Cinemática en la Kinesiología - Introducción Dr. Willy H. Gerber Objetivos: Comprender los conceptos de posición, velocidad, aceleración y rotación sobre la base del movimiento del cuerpo humano. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Caminando … Caminar lo hacemos tan automático que no nos damos cuenta la física que inconscientemente estamos aplicando (en teoría ya pasamos la prueba) … Un símbolo cotidiano … Johnnie Walker (Whisky) www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Caminando … Estudiemos primero como caminamos … luego veremos como corremos. Al caminar solo desprendemos un pie una vez que hemos posado el otro. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Orientación … un punto de referencia Como en una carrera podemos definir el punto de partida y la distancia que lleva nuestro corredor (o “caminador” por ahora). El punto de partida lo denominamos origen La distancia recorrida la medimos (por ejemplo) en metros o kilómetros y la podemos indicar mediante una letra (por ejemplo x o s). El punto de partida lo denominamos x0 y puede ser seteado en cero. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

El tiempo La otra variable que necesitamos es el tiempo que se denota por lo general con la letra t. x t x es la distancia recorrida al tiempo t lo que se indica con la “función” x(t) www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Aquí se puso complicado! Una función !?!?!?!? Que no cunda el pánico! Una función es como una “maquina” t Ejemplo: A los 30 segundos nuestro corredor avanzo 20 metros: x(30 seg) = 20 metros x(t) x O sea con la función x(t) podemos indicar en todo tiempo t donde se encuentra nuestro corredor. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Formas de representar una función Hay varias formas de representar una función: Una tabla Una curva t = 5.8 x(5.8) = 110 t 6 120 x(t) Una formula x(t) = a + bt2 o por ejemplo x(t) = 2.5 + 3.2 t2 t = 5.8 x(5.8) = 110.148 t x(t) 1 5.7 2 15.3 3 31.3 4 53.7 5 82.5 6 117.5 x(t) t x t = 6 x(6.0) = 117.5 www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Velocidad Una forma de caracterizar el movimiento es calculándole la Velocidad que tiene en un momento t. La velocidad se define como: Camino recorrido Tiempo transcurrido Metros Segundos Velocidad* = = O como ecuación: [ ] x t x2 – x1 t2 – t1 m s v = = Donde x1 es el punto en que nuestro corredor pasa en el tiempo t1 y x2 el punto en que pasa en el tiempo t2. t2 t1 x1 x2 *En realidad es “rapidez” ya que velocidad incluye dirección. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Unidades Las Unidades Metros [m] Segundos [s] Kilómetros [km] Horas [Hrs] Conversión de Unidades 1 km = 1000 m 1 m = (1/1000) km 1 Hrs = 3600 s 1 s = (1/3600) Hrs m s (1/1000) km (1/3600) Hrs km hrs 1 = = 3.6 km Hrs (1000) m (3600) s m s 1 = = 0.2777 www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Caminante hace tu camino Ejemplo: Nuestro caminante da en 40 segundos un total de 35 pasos de 60 cm cada uno. A que velocidad va? Que distancia recorrió? ( 21 m) Que velocidad tiene en m/s? ( 0.525 m/s) Que velocidad tiene en km/hrs? ( 1.89 km/hrs) 4. Da sentido esta velocidad? www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Función posición como grafica Para el caso de velocidad constante la posición se describe por una recta: Santiago x(t) Distancia Valdivia – Santiago 840 km Tiempo de viaje 20:00 – 09:00 = 11 Horas Temuco Valdivia 09:00 11:00 20:00 t Esto se puede expresar mediante la formula (como iniciamos el viaje en el origen x0 = 0): x(t) = x0 + v t = 0 km + 76.36 km/Hrs * t = 76.36 km/Hrs * t www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Ejemplo mas complejo Ejercicio: t x(t) Santiago Temuco Valdivia 00:00 02:00 19:00 Curicó 12:00 21:00 24:00 189 km 479 km 172 km www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

La velocidad calculada t x(t) Santiago Temuco Valdivia 00:00 02:00 19:00 Curicó 12:00 21:00 24:00 189 km 479 km 172 km www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Distancia calculada de la velocidad Se puede calcular el camino recorrido en base a la velocidad y el tiempo: Como: x t v = x = v t o “camino recorrido” = velocidad * tiempo que transcurrió www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Distancia calculada de la velocidad Sin embargo en la representación grafica de velocidad en función del tiempo x = v t = área debajo de la curva Velocidad v(t) Altura v t Tiempo Base t v Δt es el área debajo de la curva corresponde al camino recorrido. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Distancia calculada de la velocidad Si medimos la velocidad en función del tiempo podemos reconstruir la distancia recorrida: Tacometro Nota: debemos medir también la dirección del desplazamiento En realidad la velocidad es un vector, mas de ello luego. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Aceleración Si la velocidad varia hablamos de que el cuerpo acelera. Si la velocidad disminuye obtenemos aceleración negativa lo que corresponde a frenar. Variación de Velocidad Tiempo transcurrido Metros Segundos2 Aceleración = = O como ecuación: [ ] v t v2 – v1 t2 – t1 m s2 a = = Donde en el tiempo t1 nuestro corredor esta en x1 y tiene una velocidad v1 para luego en el punto x2 en el tiempo t2 tiene una velocidad v2 v2(t2) v1 (t1) t1 t2 x2 x1 www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Representación con grafica y formula Si la aceración es constante, la velocidad crece en forma pareja en el tiempo Velocidad v(t) t Tiempo Esto se puede expresar mediante la función v(t) = v0 + a t www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Caída libre Un ejemplo es la caída libre La aceleración es a = 9.8 m/s2 que denominamos g. Si caemos durante 2 segundos en caída libre … que velocidad tendríamos si no existiera roce? v = g t = 9.8 m/s2 2 s = 19.6 m/s = 70.56 km/hrs www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Calculo de la posición (caso aceleración constante) Como la posición se deja calcular de la superficie debajo de la curva de Velocidad podemos, en el caso de aceleración constante, calcular el camino: Si nuestra posición inicial fuera x0 y el cuerpo tuviera una velocidad inicial v0 el área seria: Velocidad v(t) v = v0 + at v0 Tiempo t Después del tiempo t la velocidad será v = v0 + at www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Calculo de la posición (caso aceleración constante) Para determinar la superficie debajo de la recta podemos dividir la zona en un rectángulo y un triangulo: Velocidad Triangulo = ½ altura * base v = v0 + at = ½ at * t = ½ a t2 at altura at Rectángulo = altura * base v0 altura v0 = v0 *t = v0 t Tiempo t base t Camino recorrido: x = x0 + v0t + ½ a t2 www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Ecuaciones caso caída libre En el caso de la caída libre tenemos a = g = 9.8 m/s2 v(t) = v0 + at = v0 + gt x(t) = x0 + v0 t + ½ a t2 = x0 + v0 t + ½ g t2 Cuando Galileo soltó una piedra desde lo alto de la torre de Pisa; cuanto tardo en llegar abajo y a que velocidad impacto? Altura = 58.36 m www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Ejercicio Galileo Si medimos desde la posición de Galileo (x0 = 0) y solo se deja caer (v0 = 0) las ecuaciones se reducen a: a = 9.8 m/s2 v(t) = gt x(t) = ½ g t2 Si la altura es h, al tiempo de impacto T vale: x(T) = h = ½ g T2 Despejando: 2h = g T2  T =  2h/g T =  2h/g =  2*58m / 9.8 m/s2 = 11.8 s2 = 3.44 s Y la velocidad de impacto v(T) = gT = 9.8 m/s2 3.44 s = 33.7 m/s = 121.4 km/hrs www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Volvamos al cuerpo humano Cuando caminamos nuestro cuerpo gira en torno al punto de apoyo. Punto de giro www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Angulo de la pierna Al igual que la posición podemos definir un ángulo θ  www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

[ ]  = = Velocidad angular En analogía podemos definir una velocidad angular Angulo recorrido Tiempo transcurrido Radianes Segundos Velocidad angular = = O como ecuación: [ ]  t 2 – 1 t2 – t1 rad s  = = Donde 1 es el ángulo en que nuestro corredor pasa en el tiempo t1 y 2 el punto en que pasa en el tiempo t2. 2 1 t1 t2 x1 x2 www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

 = = 0.748 rad/s Ejemplo del caminante Que velocidad angular tiene nuestro caminante? 30 30 30 = 30 2/360 rad = 0.5235 rad  60 = 1.047 rad Si en dar un paso nos demoramos 1.4 segundo la velocidad angular será:  = = 0.748 rad/s 1.047 rad 1.4 s www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Relación velocidad angular y velocidad tangencial Porque en radianes? r  Porque radianes multiplicados por el radio nos da el arco o fracción de la circunferencia r Conversión: 2 [rad] = 360 [grad]  1 rad = 360/2 grad = 57.3 grad  1 grad = 2/360 rad = 0.0174 rad www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

 = Relación entre velocidad tangencial y angular r Un objeto que rota en un radio r recorre al dar una vuelta una distancia 2r en un tiempo t. En el mismo tiempo t el ángulo varia en 2 O sea  r 2r t v = v = r  = 2 t www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

 = = 7.27 x 10-5 rad/s = 0.0000727 rad/s = = 0.2818 rad/hrs Un ejemplo “global” Al rotar la tierra tiene una velocidad angular de  = = 7.27 x 10-5 rad/s = 0.0000727 rad/s 2 rad 24*60*60 s = = 0.2818 rad/hrs 2 rad 24 Hrs Una persona en el ecuador de la tierra viaja a una velocidad de: vt = R  = 6378 km 0.2818 rad/hrs = 1669.7 km/Hrs R  R En Valdivia (latitud  = -39.61)  vt = R cos  =1286.4 km/Hrs www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Un paréntesis climatológico Un ejemplo del efecto de diferentes velocidades tangenciales sobre la superficie de la tierra. Solo un ejemplo, no se considera en las futuras pruebas. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Un paréntesis climatológico Si calentamos agua observamos convección Agua fría desciende Agua caliente asciende Un efecto similar se observa en la atmósfera: se forman celdas. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Corrientes sobre la superficie de la tierra En total se forman tres tipos de celdas, la de Hadley, la de Ferrel y la Polar. Estas provocan tanto vientos verticales como horizontales: Celda Polar Aire sube Celda de Ferrel Aire baja Celda de Hadley Aire sube Celda de Hadley Aire baja Celda de Ferrel Aire sube Celda Polar El movimiento horizontal desplaza masas de aire entre zonas de distinta velocidad de rotación. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Un efecto global En el ecuador, la velocidad es máxima mientras que en los polos, mínima. De esa forma, una corriente desde el ecuador hacia el norte (ej. celda de Hardle) se adelanta al aire en el lugar: Una corriente que se acerca al ecuador (ej. celda de Ferrel), se atrasa respecto del aire en el lugar. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Huracanes La combinación de ambos movimientos llevan a la generación de huracanes. www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Aceleración centrifuga Inercia Todo cuerpo “trata” de mantener su estado actual. Ej. Continuar con la misma velocidad en forma rectilínea. Si un cuerpo no esta amarado se “alejaría”. el observador que no gira con el objeto percibe como que este acelera hacia la tierra (aceleración centrípeta) Debemos definir una aceleración angular www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

[ ] Aceleración angular Si la velocidad angular varia hablamos de que el cuerpo acelera. Si la velocidad angular disminuye obtenemos aceleración negativa lo que corresponde a frenar. Variación de Velocidad angular Tiempo transcurrido Radianes Segundos2 Aceleración angular = = O como ecuación: [ ]  t 2 – 1 t2 – t1 rad s2  = = Donde en el tiempo t1 nuestro corredor esta en x1 y tiene una velocidad v1 para luego en el punto x2 en el tiempo t2 tiene una velocidad v2 2(t2) 1 (t1) t1 t2 x2 x1 www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

v   = Relación entre aceleración tangencial y angular De la definición de la aceleración tangencial y angular se obtiene: v t r t a = = a = r  t  = www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Relación entre aceleración tangencial y angular x = ½ a t2 v t r x r Pitagoras:  (r + x)2 = r2 + (v t)2 r Si x << r 2rx = (vt)2 x = 1/2r (v t)2 v2 r at = = r2 www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Pregunta para el taller de mañana Que pasa cuando la aceleración centrifuga es mayor que la gravitacional? v2 r > g 30 30 www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07

Taller de mañana Y para mañana: www.gphysics.net – UACH-Kinesiologia-Fisica-02-Cinematica-Introducción – Versión 10.07