar, de modo que en cada grupo entren n elementos distintos y que un grupo se diferencie de los demás en alguno de los elementos o en el orden de colocación de los mismos. TIPO FORMULA EJEMPLOS VARIACIONES SIN REPETICIÓN m! V = --------- m,n (m-n)! Orden de prioridades al hacer lista compra Palabras de n letras con m letras distintas. Las 5 profesiones que más me interesan @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B VARIACIONES SIN REPETICIÓN EJEMPLO 1 Con las letras de la palabra AMOR, ¿cuántas palabras de tres letras distintas se pueden formar? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todas las letras y deben ser letras distintas… Luego son variaciones ordinarias V4,3 = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 4.3.2.1/1 = 24 EJEMPLO 2 De las cinco carreras universitarias que me interesan, ¿de cuantas formas diferentes puedo ordenar tres de ellas para echar la solicitud de matrícula? Importa el orden de colocación, no se cogen las cinco carreras y sería absurdo repetir alguna de ellas… V5,2 = 5!/(5-3)! = 5!/2! = 5.4.3.2.1 / 2.1 = 120 / 2 = 60 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B

Matemáticas 4º ESO Opción B EJEMPLO 3 Con los dígitos 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números de dos cifras diferentes puedo formar?. ¿En cuántos de ellos aparece el 8?. ¿Y el 2? ¿Cuánto vale la suma de todos los números así formados? Resolución: Importa el orden de colocación, no se cogen todos los dígitos y deben ser diferentes… Luego son variaciones ordinarias V4,3 = 4!/(4-3)! = 4!/1! = 4.3.2.1/1 = 24 Los dígitos se reparten por igual en los 24 números así formados. Por tanto 24 / 4 = 6 El 8 aparece en 6 de los 24 números, el 2 también en 6 de los 24 números. La suma de todos los 24 números será: S = 100. columna centenas + 10. columna decenas + columna unidades S = 100.(2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) + 10.((2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) + (2.6 + 4.6 + 6.6 + 8.6) S = 100. 6 . 20 + 10 .6 .20 + 6 . 20 = 12.000 + 1.200 + 120 = 13.320 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO Opción B