Tópicos Especiales en Computación Numérica La Universidad del Zulia Facultad de Ingeniería División de Estudios para Graduados Asignatura: Tópicos Especiales en Computación Numérica Modelos matemáticos en ingeniería y análisis de error Modelos matemáticos Aritmética del computador Aproximaciones y errores de redondeo Las series de Taylor y errores de truncamiento Prof. Luis Zerpa, M.Sc. Email: lzerpa@ica.luz.ve

Modelos matemáticos Un Modelo matemático es una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o proceso en términos matemáticos Variable dependiente: característica que refleja el comportamiento o estado de un sistema Variables independientes: generalmente dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema Parámetros: son las propiedades o la composición del sistema Funciones de fuerza: influencias externas que actúan sobre el sistema

Un modelo matemático simple Segunda Ley de Newton a: variable dependiente F: función de fuerza m: parámetro que representa una propiedad del sistema Por su forma algebraica sencilla puede despejarse directamente

Un modelo matemático más complicado Segunda Ley de Newton para determinar la velocidad terminal de caída libre de un cuerpo cerca de la superficie de la Tierra (paracaidista) g: aceleración de la gravedad c: coef. de arrastre Sustituyendo F Es una ecuación diferencial Solución analítica *Hay casos donde es imposible obtener una solución analítica

Un modelo matemático más complicado Solución numérica Se busca una aproximación a la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo con una diferencia finita dividida Sustituyendo Solución numérica *Es necesario el valor de la velocidad en un tiempo inicial ti

Un modelo matemático más complicado Solución analítica vs. Solución numérica *mejor solución numérica implica mayor costo computacional

Aproximaciones y errores de redondeo Dos errores más comunes en métodos numéricos Errores de redondeo: se deben a que la computadora sólo puede presentar cantidades con un número finito de dígitos Errores de truncamiento: representan la diferencia entre una formulación matemática exacta de un problema y la aproximación dada por un método numérico

Aproximaciones y errores de redondeo Cifras significativas El concepto de cifra significativa se ha desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden ser usadas en forma confiable

Aproximaciones y errores de redondeo Implicaciones de las cifras significativas en los métodos numéricos Los métodos numéricos obtienen resultados aproximados Se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas Ciertas cantidades representan números específicos, , e, √7, pero no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos Ejemplo,  = 3.141592653589793238462643… hasta el infinito En las computadoras tales números jamás se podrán representar en forma exacta A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo

Exactitud y precisión EXACTITUD: se refiere a qué tan cercano está un valor calculado o medido del valor verdadero PRECISIÓN: se refiere a qué tan cercano está un valor individual calculado o medido con respecto a otros INEXACTITUD: o sesgo, se define como un alejamiento sistemático de la verdad IMPRECISIÓN: o incertidumbre, se refiere a la magnitud del esparcimiento de los valores

Exactitud y precisión Los métodos numéricos deber ser: Lo suficientemente exactos o sin sesgo para que cumplan con los requisitos de un problema particular de ingeniería Lo suficientemente precisos para el diseño en ingeniería Aumenta la exactitud Aumenta la precisión

Definiciones de error Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las operaciones y cantidades matemáticas Estos incluyen: Errores de redondeo: se producen cuando los números tienen un limite de cifras significativas que se usan para representar números exactos Errores de truncamiento: que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto

Definiciones de error Error verdadero Error relativo porcentual Un defecto de esta definición es que no toma en cuenta el orden de magnitud del valor que se esta probando Error relativo porcentual Error aproximado Los signos de las ecuaciones pueden ser positivos o negativos No importa el signo, sino que su valor absoluto sea menor que una tolerancia prefijada s

Definiciones de error Estos errores pueden ser relacionados con el número de cifras significativas en la aproximación Puede tenerse la seguridad de que el resultado es correcto en al menos n cifras significativas, si De esta forma se debe especificar el valor del error esperado

Representación de punto flotante y errores de redondeo Hay un rango limitado para representar cantidades Hay números grandes positivos y negativos que no pueden ser representados (overflow) No pueden representarse números muy pequeños (underflow) Hay sólo un número finito de cantidades que puede ser representado dentro de un rango El grado de precisión es limitado Para aquellos que no pueden ser representados exactamente, la aproximación real se puede lograr: cortando o redondeando El intervalo entre números aumenta tanto como los números crecen en magnitud El error cuantificable más grande ocurrirá para aquellos valores que caigan justo debajo del limite superior de la primera serie de intervalos igualmente espaciados

Manipulación aritmética de números en la computadora Junto con las limitaciones del sistema numérico de una computadora, las manipulaciones aritméticas pueden dar como resultado errores de redondeo Para ilustrar el efecto del error de redondeo en operaciones aritméticas comunes emplearemos una computadora decimal hipotética con una mantisa de 4 dígitos y exponente de 1 dígito

Manipulación aritmética de números en la computadora Suma Cuando dos números de punto flotante son sumados, el número de la mantisa con menor exponente es modificado de tal forma que los exponentes sean los mismos, para alinear el punto decimal Ejemplo: 0.1557 ∙ 101 + 0.4381 ∙ 10-1 0.4381 ∙ 10-1  0.004381 ∙ 101

Manipulación aritmética de números en la computadora Resta La pérdida significativa durante la resta de números casi iguales es una gran fuente de errores de redondeo en métodos numéricos Se agrega un cero que no es significativo Se agregan tres ceros que no son significativos

Manipulación aritmética de números en la computadora Multiplicación Los exponentes se suman y la mantisa se multiplica Ejemplo: 0.1363 ∙ 103  0.6423 ∙ 10-1 = 0.08754549 ∙ 102  0.8754 ∙ 101 Cálculos grandes Ciertos métodos requieren un número extremadamente grande de operaciones aritméticas Generalmente los cálculos son dependientes de los resultados previos En consecuencia, incluso el error de redondeo individual puede ser pequeño, pero acumulando esos efectos durante el proceso puede ser significativo

Manipulación aritmética de números en la computadora Suma de un número grande y uno pequeño Puede no estar realizando la suma Este tipo de error puede ocurrir cuando se calculan series infinitas El término inicial dentro de cada serie es a menudo relativamente grande en comparación con los otros términos, después de sumar algunos términos estamos en la situación del ejemplo Para reducir este tipo de errores se suma la serie en reversa

Serie de Taylor y errores de truncamiento La serie de Taylor provee un medio para predecir el valor de una función en un punto en términos del valor de la función y sus derivadas en otro punto Es una serie infinita Se incluye el término residual para considerar todos los términos desde n+1 hasta el infinito donde : n indica que el residuo es de la aproximación a enésimo orden  es un valor cualquiera de x que se encuentra entre xi y xi+i

Serie de Taylor y errores de truncamiento El valor práctico de las series de Taylor está en el uso de un número finito de términos que darán una aproximación lo suficientemente cercana a la solución verdadera La decisión sobre cuantos términos se requieren para obtener una aproximación razonable se basa en el término residual de la expansión

Serie de Taylor y errores de truncamiento Desventajas de la formula del residual El punto  no se conoce con exactitud, sólo se sabe que está entre xi y xi+i Se requiere evaluar la (n+1) derivada de f(x). Pero no se conoce f(x)

Serie de Taylor y errores de truncamiento Sin embargo, todavía resulta útil la formula del residual para la evaluación de errores de truncamiento Se puede decidir qué tan lejos de x se desea evaluar f(x) Se puede controlar la cantidad de términos incluidos en la expansión El residual se expresa usualmente como Rn = O(hn+1) O(hn+1) significa que el error de truncamiento es de orden hn+1 El error es proporcional al paso de h elevado a la (n+1) potencia

Serie de Taylor y errores de truncamiento El residuo para la expansión en serie de Taylor Truncando la expansión en serie de Taylor después del término de orden cero se obtiene El residuo o error de la predicción consiste en la serie infinita de términos que fueron truncados xi xi+1 f(xi) R0

Serie de Taylor y errores de truncamiento Truncando el residuo Utilizando el teorema del valor medio Se puede hacer la extensión para ordenes superiores xi xi+1 

Error numérico total El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y redondeo En general, para minimizar el error de redondeo se incrementa el número de cifras significativas del computador El error de redondeo se incrementa tanto por la cancelación por resta como por un incremento en el número de cálculos Por otro lado, el error de truncamiento puede reducirse por un tamaño de paso más pequeño Disminuir el tamaño de paso puede promover la cancelación por resta e incrementar el número de cálculos Así, los errores de truncamiento pueden ser disminuidos mientras los errores de redondeo ser incrementados