Una relación entre Hipótesis del Continuo, Cardinales Inaccesibles y Problema de la Medida Luz Victoria De La Pava Castro Universidad del Cauca

Ordinales Una extensión de los números naturales

Un ordinal es un conjunto transitivo bien ordenado por la relación de pertenencia ∈. Un conjunto A es transitivo si cada elemento de A es un subconjunto de A. El orden en los ordinales es:

CARDINALES Ejemplos  es un cardinal.  + 1 no es un cardinal. no es un cardinal.

LOS ALEPHS

Hipótesis del Continuo (HC). Conjetura de Cantor EL TAMAÑO DEL CONTINUO

HC es independiente de ZFC. Es decir, si ZFC es consistente, ZFC + HC y ZFC + ¬HC son consistentes. Kurt Gödel, en 1938, construyó un modelo de ZFC, la clase de los conjuntos constructibles, L, de tal manera que L ⊧ HC. Paul Cohen, en 1963,con la técnica del forcing, construyó un modelo en el que vale ¬HC. Existen modelos de la teoría de conjuntos en los que

Cardinales Límites Cofinalidad

Ejemplo

Un cardinal débilmente inaccesible o simplemente inaccesible es un cardinal no numerable y regular. En ZFC no se puede demostrar la proposición: existe un cardinal inaccesible Cardinales Inaccesibles

MEDIDA

Una medida (σ-aditiva probabilística no trivial) sobre un conjunto no vacío S es función μ : ℘ (S) → [0,1] que satisface las siguientes propiedades :

Una medida sobre una  -álgebra S de conjuntos es una función  de valor real, con dominio S, que satisface las 4 propiedades anteriores. Una medida sobre S es una medida sobre ℘ (S ) Ejemplo: La Medida de Lebesgue sobre el intervalo [0,1]

La Medida de Lebesgue Satisface :

Bajo AC se prueba que: No todos los conjuntos de números reales son Lebesgue medibles Problema de la medida ¿Existe alguna medida σ-aditiva sobre [0,1] que extienda la medida de Lebesgue?

Respuesta parcial: (Bajo AC) No existe una medida σ -aditiva sobre ℝ que extienda la medida de Lebesgue y que satisfaga la propiedad de invariancia bajo traslaciones.

El continuo: ¿más que inaccesible? Si existe una medida σ-aditiva sobre ℝ que extienda la medida de Lebesgue entonces existe un cardinal débilmente inaccesible κ tal que

Cardinales Grandes Cardinales Supercompactos Cardinales medibles Cardinales Mahlo Cardinales fuertemente compactos