Medidas de Dispersión

Introducción El concepto de variabilidad juega un papel importante en estadística, de hecho sin variación la estadística no tendría razón de ser. En la realidad, la gran mayoría de los hechos y acontecimientos suceden mostrando variaciones de mayor o menor intensidad.

Introducción Básicamente, al analizar un conjunto de datos se tiene en mente 2 objetivos: Intentar descubrir tendencias que puedan existir en el conjunto de datos y resumirlas a través de un valor típico (un promedio por ejemplo) Se procura establecer en qué medida los datos se concentran o dispersan alrededor de ese valor típico. ‘Es casi tan importante conocer la media como conocer la variabilidad de los datos alrededor de ella’’

Introducción La validez de un promedio para representar un conjunto de datos, depende en gran medida de si los datos individuales se concentran o dispersan alrededor de él. Las medidas de dispersión miden qué tanto se dispersan las observaciones alrededor de su media.

Formas de medir la variabilidad Existen distintas formas de medir la variabilidad o dispersión Recorrido Desviación media Varianza Desviación estándar Coeficiente de variación

Recorrido Una forma natural de apreciar la variabilidad es considerar los valores extremos. El rango se define como la diferencia entre el dato de mayor y el de menor valor. Es la medida de dispersión más fácil y menos útil.

Recorrido Su limitación está en que no toma todos los valores del conjunto de datos. Sólo considera dos (el máximo y mínimo) Otra desventaja es lo sensible ante valores extremos o atípicos (outliers).

Desviación Media Se sabe que la suma de las diferencias de cada dato con respecto a su media es igual a cero. Para obviar este problema se puede emplear la suma de los valores absolutos de las diferencias y dividirlas por el número de datos para obtener una medida de dispersión promedio.

Desviación Media El símbolo ‘| |’ indica que sólo debe considerarse el valor absoluto, ignorando el signo. Ejemplo: Se tienen los siguientes datos: 3, 10, 2, 8, 7 = 6

Varianza y Desviación Estándar La Varianza es el promedio de las desviaciones respecto a su media, elevadas al cuadrado. Esto es: (1) Se encuentra la distancia de cada observación con respecto a su media (2) se elevan al cuadrado dichas desviaciones, y (3) se halla la media de tales desviaciones elevadas al cuadrado.

Varianza y Desviación Estándar La varianza para una población (σ²) es: Donde μ es la media de la población, N el número de observaciones y Xi cada observación individual.

Varianza y Desviación Estándar La desviación estándar poblacional es: La desviación estándar es la raíz cuadrada de la varianza. Ejemplo: Un empleado vende todas las pólizas de seguro asignadas en un día. Los precios son (en US$): 110, 145, 125, 95, 150

Varianza y Desviación Estándar Calculamos la media: La varianza se halla: (1) restando la media de 125 a cada una de las observaciones, (2) elevando al cuadrado cada una de estas observaciones, y (3) hallando el promedio de estas desviaciones al cuadrado.

Varianza y Desviación Estándar A pesar del uso común de la varianza, presenta dos inconvenientes: es un número muy grande respecto a las observaciones, lo que la vuelve difícil para trabajar. Otro inconveniente es que se expresa en término de los datos originales al cuadrado, en este caso US$², que no tiene sentido o lógica.

Varianza y Desviación Estándar Sin embargo, ambas complicaciones se resuelven hallando la desviación estándar: La desviación estándar es de US$20,74. Lo que significa que los precios fluctúan en promedio US$20.74 alrededor de la media de US$125.

Varianza y Desviación Estándar La varianza para una muestra es: La desviación estándar muestral es:

Coeficiente de Variación Se utiliza para comparar dos o más distribuciones (o muestras). El coeficiente de variación nos es útil cuando las unidades de medida de los datos no son las mismas (resulta ilógico comparar, por ejemplo, gramos con kilómetros). Por otro lado también resulta útil cuando, a pesar de tener la misma unidad de medida, la magnitud de los datos no son similares, o cuando el promedio tiene una diferencia importante.

Coeficiente de Variación El coeficiente de variación es una medida de dispersión relativa , que no depende de la magnitud de los datos ni de la unidad de medida de ellos. Indica la importancia de la desviación estándar respecto a la media.

Coeficiente de Variación Ejemplo: Los siguientes datos se refieren a la estatura de niñas de 2 y 16 años (en centímetros) Es evidente que exista mayor variabilidad en el grupo de niñas de 16 años, ya que la desviación estándar es mayor Edad Estatura Promedio Desviación Estándar 2 84 3 16 160 5

Coeficiente de Variación Sin embargo al calcular los coeficientes de variación se descubre que son muy parecidos, resultando curiosamente inferior el coef del grupo de niñas de 16. La dispersión relativa de ambos grupos es muy similar.