Raúl Monroy (de las notas de Jane Hilston) Modelos estocásticos Raúl Monroy (de las notas de Jane Hilston)

Procesos estocásticos Un modelo estocástico representado como un proceso estocástico Proceso estocástico = {X(t), tT} X(t) variable aleatoria T conjunto de índices, representa tiempo T= S, espacio de estados del proceso, es el conjunto de todos los posibles valores que las X(t)’s pueden tomar Cada uno de estos valores es un estado del proceso y corresponde (a veces) a un estado del sistema modelado Cada conjunto de ejemplares {X(t), tT} es la trayectoria de una partícula (realización) moviéndose de modo estocástico en S Posición a tiempo t es X(t)

Ejemplo: conmutador telefónico Asocia una variable aleatoria con cada línea y con 1 y 0 representa si ésta está ocupada o no Estado del sistema es n-lista (n = # líneas) El valor de cada posición representa el estado de línea Asocia una variable aleatoria, M, que representa el número de líneas en uso Un estado del proceso estocástico corresponderá a varios estados del sistema, dependiendo de cuáles líneas estén en uso Note cómo el grado de abstracción influye el proceso de modelado

Propiedades de procesos estocásticos {X(t)} es un proceso markoviano (sin memoria): Pr(X(tn+1)=xn+1|X(tn)=xn,, X(t1)=x1) = Pr(X(tn+1)=xn+1|X(tn)=xn) {X(t)} es irreducible: todos los estados en S pueden alcanzarse de cualquier otro estado {X(t)} es estacionario: t1,,tnT y t1+,,tn+T (n1) FX(t1)X(tn)=FX(t1+)X(tn) {X(t)} es homogéneo en el tiempo: s,t Pr(X(t+)=xk|X(t)=xj) = Pr(X(s+)=xk|X(s)=xj)

Procesos Markovianos La dinámica del sistema representada por transiciones entre estados y tiempos de visita en los estados Tiempos de visita no poseen memoria: variable aleatoria distribuida exponencialmente Pr(X(t+dt)=j | X(t)=i) = qijdt+o(dt), qij=qipij qij es la tasa de transición instantánea, igual a , del cual podemos calcular la tasa de salida, qi ,la tasa con la que el sistema abandona el estado i (parámetro gobernando el tiempo de visita) qi =jSqij Objetivo: calcular la distribución de probabilidad de X(t) sobre S a medida que el sistema entra a un estado estable y con ella medir desempeño considerando subconjuntos de S que cumplen con una condición

Diagramas de transición de estados y Matrices generadoras Un proceso markoviano = diagrama de transición de estados Un proceso markoviano (con n estados) = una matriz generadora infinitesimal, Q, nn Los elementos de la diagonal se eligen de modo que la suma en cada renglón sea 0

Conmutador telefónico (6 líneas) Considere la representación más simple S = {0,1,2,3,4,5,6} Arribo de peticiones forma una cadena de Poisson con parámetro l Duración de la conexión exponencial con parámetro m

Distribución del Estado Estable Sea k(t) la probabilidad de que al observar al proceso en tiempo t estará en estado xk, xkS Equilibrio implica k(t+)= k(t), para todo xkS Teorema: Para cada proceso markoviano que sea irreducible, finito y homogéneo en el tiempo, existe una distribución de probabilidad en el estado estable, {k,xkS}, igual a Pr(X(t)= xk | X(0)=x0) = k

Ecuaciones de Balance Global El flujo de probabilidad de xi a xj = iqij En el estado estable: flujo de probabilidad total salida de un estado = al de entrada Recordemos que entonces xjSjqji=0

Ecuaciones fundamentales  Q = 0 Ejemplo: 1 = 2 1 + 2 = 1 1 2

Ejemplo: un sistema con dos procesadores Dos procesadores, A y B, c/u con memoria local, compartiendo un segmento de memoria Acceso a memoria local y acceso a memoria común gobernado por una distribución exponencial con parámetros A, A, B y B, respectivamente Espacio de estados: A y B ejecutan en sus memorias privadas B ejecuta en memoria privada y A accede la común A ejecuta en memoria privada y B accede la común A accede memoria común, B esperando accederla B accede memoria común, A esperando accederla Mencionar que la mayoría de los paquetes de álgebra lineal resuelven ecuaciones de la forma Ax = b y no de la forma Q=0. Para resolver este problema debemos usar la transpuesta y reemplazar el último renglón por uno que tenga puros unos (recordando que la =1)

Derivación de Medidas de Desempeño Medidas basadas en estados Utilización de memoria común es la probabilidad total de que el modelo esté en un estado en que se accede a tal dispositivo Umem = 2+3+4+5 Número promedio de tareas usando o esperando usar la memoria compartida Nmem = (12)+(13)+(24)+(25) Medidas basadas en tasas El desempeño de la memoria común, el número promedio de accesos que atiende por unidad de tiempo Xmem = (A(2+4))+(B(3+5)) Otras medidas Aplicando la ley de Little Wmem= Nmem /Xmem

Resolviendo ecuaciones de balance global Paquetes de álgebra lineal manejan A x = b  Q = 0  QT = 0 Reemplaza una de las ecuaciones por condición de normalización; procede correspondientemente en el vector solución Usa maple o xmaple para resolver