Distribuciones muéstrales para la proporción El SAT decide realizar una auditoría a 2 de 5 empresas de una región cafetalera a fin de detectar si presentan anomalías en sus declaraciones del IETU. Con base en esa información se decidirá si es conveniente contratar personal para fiscalizar exclusivamente este aspecto. Supón que las empresas y su estatus respecto a dicho impuesto son las siguientes: Empresa Nombre Estatus 1 Aromático Café Regular 2 Buen Café 3 Cafemex 4 Delicoffe Irregular 5 El Diplomático

Porcentaje de empresas irregulares Analiza las 10 muestras posibles que se pueden obtener de esta pequeña población: Muestra Empresas (iniciales) Estatus (iniciales) Porcentaje de empresas irregulares 1 A, B R, R .00 2 A, C 3 A, D R, I .50 4 A, E 5 B, C 6 B, D 7 B, E 8 C, D 9 C, E 10 D, E I, I 1.00

Valor esperado de una proporción Realiza ahora una tabla para la distribución de probabilidad para la variable aleatoria X = proporción muestral de empresas irregulares. Valor esperado de una proporción X = Probabilidad .00 3/10 = .30 .50 6/10 = .60 1.00 1/10 = .10

Al igual que en la distribución muestral para las medias, esta diferencia es posible medirla si describes la desviación estándar de los valores de . Este valor es llamado error estándar de la proporción. Para el caso de una población infinita, o bien cuando el tamaño de la muestra es pequeño, lo que significa que representa 5% o menos de la población (n/N≤0.05): Para el caso en que la población sea finita o el tamaño de la muestra sea grande, este valor se multiplica por un factor de corrección:

En este ejemplo, se considera que la muestra es grande, ya que comparada con el tamaño de la población representa un 40% de la misma, por lo que aplicando el factor de corrección se obtiene lo siguiente: La distribución muestral para  se aproxima a la distribución normal cuando el tamaño de la muestra es grande, para lo cual debes verificar que se cumplan las dos condiciones siguientes: np≥5  nq≥5.

Ejemplo Supón que en una población el 30% está conforme con el desempeño del presidente municipal, pero éste no lo sabe. Por lo que ordena realizar un sondeo de opinión a una muestra aleatoria de 50 habitantes. ¿Qué probabilidad hay de que esta muestra le arroje un valor de popularidad de 25% o menor? En este problema supón el valor de p =.30; por lo que el error estándar de la proporción está dado por Dado que np = (50)(.30) = 15 y  np = (50)(.70) = 35; entonces puedes utilizar una distribución normal para contestar a la pregunta: 

Tipos de estimadores Los valores que son obtenidos por medio de encuestas para estimar los valores de la media o proporción poblacionales, son llamados estimadores puntuales de sus correspondientes valores poblacionales. Una buena estimación puntual de un valor cumple con las siguientes propiedades:

Cuando el caso lo requiere, se puede hacer una estimación que considere el error estándar de estimación para que sea tomado en cuenta al tomar decisiones. Este tipo de estimación se le llama estimación por intervalo y será abordada en los siguientes temas.

Ejercicios El 25% de los alumnos que tienen clase a las 7 de la mañana son impuntuales, de acuerdo a la opinión de los profesores. ¿Cuál es la probabilidad de que en una muestra de 50 alumnos que tienen clase a las 7 a.m. esta proporción sea inferior a .20? ¿De qué tamaño deberá ser la muestra si deseamos que la estimación de la proporción no difiera en más de un 5% del valor verdadero de la población?

Una compañía encuestadora realizó un estudio de opinión sobre los candidatos a diputados federales por un distrito. Se realizó una encuesta a 444 ciudadanos. Como inicialmente la compañía no tiene idea de la proporción poblacional que se manifestará a favor de un determinado candidato, supone lo peor, es decir la incertidumbre equivalente al lanzamiento de un volado, p=.50. ¿Cuál es la probabilidad de que la encuesta dé una proporción muestral que se encuentre a ±.05 de la proporción verdadera? ¿Cuál es la probabilidad de que la encuesta dé una proporción muestral que se encuentre a ±.03 de la proporción verdadera? ¿Cuál es la probabilidad de que la encuesta dé una proporción muestral que se encuentre a ±.02 de la proporción verdadera? El Instituto Estatal de la Mujer en San Luis Potosí ha lanzado una campaña de concientización contra la violencia hacia las mujeres llamada “no sólo los golpes lastiman”. En uno de los carteles que componen la campaña se afirma que 2 de cada 10 mujeres casadas o que viven en unión libre manifiestan que su pareja les ha prohibido trabajar o estudiar. Si damos por válido esta proporción y se realiza una encuesta a 50 mujeres, ¿Qué probabilidad hay de que un 22% o más mujeres manifiesten que su pareja les ha prohibido trabajar o estudiar? ¿Cómo cambiaría el valor anterior si se encuesta a 200 mujeres?

Se piensa que el 20% de las familias mexicanas están conformadas por 6 miembros o más. Suponiendo que esto sea cierto y que se selecciona una muestra aleatoria de 250 familias para corroborarlo, ¿Qué probabilidad hay de que la proporción muestral esté a ±0.04 de la proporción poblacional? ¿Cómo cambiaría el inciso anterior si la muestra fuera de 600 familias? Se cree que más del 75% de los huéspedes que visitan un hotel de gran lujo hacen uso del servicio de Internet inalámbrico. Se va a usar una muestra aleatoria simple de 120 huéspedes para estimar la proporción de los que usan la conexión inalámbrica a Internet. Suponiendo que la creencia es cierta, ¿Qué probabilidad hay de que la proporción muestral esté entre 0.65 y 0.85? ¿Cuál es la probabilidad de que la proporción muestral esté entre 0.70 y 0.80?