El Consumidor: La Optimización Microeconomía Avanzada

Agregación Optimización y estática comparada Bienestar Panorámica Oportunidade s y Preferencias Oportunidade s y Preferencias Agregación Oprtunidades y Preferencias Bienestar El consumidor

Lo que haremos:  Queremos resolver el problema de optimización del consumidor... ...utilizando métodos que ya hemos introducido.  Esto nos permite reciclar conocimientos ya adquiridos  Queremos resolver el problema de optimización del consumidor... ...utilizando métodos que ya hemos introducido.  Esto nos permite reciclar conocimientos ya adquiridos

Ayudita Intente ver de nuevo el capitulo 2 de la empresa......busque los puntos de comparación.

El Consumidor Oportunidades y preferencias Oportunidades y preferencias Optimización y estática comparativa Agregación Bienestar Lecciones de la empresa La ecuación de Slutsky Lecciones de la empresa Primal y Dual La ecuación de Slutsky El óptimo del consumidor

El Consumidor intenta maximizar la utilidad.... incremento en las preferencias x1x1 x2x2

...sujeto a la restricción presupuestaria x2x2 x1x1 Este es conocido como el problema primal... sujeto a U(x)U(x) max  p i x i  M n i=1 incremento en preferencias Solución al problema primal x* Pero hay otra manera de ver esto... Restricción

Alternativamente el consumidor intenta minimizar costos... reducir costos x2x2 x1x1

... sujeto a una restricción de utilidad u x2x2 x1x1 Este enfoque alternativo se llama el problema dual sujeto a  p x n i=1 i i U(x)  u min reducir costos x* La solución al problema dual Conjunto restricción

Pero... ? ? ? donde hemos visto antes el problema dual...

minimización de costos de la empresa z 1 z 2 z* Q _ reducir costos

Dos tipos de minimización de costos: La similitud entre los dos problemas no es mera casualidad. Podemos usarla para ahorrarnos trabajo. TODOS los resultados del problema de la empresa que obtuvimos para la etapa 1 pueden ser utilizados. Sólo necesitamos traducirlos en forma inteligente.

El Consumidor Opportunidades y Preferencias Opportunidades y Preferencias Optimisación y Estática Comparada Agregación Bienestar Lecciones de la empresa La ecuación de Slutsky Primal y Dual La ecuación de Slutsky El óptimo del Consumidor

Comparando la minimización de costos de la empresa z 1 z 2 z* Q _ reducir costos u x2x2 x1x1 reducir costos x* y para el consumidor la diferencia está solo en la notación de modo que las funciones solución y las funciones de respuesta deben ser las mismas de modo que las funciones solución y las funciones de respuesta deben ser las mismas Repasemos las formalidades de la solución... Use las CPO En x* encontramos

Si tanto i como j son comprados... relación TMS = de Precios _______ = U i (x) p i U j (x) p j

Un conjunto de n +1 condiciones  U 1 (x*) = p 1  U 2 (x*) = p  U n (x*) = p n Restricción de utilidad uno para cada bien Y si las curvas de indiferencia tocan los ejes... u = U(x*)  U 1 (x*)  p 1  U 2 (x*)  p  U n (x*)  p n multiplicadores de Lagrange   Resultado ?

La solución... Obtenemos un valor de costo mínimo (gasto mínimo) para cada bien......para el multiplicador de Lagrange......y, por supuesto, para el costo total mínimo (gasto total mínimo). Cada uno de ellos puede ser escrito en función del precio (p) y de la utilidad (u). Veamos...

La solución es la función de costo del consumidor o su función de gasto- C(p, u) := vector de pricios de los bienes vector de pricios de los bienes Nivel de Utilidad min  p i x i {U(x)  u}

 No decreciente en precios-  Creciente en al menos un precio  Creciente en utilidad.  Concava en p  Homogenea de grado uno en p.  El Lema de Shephard. La función de costos tiene las mismas propiedades que las de la empresa.

Y por supuesto otros resultados se siguen: El Lema de Shephard da la demanda como función de los precios y el nivel de utilidad. Las propiedades de la función solución determina la conducta de las funciónes respuesta. Los resultados del corto plazo pueden usarse para modelar restricciones laterales tales como el racionamiento. El Lema de Shephard da la demanda como función de los precios y el nivel de utilidad. Las propiedades de la función solución determina la conducta de las funciónes respuesta. Los resultados del corto plazo pueden usarse para modelar restricciones laterales tales como el racionamiento.

La tiene clara? Aquí viene un apretado resumen...

Minimización de costo de la empresa z i * = H i (w,Q) C(w,Q)C(w,Q) C(w,Q)C(w,Q) min z  w i z i sujeto a G(z)  Q i m  1 Problema......solución respuesta:

Minimización de costos del consumidor: x i * = H i (p,u) C(p,u)C(p,u) C(p,u)C(p,u) Problema......solución respuesta: min x  p i x i sujeto a U(x)  u i n  1

Los problemas de minimización de costo son idénticos z i * = H i (w,Q) C(w,Q)C(w,Q) C(w,Q)C(w,Q) min z  w i z i sujeto a G(z)  Q i m  1 Problem......solution respuesta: Ahora volvamo s atrás...

El Consumidor Oportunidades y Preferencias s Oportunidades y Preferencias s Optimisación y estática Comparada Agregación Bienestar Lecciones de la empresa La ecuación de Slutsky Primal y Dual Lecciones de la empresa El óptimo del consumidor

El Problema Primal x2x2 x1x1 incremento en preferencias x* u x2x2 x1x1 reducir costos x* Asi podemos relacionar sus funciones de solución con sus funciones de respuesta. Asi podemos relacionar sus funciones de solución con sus funciones de respuesta. y el problema dual son equivalentes Repasemos el problema primal De nuevo use las CPO En x* encontramos...

Si i y j son comprados... relación TMS = de precios _______ = U i (x) p i U j (x) p j (igual que antes)

Un conjunto de n +1 condiciones U 1 (x*) =  p 1 U 2 (x*) =  p U n (x*) =  p n (limitante) restricción presupuestaria una por cada bien Y si las curvas de indiferencia tocan los ejes... U 1 (x*)   p 1 U 2 (x*)   p U n (x*)   p n Multiplicadores de Lagrange  p i x i * = M n i=1   Resultado?

La solución. Obtenemos un valor que maximiza la utilidad para cada bien......para el multiplicador de Lagrange......y por supuesto para la función de utilidad. Cada uno de los anteriores puede ser escrita en función de los precios (p) y del ingreso (M). Veamos...

La solución es la función de utilidad indirecta V(p, M) :=  i=1 p i x i  M  n ingreso monetari o vector de precios de los bienes vector de precios de los bienes max U(x) sujeto a

u = V(p, M) Así como la función de costo relaciona precios y utilidad con el ingreso mínimo... M = C(p, u) Las dos funciones solución deben ser compatibles entre sí. Dos lados de la misma moneda de igual modo la función indirecta de utilidad relaciona precios e ingreso con la utilidad máxima. La función indirecta funciona como una “inversa” a la función de costo. u = V(p, C(p,u)) M = C(p, V(p, M)) Algunas veces identidades inocuas como éstas pueden hacer cosas interesantes

 No decrecientes en todos los precios.  Decreciente en al menos un precio.  Creciente en ingreso.  Cuasi convexo en precios.  Homogeneos of grado 0 en p, M  La Identidad de Roy. (Todo lo cual puede encontrarse haciendo uso de las propiedades de las funciones de costos) La función de utilidad indirecta posee algunas propiedades familiares...

Identidad de Roy...??? u = V(p, M) (...use la definición del óptimo) = V(p, C(p,u)) 0 = V i (p, C(p,u)) + V M (p, C(p,u)) C i (p,u) (...Diferenciando) 0 = V i (p, M) + V M (p, M) x i * (...usando el Lema de Shephard.) entonces.. La funcion de demanda corriente para el bien i

Maximización de utilidad:resumen V(p,M)V(p,M)...solución respuesta: Problema... max U(x) sujeto a  i=1 p i x i  M n

Minimización de costos del consumidor C(p,u)C(p,u)...solución respuesta: x i * = H i (p,u) Problema...

Dos enfoques equivalentes PRIMAL max utilidad sujeto a una restricción presupuestaria La Solución es una función de (p,M) DUAL min presupuesto sujeto a una restricción de utilidad La Solución es una función de (p,u)

Relaciones funcionales básicas. Hi(p,u)Hi(p,u) Di(p,M)Di(p,M) V(p,M)V(p,M) demanda compensada para el bien i utilidad indirecta demanda ordinaria por el bien i C(p,u)C(p,u) costo(gasto) Usaremos estos resultados para enganchar algunas importantes relaciones en el próximo capitulo. H es tambien conocida como la demanda "Hicksiana". H es tambien conocida como la demanda "Hicksiana".