Departamento de Informática Universidad Santa María Capítulo 8 Modelos de Líneas de Espera Prof. Héctor Allende O. Departamento de Informática Universidad Santa María

Introducción Una línea de espera es la resultante de un sistema cuando la demanda por un servicio supera la capacidad que puede proporcionar dicho servicio. Un sistema está formado por un conjunto de entidades que en paralelo proporcionan servicio a las transacciones que aleatoriamente ingresan al sistema

Ejemplos de Líneas de Espera Cajas en Bancos Tráfico en una Ciudad ( Terrestre o Aéreo) Redes de Comunicaciones y Computadores Tareas en un Computador Líneas de Producción e Inventario Talleres de Reparación Hospitales Estaciones de Bomberos Sistemas de Distribución o Logísticos Trabajos o Tareas que tenemos que hacer

Introducción Elementos de estudio de dichas líneas de espera serán entonces los tiempos asociados a cada uno de los procesos que se desarrollan y las llegadas de las transacciones al sistema. Debido a que las variables están fuera del control del tomador de decisiones, será necesario realizar el modelado utilizando procesos estocásticos.

de Servicio y vuelven a la Esquema Líneas de Espera Clientes que entran al Sistema de Servicio y Esperan ser Atendidos Instalaciones de Servicio Población o Fuente de Entrada de Clientes al Sistema Clientes Servidos salen del Sistema de Servicio y vuelven a la Población SISTEMA de SERVICIO Algunos Clientes pueden no entrar al sistema de Servicio

Definición Básica Una línea de espera puede modelarse como un proceso estocástico en el cual la variable aleatoria se define como el número de transacciones en el sistema en un momento dado. El conjunto de valores que puede tomar dicha variable es { 0, 1, 2, 3, 4,.......,N } y cada uno de ellos tiene asociada una probabilidad de ocurrencia {P0, P1, P2... ........., PN }

Objetivo del Estudio Determinar el nivel de servicio del sistema: Cantidad de entidades presente Velocidad del Servicio en el sistema Interesa minimizar el costo total del sistema Los costos de transacciones dan cuenta de la pérdida por tiempo de espera o la pérdida de clientes por abandono del sistema. Los costos de proporcionar el servicio, dan cuenta de los salarios, energía, mantención, etc.

Objetivo del estudio Matemáticamente : Min {Ct} = Ce S + C q Lq donde Lq= f {S,E(t),.......} Donde: S: Número de entidades que proporcionan servicio. E(t): tiempo promedio de Servicio. Lq: : Número de transacciones en espera. Ce : Costo de servicio por entidad - tiempo. Cq : Costo de servicio por transacción - tiempo. Ct : Costo total por unidad de tiempo

Optimización de Costos No. de Servidores Costo de servicio Ce.S Ct Costo de espera Cq.Lq $/tiempo Ct min S*

Líneas de Espera Los modelos de LE nos permitirán estudiar este tipo de fenómeno y determinar (en algunos casos): Tiempo de Espera Promedio de los Clientes Largo Promedio de la LE Factor de Utilización de Servidores Distribución Tiempos de Espera (Difícil) Tiempos Ociosos Eficiencia del Sistema Pérdidas de Clientes

Elementos Básicos de Modelos de Espera Población: Fuente de Entradas Tamaño : Infinito Finito Patrón de Llegadas : Tasa de Llegada Patrón de Salidas : Cliente Satisfecho Cliente vuelve a la l.e. Actitudes de los Clientes Cambios Renuncias Elusión

Estructura General Sistema Espera Servidores en paralelo Entrada al Sistema Salida del Sistema Fila Fuente de transacciones potenciales

Estructura Los elementos básicos constituyentes de un sistema de espera son los siguientes: Servidor Fila Transacciones Potenciales

Servidor Representa el mecanismo por el cual las transacciones reciben de una manera completa el servicio deseado. Sus principales características son: La Cantidad asignada a cada fila existente en el sistema. La distribución de probabilidad del Tiempo de Atención a las transacciones o (Velocidad de Servicio)

Fila Es el conjunto de transacciones que espera ser atendido por alguno de los servidores del sistema. Sus principales características son: Capacidad : es la cantidad máxima de transacciones que puede albergar cada fila existente en el sistema. De acuerdo a esto se clasifican en finitas o infinitas. Orden : es la forma como las transacciones son extraídas de la fila para su atención. Ejemplos: FIFO, prioridad, aleatorio, etc. Forma de salir : como sale de la fila mediante el proceso de servicio mediante factores de abandono : insatisfacción, desesperación, etc.

Transacciones Potenciales Representan el número de clientes potenciales que podría requerir el servicio proporcionado por el sistema. Sus principales características son: El Tamaño del conjunto de potencial de clientes. La distribución de probabilidad del Tiempo entre llegadas o tasa de entrada promedio.

Nomenclatura S número de servidores n número de clientes en el sistema N número máximo de clientes permitidos en el sistema n flujo de clientes que entran cuando hay n clientes en el sistema n capacidad del servidor cuando hay n clientes en el sistema E(t) tiempo promedio de proceso por cliente V(t) varianza del tiempo de proceso E(a) tiempo promedio entre llegadas V(a) varianza del tiempo entre llegada Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que entran al sistema. Coeficiente cuadrado de variación del tiempo de servicio. Coeficiente cuadrado de variación del flujo de clientes que salen del sistema.

Nomenclatura pij probabilidad de que el sistema cambie del estado i a un estado j después de un intervalo de tiempo Pn probabilidad en estado estable de que existan n clientes en el sistema L número promedio de clientes en el sistema Lq número promedio de clientes en la fila W tiempo promedio de permanencia en el sistema Wq tiempo promedio de permanencia en la fila  utilización promedio del servicio Ct costo total promedio del sistema de líneas de espera por unidad de tiempo Ce costo promedio de servicio por cliente por unidad de tiempo Cq costo promedio de espera por cliente por unidad de tiempo

Clasificación de Kendall y Lee Proponen un sistema de clasificación para los sistemas de líneas de espera, el cual considera seis de las características mencionadas en la estructura de los modelos. El cual tiene el siguiente formato (a/b/c)(d/e/f)

Clasificación de Kendall y Lee Donde a distribución de probabilidad del tiempo entre llegadas de las transacciones b distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio. Símbolos utilizados en estos dos primeros campos son: D: constante Ek: distribución Erlang con parámetro k G: cualquier tipo de distribución GI distribución general independiente H distribución hiperexponencial M distribución exponencial

Clasificación de Kendall y Lee c número de servidores d orden de atención de los clientes Símbolos utilizados en este campo son: FIFO : primeras entradas, primeros servicios LIFO: últimas entradas, primeros servicios SIRO: orden aleatorio PR: con base en prioridades GD: en forma general e número máximo de clientes que soporta el sistema en un mismo instante de tiempo f número de clientes potenciales del sistema de líneas de espera

Ejemplos Un modelo(M/D/3)(FCFS/20/20) representa la clasificación de un sistema donde existen 3 servidores en paralelo atendiendo de acuerdo con un orden de primeras entradas, primeras salidas, con un tiempo de servicio constante. El sistema tiene sólo 20 clientes potenciales, los cuales podrían encontrarse dentro del sistema en un mismo instante. El tiempo entre llegadas de los clientes sigue una distribución exponencial y, en caso de llegar y encontrar todos los servidores ocupados, pasan a formarse de una fila común.

Clasificación de Kendall y Lee Respetando la clasificación Kendall y Lee anterior, es posible agrupar los diferentes modelos de una manera donde los procesos Markovianos y los no Markovianos se separan claramente. Los Markovianos se dividen en modelos de capacidad finita y modelos de capacidad Infinita. Los No Markovianos, se clasifican en modelos con tiempos entre llegadas exponenciales y tiempos de servicios con cualquier tipo de distribución.

Mediante el cálculo de límite superior Clasificación de Kendall y Lee Mediante cadenas de Markov de estado finito Mediante el factor de corrección K (G/G/1) (FCFS/ / ) Mediante la fórmula de Pollaczek- Khintchine (M/G/1) (FCFS/  / ) (M/M/S) (d/N/f) (M/M/1) (FCFS/N/) (M/M/1) (FCFS/N/N) (M/M/S) (FCFS/N/) (M/M/S) (FCFS/N/N) Mediante cadenas de Markov y series geométricas (M/M/S) (d/  / ) (M/M/1) (FCFS/  / ) (M/M/S) (FCFS/  / ) Mediante el cálculo de límite superior (G/G/S) ( FCFS //) Mediante fórmulas generales

Medidas de desempeño Medidas de desempeño Utilización de Servicio Tasa de entrada Promedio Número Promedio de Clientes en el sistema Número promedio de Clientes en la fila Tiempo promedio de espera en el sistema Tiempo promedio de espera en la fila Coeficiente cuadrado de variación

Ecuaciones Generales Utilización de Servicio Tasa de entrada Promedio Número Promedio de clientes en el sistema

Ecuaciones Generales Número promedio de clientes en la fila Tiempo Promedio de espera en el sistema Tiempo promedio de espera en la fila

Ecuaciones Generales Coeficiente cuadrado de variación Tiempo entre llegadas Tiempo de servicio Tiempo entre salidas del servicio

Procesos Markovianos El proceso estocástico asociado a una línea de espera tiene la propiedad markoviana, es decir la probabilidad condicional de llegar a un estado futuro depende exclusivamente del estado actual en el que se encuentre el sistema, sin importar el estado inicial de dicho sistema. Las probabilidades condicionales deben cumplir con

Procesos Markovianos Las probabilidades de estado estacionario Pj representan el comportamiento probabilístico de cada estado del sistema a largo plazo y se calculan a partir de las probabilidades de transición de un paso de acuerdo con las probabilidades de transición de acuerdo con

Matriz de probabilidades a un paso Estado Futuro 0 1 2 . . . N 1 2 . . . N Estado Actual

Procesos Markovianos La matriz probabilidades a un paso genera un sistema de ecuaciones con N+1 incógnitas, N+1 ecuaciones independientes y una ecuación redundante que debe ser eliminada.

Matriz de probabilidades La solución a este sistema de ecuaciones origina los valores de las probabilidades estacionarias independientes del estado en que se encuentra el sistema inicialmente. Estado Futuro 0 1 2 . . . N 1 2 . . . N Estado Actual

Ejemplo Datos del ejemplo: Número total de observaciones del SM: 73 Intervalo entre observación: 5 Minutos Tabla de relaciones existente entre datos Estado Futuro 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Estado Actual

Ejemplo La matriz anterior se explica como: De las 73 observaciones, en 10 de ellas el sistema estuvo en estado 0 y 5 minutos después el sistema había permanecido igual en 3 ocasiones, había cambiado a estado 1 en 5 ocasiones, había cambiado a estado 2 en 2 ocasiones, y no se obsevaron cambios a los estados 3 y 4.

Ejemplo Calculando la probabilidad condicional de estado presente i al estado futuro j, se obtiene la siguiente matriz a un paso: Estado Futuro 0 1 2 3 4 1 2 3 4 Estado Actual

Ejemplo Donde claramente Aplicando las ecuaciones de estado estacionario a la matriz de un paso, se obtienen las ecuaciones

Ejemplo Resolviendo el sistema de ecuaciones Número promedio de transacciones en la cola

Procesos Markovianos Característica principal: Distribución de probabilidad que define la llegada y salida de transacciones del sistema: Poisson. Para un intervalo de tiempo t esta dado por:

Procesos Markovianos Condiciones que se deben cumplir Solamente puede ocurrir una llegada entre t y t. Solamente puede ocurrir una salida entre t y t. Solamente puede ocurrir una llegada o una salida entre t y t. Por lo que el cambio de estado de n a n+1 se lleva a cabo al ocurrir una llegada. Un cambio de estado de n a n-1 solo ocurre cuando se produce una salida.

Matriz de probabilidad a un paso Estado Futuro 0 1 2 3 . . . N-1 N 1 2 3 . N-1 N Estado Actual

Procesos Markovianos Lo cual conduce a:

Ecuaciones de Balance De la matriz se obtienen las ecuaciones de balance

Ecuaciones de Balance Sustituyendo se obtiene Resolviendo el sistema

Ecuaciones de Balance***** Generalizando Finalmente se obtiene

Ejemplo Una sala de espera de un servicio de emergencia (SE) tiene capacidad para 3 pacientes. Los usuarios llegan con una tasa de 8 por hora, con distribución de Poisson y son atendidos por una unidad de cuidados de emergencia (UCE) en 10 minutos con distribución exponencial. Si alguien llega al SE, y esta lleno, se retira a otro servicio cercano. Analizar el desempeño del servicio de emergencia (M/M/1) (FIFO/4/) Si se aumenta a dos UCE, evalúe el mejoramiento del desempeño del sistema (M/M2) (FIFO/5/)