Simulación de sistemas dinamicos Breve introducción al modelado y simulacion de sistemas

Contenido Breve introducción a los sistemas Modelado y simulación El modelado de sistemas Simulacion de modelos continuos

Breve introducción a los sistemas

Definicion de sistema Un sistema puede ser definido como una porción de la realidad cuya evolución en el tiempo puede ser descrita por un cierto número de atributos medibles Un atributo medible es una característica que puede estar correlacionada con uno o más números, o simplemente un conjunto de símbolos.

Representacion de los sistemas La representación esquemática tipica de un sistema es un bloque. Los sistemas pueden ser No orientados Orientados En los sistemas orientados se puede distinguir entre entradas y salidas

Ejemplo de sistema no orientado Un sistema eléctrico con dos posibles orientaciones ¿Cuál es la entrada, cual es la salida?

Estructura y comportamiento En los sistemas nos interesa: Sus relaciones funcionales internas, la estructura, esta relacionada con la manera como se ordena el acoplamiento mutuo entre los elementos del sistema, esto es la organización, y el comportamiento de estos elementos. Sus relaciones externas con el entorno, su comportamiento. El comportamiento esta relacionado con la dependencia de las respuestas a los estímulos.

Modelado y simulación

Modelado y simulación Un modelo es un sistema similar a uno original, a veces llamado Sistema Real, en el sentido de que, cuando soluciona un problema que concierne al sistema original, puede solucionarlo bajo condiciones más favorables. todo modelo involucra por necesidad el modelo de simulación su implementación casi en todos los casos usando herramientas computacionales

Experimentación y simulación

Entidades y relaciones en M&S El marco experimental especifica las condiciones bajo las cuales el sistema es experimentado y observado Mundo Real modelado simulacion Simulador Modelo Marco Experimental Cada entidad es representada como un sistema dinamico Cada relacion es representada por un homomorfismo u otra equivalencia

El modelado de sistemas

Tipos de modelos: modelos semanticos Semantic Models Emotional Belief Cognitive Scientific Formal Empirical Theoretical Non-Formal Operative- Prospective Meta-Physical Poetic Modelos analiticos

Los modelos matematicos Los modelos matemáticos han sido definidos como conjuntos de relaciones entre los atributos medibles de un sistema, que describen las relaciones establecidas por el sistema entre estas cantidades. Por tanto constituyen, en cualquier caso, solamente descripciones parciales.

La construccion de modelos La construcción de modelos matemáticos debe estar gobernada más por criterios de utilidad que por los (siempre relativos) criterios de verdad. El criterio de Occam (1290 - 1350) Entre los modelos disponibles para un mismo fenómeno, debe preferirse el más simple

Tipos de sistemas/modelos estocástico determinístico estático dinámico tiempo-discreto tiempo-continuo simulación de Montecarlo Tipos de modelos matemáticos: La siguiente separación en categorías de estos modelos, nos dará una base lógica para clasificar los modelos básicos que se utilizan en la bibliografía de la IO, tal relación no es completa en modo alguno, pero la explicación y operación de cada uno proporciona una mejor comprensión de las diferencias esencilaes entre los modelosde la IO. Cuantitativos y cualitativos: Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos para representar constantes y variables (en gran parte números), llamamos a esto un modelo cuantitativo. Las fórmulas, matrices, diagramas o series de valores, de ecuaciones o desigualdades que se obtienen mediante procesos algebraicos son ejemplos comunes de modelos matemáticos. Los problemas de IO que se ocupan de las cualidades o propiedades de los componentes se llaman modelos cualitativos. La mayor parte del pensamiento relacionado con los problemas de negocios comienza con los modelos cualitativos y llega gradualmente hasta un punto donde pueden usarse modelos cuantitativos. Esto no significa que la metodología de la IO pueda cuantificar situaciones cualitativas. Hay muchos problemas que no pueden cuantificarse exactamente debido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas y relaciones con todas sus peculiaridades y excepciones que son demasiado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo, mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento, teoría de conjuntos, análisis dimensional y teoría de decisión, la IO puede hacer que se apliquen al problema ciertas técnicas muy útiles. Estándar y hechos a la medida: Se usan modelos estándar para decribir las técnicas que se han asociado con la IO. Para usar estas técnicas se insertan los números apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar para obtener una respuesta. Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos de las diversas disciplinas, y especialmente las matemáticas, para construir un modelo que se ajuste al problema investigado. Muchas veces el personal de IO lee las diferentes publicaciones Estático. Estado del sistema como un punto en el tiempo Dinámico. Estado del sistema como cambios en el tiempo Tiempo-continuo. Los estados del sistema cambian en cualquier momento. Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos del tiempo. Determinístico. Entradas fijas producen salidas fijas Estocástico. Uno o más parámetros aleatorios. Entradas fijas produce salidas diferentes

Los sistemas dinamicos continuos Estamos interesados en los sistemas dinamicos continuos: Dinamicos: ocurren cambios en el periodo de tiempo de interes Tiempo continuo: los cambios ocurren continuamente Variables continuas: los cambios pueden tomar cualquier valor Deterministicos: se asume que es posible modelar el sistema como si fuera completamente conocido

Formalismos de modelos matematicos Los sistemas continuos pueden ser formulados en terminos de DESS, DAESS, DEVS Vars./Time Continuous Discrete [1] DESS (Differential equation System Specification) Partial Differential Equations Ordinary Differential Equations Bond Graphs Modelica [2] DTSS Difference Equations Finite Element Method Finite Differences Numerical methods (in general, any computing method for the continuous counterparts], like Runge-Kutta, Euler, DASSL and others. [3] DEVS (Discrete Event System Specification) DEVS Formalism Timed Petri Nets Timed Finite State Machines Event Graphs [4] Automata Finite State Machines Finite State Automata Petri Nets Boolean Logic Markov Chains

Modelos DESS En el formalismo DESS (differential equation System Specification model) el modelo matemático de un sistema dinámico es: un conjunto de ecuaciones diferenciales que representan las características dinámicas del sistema. las cuales se obtienen aplicando leyes físicas. Normalmente un conjunto de ecuaciones ordinarias (sistema de parametros concentrados)

Un ejemplo de modelo matematico El modelo matemático del sistema masa-resorte-amortiguador puede ser descrito por: M K B x Parametros: m = 0.25, c = 0.5, k = 1 Ejercicio: Haga un diagrama en bloques del modelo

El modelo en simulink c k f(t) input + - x(t) output ¡El proposito del diagrama de simulacion es resolver la ecuacion diferencial (ODE) del modelo matematico propuesto!

Simulacion de modelos continuos

Modelado y simulacion Codigo ASCII Integracion numerica Mundo Real Simulador modelado simulacion Modelo Integracion numerica d q(t) / dt = x(t)

Lenguajes de simulacion Un lenguaje de simulación describe las operaciones a ejecutar durante una simulación en la computadora La mayoria de los lenguajes tienen tambien una interfaz gráfica capacidad de análisis de los resultados CSSL PROGRAM Van der Pol INITIAL constant k = -1, x0 = 1, v0 = 0, tf = 20 END DYNAMIC DERIVATIVE x = integ(v, x0) v = integ((1 – x**2)*v – k*x, v0) termt (t.ge.tf)

Lenguajes de simulacion Simulink SPICE Scilab Dynamo SLAM: Simulation Language for Alternative Modeling VisSim Saber-Simulator CSSL: Continuous System Simulation Language ACSL: Advanced Continuous Simulation Language EL: EcosimPro Language XMLlab Flexsim 4.0

Fuentes A. D. Lewis, A Mathematical Approach to Classical Control, 2003, on line acces http://www.mast.queensu.ca/~andrew/teaching/math332/notes.shtml Robert L., Williams, Douglas A. Lawrence “Linear State-Space Control Systems”, Wiley, 2007

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