Olimpiada Thales

Problema 1: LOS CARROS DEL SUPERMERCADO Problema 2: CUBOS (Cubos Geogebra) Problema 3: SUPERVENTAS Problema 4: TRIÁNGULOS FRACTALES Problema 5: OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS Problema 6: ¿DÓNDE SE ENCUENTRA EL 2011? XXVII Olimpiada Thales

Los carros del supermercado XXVII Olimpiada Thales

Menú Los carros del supermercado: Alex, María y Elena están en el supermercado con sus padres respectivos. Mientras esperan en la cola de la caja deciden jugar a ver quién adivina cuánto dinero hay juntando las tres monedas que han metido sus padres en los carros. Tienen genes matemáticos, por eso no responden al tun tun, sino que hacen cálculos sabiendo que los carros aceptan monedas de 50 céntimos, 1 euro y 2 euros. • ¿Por qué nadie dice 5’5 euros? • ¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la cantidad es exacta o decimal. • En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad de acertar? • ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar? Razona las respuestas. Solución Menú

¿Por qué nadie dice 5,5 euros? Solución: ¿Por qué nadie dice 5,5 euros? Los números con los que podemos jugar son 2, 1 y 0'50. Si ordenamos de mayor a menor las cantidades, la mayor será: Enunciado Menú

¿Por qué nadie dice 5,5 euros? Solución: ¿Por qué nadie dice 5,5 euros? Y la siguiente: Por lo tanto, no puede estar la cantidad de 5,5 euros Enunciado Menú

¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Solución: ¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Lo mejor es formar una tabla con todos los posibles resultados Alex María Elena Cantidad Total 0'50 1'50 1 2 3 2'50 3'50 4'50 Alex María Elena Cantidad Total 1 0'50 2 2'50 3'50 3 4 5 Enunciado Menú

¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Solución: ¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Lo mejor es formar una tabla con todos los posibles resultados Alex María Elena Cantidad Total 2 0'50 3 1 3'50 4'50 4 5 6 Enunciado Menú

¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Solución: ¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Ahora hacemos una tabla con las cantidades y las veces que han salido (frecuencia) Cantidad Total Frecuencia 1'50 1 2 3 2'50 4 3'50 6 4'50 5 5'50 Enunciado Menú

¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Solución: ¿Qué cantidad deberían decir para tener más posibilidad de acertar? Está claro que la cantidad que van a decir es 3'50 euros, porque tienen genes matemáticos y saben de probabilidad. Enunciado Menú

• En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad de acertar? Solución: Para seguir divirtiéndose, también deciden jugar si la cantidad es exacta o decimal. • En este segundo juego, ¿quién tendría más posibilidad de acertar? • ¿En cuál de los dos juegos es más fácil ganar? Habría que elegir exacta, pues al realizar el recuento hay 13 cantidades cuya expresión es decimal y las 14 restantes son exactas. Y puestos a apostar gominolas, apostaremos a decimal o exacto, puesto que la probabilidad de acertar es aproximadamente del 51% (14 casos de 27 = 0’5185), mientras que la de acertar la cantidad 3'50 es aproximadamente del 22 % (6 casos de 27 = 0’222) Enunciado Menú

CUBOS XXVII Olimpiada Thales

CUBOS: El profesor D. Anacleto Enseñalotodo va paseando con sus alumnos y alumnas por un museo y al encontrarse con los siguientes cubos de 1 metro de arista apilados sobre el suelo les plantea las siguientes cuestiones: · ¿Cuál es el volumen de la figura formada por los cubos? · Si pintáramos de rojo las caras que se pueden ver. ¿Cuántos cubos tienen exactamente una, dos, tres, cuatro y cinco caras coloreadas? Razona las respuestas. Solución Menú

Enunciado Menú Solución: Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 Es bastante sencillo observar que el volumen de la figura es 14 m3. Vamos a comenzar descomponiendo la estructura en los diferentes cubos que la forman. A continuación trasladamos los datos a la siguiente tabla: Enunciado Menú

X Enunciado Menú Solución: Comenzamos quitando el cubo 1 CUBO 1 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 CUBO 1 X Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo Repetimos el mismo procedimiento con el resto de los cubos y, completamos la tabla Enunciado Menú

X Enunciado Menú Solución: X CUBO 2 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 X Comprobamos que tiene 3 caras de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 3 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 X Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 4 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 CUBO 4 X Comprobamos que tiene 3 caras de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 5 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 CUBO 5 X Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 6 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 X Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 7 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 X Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 8 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 X Comprobamos que tiene 1 cara de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 9 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 X Comprobamos que tiene 5 caras de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 10 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 X Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 11 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo X Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 12 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 CUBO 12 Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo X Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 13 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 CUBO 13 Comprobamos que tiene 2 caras de color rojo X Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X X CUBO 14 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 CUBO 14 Comprobamos que tiene 4 caras de color rojo X Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución: X Cubos con 1 cara coloreada : 1 Caras Coloreadas 1 2 3 4 5 Cubo 1 X Cubo 2 Cubo 3 Cubo 4 Cubo 5 Cubo 6 Cubo 7 Cubo 8 Cubo 9 Cubo 10 Cubo 11 Cubo 12 Cubo 13 Cubo 14 Cubos con 1 cara coloreada : 1 Cubos con 2 caras coloreadas : 5 Cubos con 3 caras coloreadas : 2 Cubos con 4 caras coloreadas : 5 Cubos con 5 caras coloreadas : 1 Enunciado Menú

Superventas XXVII Olimpiada Thales

Solución Menú Superventas: Últimamente todos los habitantes de Todolandia ocupan todos sus ratos libres en la lectura de todos los libros que tienen relación con las matemáticas. D. Perfecto Leeselotodo está muy preocupado porque por haber estado de viaje fuera del país no ha podido seguir las novedades en la lista de superventas de las últimas semanas. Observa la relación de superventas de esta semana y ayuda al Sr. Leesolotodo diciéndole qué libro o libros son nuevos en ella. Indica también, de forma razonada, qué posición ocupaba la semana pasada cada uno de los libros de la relación, si sabemos que en ningún caso la subida o bajada en la lista ha sido superior a tres puestos con respecto a la semana anterior. 1.  El hombre que calculaba = Cuentos con cuentas 3.  ¿Matemágicas o matetrágicas? 4.  El diablo de los números 5. = El teorema del loro Nota: Los signos = ,  y  nos indican respectivamente si el libro continúa en el mismo puesto o ha ascendido o descendido en la lista 6.  El curioso incidente del perro a medianoche 7.  ¡Malditas matemáticas! 8.  El asesinato del profesor de matemáticas 9. = El país de las Matemáticas 10.  Las matemáticas en la vida Solución Menú

Clasificación de superventas de la semana pasada Solución: Hay algunos superventas que ya sabemos en qué lugares estaban la semana pasada, ¿no crees? Clasificación de superventas de la semana pasada 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Bien, pues comencemos por ellos… Enunciado Menú

Clasificación de superventas de la semana pasada Solución: Comencemos ahora por arriba… ¿Qué libro fue 1º la semana pasada? Clasificación de superventas de la semana pasada 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Matemágicas o Matetrágicas Cuentos con cuentas El teorema del loro El país de las matemáticas Enunciado Menú

Clasificación de superventas de la semana pasada Solución: ¿Qué libros pudieron ocupar los lugares 3º y 4º? El hombre que calculaba y ¡Malditas matemáticas!, evidentemente. Clasificación de superventas de la semana pasada 1. ¿Matemágicas o matetrágicas? 2. Cuentos con cuentas 3. 4. 5. El teorema del loro 6. 7. 8. 9. El país de las matemáticas 10. Pues situémoslos… El hombre que calculaba Malditas matemáticas Y ahora ya está claro el superventas que ocupó el 6º puesto… Enunciado Menú

Clasificación de superventas de la semana pasada Solución: Y solo hay ahora un libro que pudo ocupar el 7º puesto… Clasificación de superventas de la semana pasada 1. ¿Matemágicas o matetrágicas? 2. Cuentos con cuentas 3. El hombre que calculaba 4. ¡Malditas matemáticas! 5. El teorema del loro 6. El diablo de los números 7. 8. 9. El país de las matemáticas 10. El curioso incidente del perro a medianoche Enunciado Menú

Clasificación de superventas de la semana pasada Solución: ¿Pero podemos saber quiénes ocuparon los lugares 8º y 10º? Clasificación de superventas de la semana pasada 1. ¿Matemágicas o matetrágicas? 2. Cuentos con cuentas 3. El hombre que calculaba 4. ¡Malditas matemáticas! 5. El teorema del loro 6. El diablo de los números 7. El curioso incidente del perro a medianoche 8. 9. El país de las matemáticas 10. Enunciado Menú

Clasificación de superventas de la semana pasada Solución: No podemos saber con seguridad los lugares que ocuparon dos de los superventas, aunque podemos afirmar que “El asesinato del profe de mates” ocupó el 10º o el 11º puesto, y “Las matemáticas para la vida” el 11º, 12º o 13º. Clasificación de superventas de la semana pasada 1. ¿Matemágicas o matetrágicas? 2. Cuentos con cuentas 3. El hombre que calculaba 4. ¡Malditas matemáticas! 5. El teorema del loro 6. El diablo de los números 7. El curioso incidente del perro a medianoche 8. 9. El país de las matemáticas 10. Un libro que ya no está entre los 10 superventas El asesinato del profesor de matemáticas o un libro de los que ya no son superventas Enunciado Menú

(in memoriam Benoit Mandelbrot “Padre de los fractales”) Triángulos Fractales (in memoriam Benoit Mandelbrot “Padre de los fractales”) XXVII Olimpiada Thales

Solución 1 Solución 2 Menú TRIÁNGULOS FRACTALES (in memoriam Benoit Mandelbrot “Padre de los fractales”)  Todos los estudiantes de Todolandia andan como locos intentando calcular las superficies de todos los triángulos equiláteros coloreados que se van obteniendo al ir uniendo los puntos medios de los lados de los triángulos no coloreados como se observa en las figuras. Sabiendo que el triángulo equilátero del que se parte tiene como superficie la unidad, ayúdales calculando la superficie que está coloreada después de haber realizado 2 transformaciones. ¿Cuál es la superficie que se obtiene después de 4 transformaciones? ¿Cómo calcularías la superficie coloreada tras realizar “n” transformaciones? Triángulo inicial Transformación 1ª Transformación 2ª Solución 1 Solución 2 Menú

Enunciado Menú Solución 1 : Superficie del triángulo inicial: 1 Transformación 1ª Superficie coloreada: Enunciado Menú

Solución 1: Transformación 2ª Superficie coloreada: Enunciado Menú

Solución 1: Transformación 3ª Superficie coloreada: Enunciado Menú

Solución 1: Transformación 4ª Superficie coloreada: Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 1: Superficie coloreada para “n” transformaciones Por tanto, la superficie coloreada para “n” transformaciones sería: Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 2: También podríamos calcular la superficie coloreada para “n” transformaciones restando al triángulo unidad la parte no coloreada: Transformación 1ª Transformación 2ª Transformación 3ª Transformación 4ª Por tanto, la superficie coloreada para “n” transformaciones sería: Enunciado Menú

OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS XXVII Olimpiada Thales

Solución Menú OLÍMPICOS Y OLÍMPICAS Cada año se presentan muchos chicos y chicas a nuestras Olimpiadas Matemáticas Thales. Deduce de forma razonada cuántos olímpicos y olímpicas se presentaron en cada una de las provincias de Andalucía Occidental sabiendo que: El número total de participantes en estas cuatro provincias coincide con el que se obtiene al sumar los números de la fecha de hoy (día + mes + año). El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad que el de chicos y esta proporción se mantuvo también en la provincia de Sevilla. Córdoba fue la única provincia igualitaria en chicos y chicas. En Sevilla se presentaron tantos participantes como en Huelva y Cádiz juntos y en Córdoba la mitad que en Sevilla. En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas representan el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada en las cuatro provincias.   Solución Menú

26+3+2011=2040 Enunciado Menú Solución: Primero vamos a calcular el número de participantes. Hoy es 26 de marzo de 2011, entonces el total es: 26+3+2011=2040 Bien, ya tenemos el total, vamos a continuar leyendo…. Enunciado Menú

2040:3=680 680 x 2=1360 Enunciado Menú Solución: El total de chicas presentadas en Andalucía Occidental fue la mitad que el de chicos. Esto nos indica que debemos de dividir entre 3 el total de participantes, y el número obtenido será el de chicas y el resto, que es el doble, el de chicos. 2040:3=680 680 x 2=1360 Enunciado Menú

2040:2’5=816 Enunciado Menú Solución: En Sevilla se presentaron tantos participantes como en Huelva y Cádiz juntos y en Córdoba la mitad que en Sevilla. Esto nos hace deducir que debemos de dividir el total de participantes entre 2’5, que sería uno de Sevilla otro entre Cádiz y Huelva y la mitad para Córdoba. 2040:2’5=816 Enunciado Menú

816:3=272 272x2=544 SEVILLA: 816 Participantes Enunciado Menú Solución: Vamos entonces a repartir a los participantes por provincias SEVILLA: 816 Participantes Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el enunciado nos decían que en Sevilla se mantenía la proporción de doble número de chicos que de chicas. 816:3=272 272x2=544 Enunciado Menú

408:2=204 204 204 CÓRDOBA: 408 Participantes Enunciado Menú Solución: Para dividirlos entre chicos y chicas debemos recordar que en el enunciado nos decían que Córdoba fue la única provincia igualitaria en chicos y chicas. 408:2=204 204 204 Enunciado Menú

20% de 680=136 136 x 3 = 408 CÁDIZ Enunciado Menú Solución: En Cádiz se presentaron tres veces más chicos que chicas y ellas representan el 20 % del total de las chicas participantes en la Olimpiada en las cuatro provincias Podemos calcular el total de chicas, pues es el 20 % del total que recordemos era de 680. 20% de 680=136 136 x 3 = 408 Enunciado Menú

1360-544-204-408=204 680-272-204-136 = 68 HUELVA Enunciado Menú Solución: HUELVA En el enunciado de Huelva no nos dicen nada, pero como son los únicos valores que nos faltan los podemos calcular restando del total los obtenidos. 1360-544-204-408=204 680-272-204-136 = 68 Enunciado Menú

Solución: Cádiz Córdoba Huelva Sevilla Totales 1360 680 2040 408 204 204 544 136 204 68 272 544 408 272 816 Enunciado Menú

¿Dónde se encuentra el 2011 XXVII Olimpiada Thales

Solución 1 Solución 2 Menú ¿Dónde se encuentra el 2011? Thalevago ha contado a su compañera Calculina que su profesora de mates, Eulerina, ha propuesto hoy en clase la siguiente serie de números: A B C D E 1 4 13 10 7 16 19 28 25 22 31 … Y les ha pedido que averigüen en qué columna y en qué fila aparecerá en dicha serie el número que corresponde al año actual. Para que practiquen les ha dicho que investiguen buscando primero la posición del número 73. Ambos se encuentran un poco despistados, ayúdales a encontrar de forma razonada las respuestas. Solución 1 Solución 2 Menú

Enunciado Menú Solución 1: Vamos a calcular el término general de la serie: Ordenamos en sentido creciente los números: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, … an = a1 + (n-1)d d = +3 an = 1 + (n-1) (+3)= 1 + 3n – 3 = 3n - 2 an = 3n - 2 Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 1: Para averiguar la columna situamos los números en la tabla siguiente : A B C D E 1 4 Vemos que la diferencia entre dos términos de una misma columna es 15 13 15 10 15 7 15 16 15 19 15 28 15 25 22 Comenzamos con el número 73 31 73 : 15 = 4 Resto = 13 Por tanto se encontrará en la columna A Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 1: A continuación necesitamos conocer la fila en que se encuentra el número 73 Recurrimos al término general cuyo valor en este caso es 73 an = 3n - 2 73 = 3n - 2 75 = 3n n = 75 : 3 n= 25 El número 73 ocupa el término de lugar 25 Podemos hacer grupos de 5 (A, B, C, D y E) 25 : 5 = 5 5 grupos de 5, a cada grupo de 5 le corresponden 2 filas, por tanto 5 X 2 = 10 El término 25 ( número 73) se encuentra en la fila 10 Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 1: Vamos a probar con el número 103 Fila: 35 : 5 = 7 por tanto 7 X 2 = 14 El número 103 se encuentra en la fila 14 Columna: 103 : 15 = 6 Resto = 13 Por tanto se encontrará en la columna A Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 1: Vamos por fin con el número 2011 Fila: 671 : 5 = 134’2 134 grupos completos + 1 grupo incompleto Por tanto 134 ‘2X 2 = 268’4 268 + 1 = 269 El número 2011 se encuentra en la fila 269 Columna: 2011: 15 = 134 Resto = 1 Por tanto se encontrará en la columna B Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 2: Si completásemos la tabla podríamos ver que hay una regularidad en la distribución de los términos de la serie A B C D E 1 4 13 15 10 7 16 19 28 25 22 31 34 43 40 37 46 49 58 55 52 Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 2: Número 73 73: 15 = 4 Resto = 13 Resto = 13 Implica que se encontrará en la columna A Cociente = 4 Resto = 13 Nos indica 5 grupos de 2 filas (aunque la última fila se encontraría incompleta – columna A) por tanto 5 X 2 = 10 El número 73 se encuentra en la fila 10 Enunciado Menú

Enunciado Menú Solución 2: Número 2011 2011: 15 = 134 Resto = 1 Implica que se encontrará en la columna B Cociente = 134 Resto = 1 Nos indica 134 grupos completos y 1 fila incompleta por tanto 134 X 2 = 268 268 + 1 = 269 El número 2011 se encuentra en la fila 269 Enunciado Menú