La estimacion de parametros

contenido Principio fundamental de la estimación de parámetros Un metodo grafico para la estimacion de parametros Ajuste de los parametros en una computadora

Principio fundamental de la estimación de parámetros

El proceso del modelado Definir los objetivos Preparar la informacion Formular el modelo Estimar los parametros Validar el modelo Qué sistema queremos modelar Para qué queremos modelar Bajo qué condiciones experimentales se va a usar el modelo

El proceso del modelado Estimar ganancias Constantes de tiempo Retardos Definir los objetivos Preparar la informacion Formular el modelo Estimar los parametros Validar el modelo Pruebas preparatorias Definir el protocolo del experimento y Recoger los datos Tipos de señal Lazo abierto o cerrado

El proceso del modelado Modelos de entrada/salida No parametricos Respuesta al impulso/paso finita (FIR/FSR) Parametricos Funcion de transferencia, auto-regresivo (ARX) Espacio de estados Modelo en espacio de estados lineales Definir los objetivos Preparar la informacion Formular el modelo Estimar los parametros Validar el modelo Definir la estructura y complejidad del modelo Modelo ({})

El proceso del modelado Definir los objetivos Preparar la informacion Formular el modelo Estimar los parametros Validar el modelo Tres aproximaciones Metodos graficos Metodos analiticos Metodos computacionales Seleccionar el modelo que mejor se ajuste a los datos Modelo ({*})

El proceso del modelado Definir los objetivos Preparar la informacion Formular el modelo Estimar los parametros Validar el modelo ¿Puede el modelo explicar otros datos medidos? Los límites de confianza del modelo son aceptables?

La estimacion de los parametros del modelo Y U Proceso Modelo Definir los objetivos Preparar la informacion Formular el modelo Estimar los parametros Validar el modelo La estimacion de los parametros consiste en ajustar los parámetros de una estructura de modelo elegida con el fin de ajustar la salida del modelo a los datos medidos de la salida del sistema

La estimacion de los parametros del modelo El ajuste de los parametros se puede realizar: Con metodos graficos El metodo de la curva de reaccion Mediante un procedimiento ejecutado en una computadora Minimizacion de una funcion objetivo (optimizacion) Objetivo del curso

Un metodo grafico para la estimacion de parametros

El metodo de la curva de reacción del proceso ¿Por qué usar el metodo de la curva de reaccion? Realmente no necesitamos un modelo más preciso Estamos interesados en el diseño de un controlador PID Otras razones No tenemos todos los datos necesarios para desarrollar un modelo fundamental del proceso (muy complejo) No tenemos tiempo para desarrollar un modelo fundamental del proceso (muy complejo) Los experimentos no son faciles de realizar (especialmente en los procesos quimicos)

Pasos del proceso de identificacion Permitir que el proceso alcance el estado estacionario Aplicar un paso en la variable de entrada Recoger lo datos de la respuesta de salida hasta que la ganancia del proceso alcance el estado estacionario Llevar a cabo el cálculo gráfico de curva de reacción del proceso

Clases de modelos obtenidos El metodo de la curva de reacción del proceso permite identificar solo algunos modelos simples: Primer orden mas tiempo muerto (FOPDT ) Segundo orden más tiempo muerto (SOPDT)

Primer orden mas tiempo muerto

Primer orden mas tiempo muerto

Ajuste de los parametros en una computadora

procedimiento para la estimacion de los parametros

Los modelos parametricos Los denominados modelos parametricos tienen un número finito de parámetros Relacionan las señales de interés del sistema: Entradas Salidas posiblemente Estados y Perturbaciones  Formular el modelo estructura y complejidad Modelo ({})

La estructura de los modelos En general, la estructura del modelo podría ser cualquiera Regresiones lineales o no lineales Modelos dinámicos (ODE) Modelos dinámicos fuzzy o redes neuronales, Otro,. . .

Salida medida y salida del modelo Error del modelo

El error del modelo El error de predicción del modelo se define como es la salida estimada por el modelo en el instante t.

Ejemplo: sistema de primer orden sin retardo Podemos asumir en el ejemplo que el sistema se puede representar con un modelo de primer orden sin retardo El modelado experimental consiste en ajustar los parámetros del modelo con el fin de que la salida del modelo se aproxime a los datos medidos

Objetivos de los métodos de estimación paramétricos Los métodos de estimación de parametros tienen por objetivo entonces estimar los parámetros del modelo considerado, de forma que, en algun sentido, el error de predicción sea mínimo. La estimacion de los parametros involucra un proceso de OPTIMIZACION

Objetivos de los métodos de estimación paramétricos Existen distintos criterios para realizar este ajuste de parámetros, entre los que cabe destacar el método de los mínimos cuadrados La estimacion de los parametros involucra un proceso de OPTIMIZACION

Objetivos del método de los mínimos cuadrados El problema a resolver consiste en hallar el vector de parámetros estimados tal que se minimize la funcion de costo: Funcion de costo, o Funcion de perdidas

Ejemplo 1: modelo con un parametro Se asumen las medidas de entrada salida mostradas en la figura

Ejemplo 1: modelo con un parametro Ganancia unitaria Se asume la estructura del modelo

Ejemplo 1: modelo con un parametro Valor de la funcion de costo para diferentes valores del parametro (en este caso la constante de tiempo)

Ejemplo 2: modelo con dos parametros Ganancia tambien desconocida Se asume la estructura del modelo

Ejemplo 2: modelo con dos parametros Curvas de nivel de la funcion de costo para diferentes valores de los parametros (en este caso la ganancia y la constante de tiempo)

Presencia de perturbaciones Hay muchas fuentes y causas de perturbaciones, Y U Proceso perturbaciones ruido a la entrada del sistema ruido que entra en alguna parte dentro del sistema ruido a la salida del sistema entradas exógenas al sistema

Los parametros estimados Siendo obtenidos de un experimento bajo la presencia de señales aleatorias Y es necesario estudiar sus propiedades estadisticas ¡Los parametros estimados son variables aleatorias!

Identificabilidad Si existe el vector de parámetros que minimiza el error Se dice entonces que el modelo es identificable es denominado el vector de parámetros “verdadero”

fuentes Morten Knudsen, Experimental modelling of dynamic systems (Lecture notes). Department of Control Engineering, Aalborg University. 2004.