ESTADISTICA I CSH M. en C. Gal Vargas Neri

Planeación del curso TEMA CAP. TITULO DÍAS SEM FEC FIN TEMA 0 MOTIVACION Y PLANEACION 1 11/01 TEMA I 1-2 ESTADISTICA Y MEDICION 2 15/01 TEMA II 2-3 BASES DE DATOS Y ESTADISTICOS DESCRIPTIVOS 6 29/01 TEMA III 4-5 DISTRIBUCIONES DE PROB. 15/02 Primer Evaluación 17/02 TEMA IV 5-6 INTRODUCCION A LA INFERENCIA 22/02 TEMA V 7 DISTRIBUCIONES EN EL MUESTREO 05/03 TEMA VI 8 ESTIMACION PUNTUAL DE PARAMETROS 4 13/03 Segunda 9 15/03 TEMA VII ESTIMACION POR INTEVALO 5 9-10 26/03 TEMA VIII MUESTEO ALEATORIO SIMPLE 3 11 31/03 Tercer EG Evaluación global

PLANEACION DE ESTADISTICA I CSH TEMARIO

Con un 95% de confianza sé que  está entre 40 y 60. Proceso de Estimación Población Muestra aleatoria Con un 95% de confianza sé que  está entre 40 y 60. , es desconocida X = 50 Muestra

Estimación de Parámetros Poblacionales Estimador Poblacional Con muestra Parámetro... Estadística _ Media  X Proporción p p s 2 Varianza  2 s _ _ Diferencia  -  x - x 1 2 1 2

Éstas son un número infinito Distribución Normal Éstas son un número infinito Variación de los Parámetros  y , se obtiene Distribuciones Diferentes de Normal.

El Modelo Matemático f(X) = frecuencia de variable aleatoria X  = Desviación estándar de población X = valor variable aleatoria (- < X < )  = media de población

Distribución Normal: Encontrando Probabilidades Probabilidad es el área debajo de la curva¡ ? )  P ( c  X  d f(X) X c d

¿Cuál Tabla? ¿Cada distribución tiene su propia tabla? ¡Infinidad de Distribuciones Normales significa infinidad de tablas para buscar!

Estandarización de una variable aleatoria normal  X x1  x2 Z z1 0 z2 Distribución Normal Distribución Normal Estandarizada

Asignación de Normalidad Compare las características de los datos con las propiedades de la distribución normal Poner los datos en un arreglo ordenado Encontrar correspondencia con los cuartiles de la distribución normal estandarizada Dibujar los pares de puntos Ajustar una línea recta

Ejercicios de Distribución Normal 1. Una fábrica de alimentos empaca productos cuyos pesos están distribuidos normalmente con media de 450 gramos y desviación estándar de 20 gramos. Encuentre la probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos. Solución  = 450 gramos  = 20 gramos P(425 < X > 486) = ? Determinar la variable aleatoria relacionada

Ejercicios de Distribución Normal Elaborar gráfica del problema 425 450 486 Cálculos    P ( 425 <X < 486 ) = P ( -1.25 < Z < 1.80 )

Ejercicios de Distribución Normal Encontremos la probabilidad utilizando la tabla P ( Z < 1.80 ) – P(Z < -1.25) = 0..9641 - .1056 = 0.8585 Entonces: La probabilidad de que un paquete escogido al azar pese entre 425 y 486 gramos es de 0.8585.

Ejercicios de Distribución Normal 2. Cierto tipo de pieza para automóvil tiene un promedio de duración de 3 años con una desviación estándar de 0.5 años. Suponga que la duración de las piezas esta distribuida normalmente , encuentre la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3.5 añosSolución Datos  = 3.0 años  = 0.5 años X > 3.5 años Determinemos la variable aleatoria relacionada

Ejercicios de Distribución Normal Elaborar gráfica del problema 3.0 3.5 Cálculo P ( X > 3.5 ) = P ( Z > 1.0 )

Ejercicios de Distribución Normal Encontremos la probabilidad utilizando la tabla P ( Z > 1.0 ) = .5 - .3413 = 0.1587 Conclusión la probabilidad de que una pieza determinada tenga un tiempo de duración de más de 3.5 años es de 0.1587

Ejercicios de Distribución Normal 3. En un examen la calificación promedio fue 3.5 y la desviación estándar 0.3. Las calificaciones siguen una distribución normal. a) ¿ Qué porcentaje de estudiantes tuvo notas por debajo de 2.0? b) ¿ Qué porcentaje de estudiantes tuvo notas por encima de 4.0. Solución Datos  = 3.5  = 0.3 X < 2.0 X > 4.0 Determinaremos la variable aleatoria relacionada

Ejercicios de Distribución Normal Elaborar gráfica del problema 2.0 3.5 4.0 Cálculos P ( X < 2.0 ) = P ( Z < -5.0 ) P (X > 4.0) = P (Z > 1.67)  

Ejercicios de Distribución Normal Encontrar la probabilidad utilizando la tabla P ( Z < -5.0 ) = 0 P ( Z > 1.67) = .5 - .4525 = .0475 Conclusión Ningún estudiante obtuvo calificaciones por debajo de 2.0 y solamente el 4.75% obtuvo calificaciones por arriba de 4.0.  

PROPIEDADES DE LA DISTRIBUCIÓN JI- CUADRADA 1. Los valores de 2 son mayores o iguales que cero. 2. La forma de una distribución 2 depende de gl = n -1. 3. El área bajo una curva 2 y sobre el eje horizontal es 1 4. Las distribuciones 2 no son simétricas. Tienen colas estrechas que se extienden hacia la derecha; esto es, están sesgadas hacia la derecha. 5. Cuando n > 2, la media de la distribución 2 es n -1 y la varianza es 2(n-1). gl=3 gl=5 gl=10

Ji - cuadrada Tiene un sólo parámetro denominado grados de libertad. La función de densidad se hace más simétrica incluso casi gaussiana cuando aumenta el número de grados de libertad. Normalmente consideraremos atípicos aquellos valores de la variable de la “cola de la derecha”.

Estimación de la Varianza Para poder estimar la varianza de una población normal se utilizará la distribución ji-cuadrada. Al despejar esta fórmula la varianza poblacional nos queda: Los valores de X2 dependerán de nivel de confianza que se quiera al cual le llamamos . Si nos ubicamos en la gráfica se tiene:

Ejemplos 1. Los tiempos requeridos por un autobús para llegar a su destinos, sigue una distribución normal con desviación estándar =1 minuto. Si se elige al azar una muestra de 17 tiempos, encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que 2. Solución: Primero se encontrará el valor de ji-cuadrada correspondiente a s2=2 como sigue:

Ejemplos.. El valor de 32 se busca adentro de la tabla en el renglón de 16 grados de libertad y se encuentra que a este valor le corresponde un área a la derecha de 0.01. En consecuencia, el valor de la probabilidad es P(s2>2)

Ejemplos.. 2. Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza tenga una varianza muestral: a. Mayor que 9.1 b. Entre 3.462 y 10.745 Solución. a. Primero se procederá a calcular el valor de la ji-cuadrada: Al buscar este número en el renglón de 24 grados de libertad nos da un área a la derecha de 0.05. Por lo que la P(s2 >9.1) = 0.05

Ejemplos.. b. Se calcularán dos valores de ji-cuadrada: y Aquí se tienen que buscar los dos valores en el renglón de 24 grados de libertad. Al buscar el valor de 13.846 se encuentra un área a la derecha de 0.95. El valor de 42.98 da un área a la derecha de 0.01. Como se está pidiendo la probabilidad entre dos valores se resta el área de 0.95 menos 0.01 quedando 0.94. Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

Ejemplos.. Por lo tanto la P(3.462 s2 10.745) = 0.94

Ejemplos.. 3.Los siguientes son los pesos, en decagramos, de 10 paquetes de semillas de pasto distribuidas por cierta compañía: 46.4, 46.1, 45.8, 47.0, 46.1, 45.9, 45.8, 46.9, 45.2 y 46. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para la varianza de todos los paquetes de semillas de pasto que distribuye esta compañía, suponga una población normal. Solución: Primero se calcula la desviación estándar de la muestra:

Ejemplos.. al elevar este resultado al cuadrado se obtiene la varianza de la muestra s2= 0.286. Para obtener un intervalo de confianza de 95% se elige un = 0.05. Después con el uso de la tabla con 9 grados de libertad se obtienen los valores de X2.

Ejemplos.. Se puede observar en la gráfica anterior que el valor de X2 corre en forma normal, esto es de izquierda a derecha. Por lo tanto, el intervalo de confianza de 95% para la varianza es: Gráficamente: Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.

Ejemplos.. Gráficamente: Se observa que la varianza corre en sentido contrario, pero esto es sólo en la gráfica. La interpretación quedaría similar a nuestros temas anteriores referentes a estimación. Con un nivel de confianza del 95% se sabe que la varianza de la población de los pesos de los paquetes de semillas de pasto esta entre 0.135 y 0.935 decagramos al cuadrado.

Distribución t de Student Normal Estándar t (lg = 13) Campana Simétrica t (lg = 5) Z t

Grados de Libertad (lg) El número de observaciones que son libres de variar después de que la media de la muestra ha sido calculada. Ejemplo: Media de 3 números es 2 X1 = 1 (o cualquier número) X2 = 2 (o cualquier número) X3 = 3 (no puede variar) media = 2 Grados de libertad = n -1 = 3 -1 = 2

Grados de Libertad (lg) Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media y varianza . Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población 2 es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta. La media y la varianza de la distribución t son = 0 y para >2, respectivamente.

Grados de Libertad (lg) Supóngase que se toma una muestra de una población normal con media y varianza . Si es el promedio de las n observaciones que contiene la muestra aleatoria, entonces la distribución es una distribución normal estándar. Supóngase que la varianza de la población 2 es desconocida. ¿Qué sucede con la distribución de esta estadística si se reemplaza por s? La distribución t proporciona la respuesta a esta pregunta. La media y la varianza de la distribución t son = 0 y para >2, respectivamente.

Ejemplo: Un ingeniero químico afirma que el rendimiento medio de la población de cierto proceso en lotes es 500 gramos por milímetro de materia prima. Para verificar esta afirmación toma una muestra de 25 lotes cada mes. Si el valor de t calculado cae entre –t0.05 y t0.05, queda satisfecho con su afirmación. ¿Qué conclusión extraería de una muestra que tiene una media de 518 gramos por milímetro y una desviación estándar de 40 gramos? Suponga que la distribución de rendimientos es aproximadamente normal. Solución: De la tabla encontramos que t0.05 para 24 grados de libertad es de 1.711. Por tanto, el fabricante queda satisfecho con esta afirmación si una muestra de 25 lotes rinde un valor t entre –1.711 y 1.711. Se procede a calcular el valor de t: Este es un valor muy por arriba de 1.711. Si se desea obtener la probabilidad de obtener un valor de t con 24 grados de libertad igual o mayor a 2.25 se busca en la tabla y es aproximadamente de 0.02. De aquí que es probable que el fabricante concluya que el proceso produce un mejor producto del que piensa.

Tabla t de Student Considere: n = 3 df = n - 1 = 2  = .10 /2 =.05  = .10 /2 =.05 Área Superior de la Cola df .25 .10 .05 1 1.000 3.078 6.314  / 2 = .05 Confidence intervals use /2, so divide ! 2 0.817 1.886 2.920 3 0.765 1.638 2.353 t 2.920 Valores t