LINEAS DE ESPERA (TEORIA DE COLAS) UNIDAD 2 EMMANUEL VAQUERO FLORES INVESTIGACION DE OPERACIONES

DEFINICION Una Cola es una línea de espera y la teoría de colas es una colección de modelos matemáticos que describen sistemas de líneas de espera particulares o sistemas de colas. Los modelos sirven para encontrar el comportamiento de estado estable, como la longitud promedio de la línea y el tiempo de espera promedio para un sistema dado. Esta información, junto con los costos pertinentes, se usa, entonces, para determinar la capacidad de servicio apropiada.

SUPOSICIONES El modelo simple de teoría de colas que se ha definido en la literatura, se basa en las siguientes suposiciones:  a).  Un solo prestador del servicio y una sola fase. b).  Distribución de llegadas de poisson donde l = tasa de promedio de llegadas. c).  Tiempo de servicio exponencial en donde m = tasa de promedio del servicio. d).  Disciplina de colas de servicio primero a quien llega primero; todas las llegadas esperan en línea hasta que se les da servicio  y existe la posibilidad de una longitud infinita en la cola. A partir de estas suposiciones se pueden derivar las siguientes estadísticas de desempeño:  r = l / m P0 = 1- l / m Pn = P0(l / m)n Lq  =              l 2                          m ( m - l ) Ls = l  / ( m - l )             Wq =        l                     m ( m - l )      Ws =  1 / ( m - l ) 

CARACTERISTICAS Los modelos de línea de espera consisten en fórmulas y relaciones matemáticas que pueden usarse para determinar las características operativas (medidas de desempeño) para una cola. Las características operativas de interés incluyen las siguientes: Probabilidad de que no haya unidades o clientes en el sistema Cantidad promedio de unidades en la línea de espera Cantidad promedio de unidades en el sistema (la cantidad de unidades en la línea de espera más la cantidad de unidades que se están atendiendo) Tiempo promedio que pasa una unidad en la línea de espera Tiempo promedio que pasa una unidad en el sistema (el tiempo de espera más el tiempo de servicio) Probabilidad que tiene una unidad que llega de esperar por el servicio.

TERMINOLOGÍA Y NOTACIÓN

Si λn = cte. -> λn= λ Si μn = cte. -> μn= μ 1/λ = tiempo de llegada 1/μ = tiempo de servicio ρ = λ/sμ = fracción de tiempo que los servidores individuales están ocupados. sμ= capacidad de servicio del sistema.

NOTACION EN CONDICION ESTABLE

Proceso de Nacimiento y Muerte En el contexto de teoria de colas, se refiere al modelo probabilístico que describe las llegadas (nacimientos) y salidas (muertes) de clientes, en un sistema de colas. El estado del sistema en el tiempo t, que se denota N(t), es el número de clientes que hay en el sistema de colas en el tiempo t

Proceso de Nacimiento y Muerte SUPOSICIÓN 1. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para el próximo nacimiento (llegada) es exponencial con parámetro (n=0,1,2,….). SUPOSICIÓN 2. Dado N (t) = n, la distribución de probabilidad actual del tiempo que falta para la próxima muerte (terminación de servicio) es exponencial con parámetro (n=1,2,….). SUPOSICIÓN 3. La variable aleatoria de la suposición 1 (el tiempo que falta hasta el próximo nacimiento) y la variable aleatoria de la suposición 2 (el tiempo que falta hasta la siguiente muerte) son mutuamente independientes.

Diagrama de tasas para el proceso de nacimiento y muerte ln-2 ln ln-1 . . . . . . 1 2 3 n-2 n-1 n n+1 m1 m2 m3 mn-1 mn mn+1

DISTRIBUCION DE POISSON Esta distribución es muy frecuente en los problemas relacionados con la investigación operativa, sobre todo en el área de la gestión de colas. Suele describir, por ejemplo, la llegada de pacientes a un ambulatorio, las llamadas a una central telefónica, la llegada de coches a un túnel de lavado, etc. Todos estos casos pueden ser descritos por una variable aleatoria discreta que tiene valores no-negativos enteros. Es una distribución discreta empleada con mucha frecuencia para describir el patrón de las llegadas a un sistema de colas Para tasas medias de llegadas pequeñas es asimétrica y se hace más simétrica y se aproxima a la binomial para tasas de llegadas altas.

DISTRIBUCION DE POISSON Su forma algebraica es: Donde: P(k) : probabilidad de k llegadas por unidad de tiempo  : tasa media de llegadas e = 2,7182818…

LAS LLEGADAS - DISTRIBUCIÓN DE POISSON Llegadas por unidad de tiempo

UN SERVIDOR Y MULTIPLES SERVIDORES Según el tipo de sistema de colas, tenemos varios tipos de éstas, las cuales son: a) Una línea, un servidor: El primer sistema que se muestra se llama un sistema de un servidor y una cola o puede describir una consulta de un médico. b) Una línea, múltiples servidores El segundo, una línea con múltiples servidores, es típico de una peluquería o una panadería en donde los clientes toman un número al entrar y se les sirve cuando les llega el turno. c) Varias líneas, múltiples servidores El tercer sistema, en que cada servidor tiene una línea separada, es característico de los bancos y las tiendas de autoservicio. Para este tipo de servicio pueden separarse los servidores y tratarlos como sistemas independientes de un servidor y una cola. Esto sería válido sólo si hubiera muy pocos intercambios entre las colas. Cuando el intercambio es sencillo y ocurre con frecuencia, como dentro de un banco, la separación no sería válida.

ANÁLISIS DE COSTOS Costos del Sistemas de Colas Las llegadas son las unidades que entran en el sistema para recibir el servicio; estos elementos se unen primero a la cola; si no hay línea de espera se dice que la cola esta vacía. Costo de Espera Esperar significa desperdicio de algún recurso activo que bien se puede aprovechar en otra cosa y esta dado por: Costo total de espera = Cw * L Donde Cw = costo de espera por llegada y por unidad de tiempo, y L = a longitud promedio de la cola. Sistema de Costo Mínimo Aquí hay que tomar en cuenta (ver Figura 2), que para tasas bajas de servicio se experimenta largas colas y costos de espera muy altos. Conforme aumenta el servicio disminuyen los costos de espera, pero aumenta el costo de servicio y el costo total disminuye, sin embargo, finalmente se llega a un punto de disminución en el rendimiento. Por lo tanto, se debe encontrar el balance adecuado para que el costo total sea el mínimo.

COSTOS DE LOS SISTEMAS DE COLAS

REFERENCIAS http://www.gestiopolis.com/recursos4/docs/mkt/teoriacola.htm http://www.slideshare.net/AnaCGuzman/teora-de-colasterminologa-y-notacin www1.uprh.edu/wlopez/.../Parte%203%20Teoría%20de%20Colas.doc. exa.unne.edu.ar/informatica/evalua/.../teoria_de_colas.pdf www.oaplo.com.ar/Articulos/Proceso-0101.pdf Teoría de Colas. Ninoscka Zencovich B. Universidad Arturo Prat Sede Victoria (Chile).