Lógica de proposiciones, deducción natural Raúl Monroy

Impertinencias con prop Falta de estructura motiva uso de meta-teoremas deducción: D P  Q sii D  {P} Q regla T: contraposición: refutación:

Lógica de proposiciones: sistema de demostración ¿Cómo construir un cálculo para razonar sobre proposiciones? Queremos un conjunto de reglas de prueba que nos permitan inferir fórmulas de otras fórmulas

Recuerda que: Una lógica contiene 3 ingredientes: Un lenguaje formal; Un sistema de demostración; y Una semántica del lenguaje

Logica de proposiciones, sintaxis El alfabeto (de nuestra versión) de la lógica proposicional consiste de los siguientes caracteres: a,…,z; A,…,Z, 0,…,9,(,),{,},[,],,,,, símbolos no lógicos: constante: una secuencia de caracteres que inicia con una minúscula o un número Un solo tipo de constante, constante objeto, que nombra un elemento específico del dominio de discurso

Sintaxis (continúa) P es una oración sii: Precedencia de operadores: es una constante objeto, o es una oración compuesta: P, P1  P2, P1  P2, P1  P2, P1  P2 donde P1 y P22 son oraciones Precedencia de operadores: , , , ,  Un operando se asocia con aquel operador que posee precedencia superior. En caso de empate, el operador se asocia a la derecha

Deducción natural 0 axiomas Conjunto de reglas de inferencia Una demostración de P es una secuencia de oraciones terminada con P. Cada oración en la secuencia es o una hipótesis, o un axioma, o puede derivarse a partir de oraciones previas, vía una regla de inferencia. Nota: Si usamos una hipótesis temporal (cf cajas), ésta sólo puede usarse si ocurre previamente al punto de aplicación y no aparece dentro de una caja que haya sido cerrada

Reglas de inferencia Para cada conectivo, hay una o más reglas para introducirlo y una o más para eliminarlo Y lógico,  Introducción: Eliminación: P Q i P  Q P  Q P  Q e2 e1 P Q

Ejemplos Demuestre: p  q | q  p (p  q)  r, s  t | q  s

Doble Negación Introducción: Eliminación: P i  P  P e P

Ejemplos Demuestre: p, ¬¬(q  r) | ¬¬p  r

Implicación material,  Eliminación: Introducción: ? P P  Q e Q

Ejemplos Demuestre: p  (q  r), p, q | r ¬p  q, ¬q | p p  (q  r), p, ¬r | ¬q Nota: en las dos últimas use modus tollens ¬Q P  Q MT ¬P

Implicación material,  Introducción: Ejemplos: ¬q  ¬p | p  ¬¬q p | p | (q  r)  ((¬q  ¬p)  (p  r)) P  Q i P  Q

Actividad en colaboración Demostrar: p  q  r | p  q  r p  q  r | p  q  r p  q | p  r  q  r

O-lógico Introducción Eliminación Q P P  Q P  Q P  R Q  R P Q R

Ejemplos Demuestre: p  q | q  p q  r | p  q  p  r (p  q)  r | p  (q  r) p  (q  r) | (p  q)  (p  r) Nota: Resolver el último ejercicio requiere el uso de la regla copy

Las reglas para negación,  Eliminación de  Eliminación de ¬ Introducción de ¬   i P P P e  P   ¬i ¬P

Ejemplos Demostrar: ¬p  q | p  q p  q, p  ¬q | ¬p p  ¬q  r, ¬r, p | q

Reglas auxiliares Modus tollens Introducción de doble-negación Reductio ad absurdum Tertium non datur (law of the excluded middle)

Lógica de proposiciones: Semántica Semántica: La semántica de una lógica es una definición de la veracidad de las oraciones en un lenguaje de la lógica en términos de una interpretación

Interpretación S={b,p,q}; D={⊺, }; I(b)= , I(p)= , I(q)= ⊺ Una interpretación, I, para un lenguaje, L, es una definición de cada uno de los símbolos no lógicos de L en términos de algún dominio, v.gr.: S={b,p,q}; D={⊺, }; I(b)= , I(p)= , I(q)= ⊺

Modelo y consecuencia lógica Una interpretación, I, para un lenguaje, L, satisface o es modelo de una oración, P, si P es verdadera en I. En símbolos, Sean P y G una oración y un conjunto de oraciones, P es una consecuencia lógica de G sii cada interpretación que es modelo de todas las oraciones en G también es un modelo de P. En símbolos,

Semántica de la lógica de proposiciones La semántica de la lógica proposicional es una definición de la veracidad de una oración con respecto a una interpretación: I(P) = ⊺ sii I(P) =  I(P1  P2) = ⊺ sii I(P1) = ⊺ y I(P2) = ⊺ I(P1  P2) = ⊺ sii I(P1) = ⊺ o I(P2) = ⊺ I(P1  P2) = ⊺ sii I(P1) =  o I(P2) = ⊺ I(P1  P2) = ⊺ sii I(P1) es equivalente a I(P2)

P es universalmente válida, o tautológica, si es verdadera en cualquier interpretacion: Si por el contrario P es falsa en toda interpretación, decimos que es una contradiccion

Teoría Una teoría es un conjunto de oraciones el cual está cerrado bajo consecuencia lógica. Una teoría, G, es completa sii, para cada oración, P, P o bien P es miembro de G Una teoría, G, es inconsistente sii, para alguna oración P, y

Enfoque sintáctico versus enfoque semántico Satisfacción e inferencia están relacionadas por dos propiedades: Corrección: Calidad de cobertura: Corrección y calidad de cobertura no son conceptos cuyo sentido es absoluto en Lógica

Conclusiones Algunos cálculos son menos estructurados que otros Cálculos estructurados permiten la construcción de procedimientos de demostración, algunos de los cuales a su vez permiten construir un procedimiento de decisión Lógica proposicional es decidible