Distribuciones de probabilidad Marcelo Signorini Consejo Nacional de Investigaciones Científicas y Técnicas Instituto Nacional de Tecnología Agropecuaria – EEA Rafaela Argentina Correo electrónico: marcelo.signorini@gmail.com

Distribuciones de probabilidad Las evaluaciones de riesgos descansan sobre el uso apropiado que se haga de las distribuciones de probabilidad. Las distribuciones deben mostrar: la variabilidad. la incertidumbre en los datos.

Variabilidad e Incertidumbre Efecto del azar Parte del sistema No reductible INCERTIDUMBRE: Falta de conocimiento Gran impacto en los modelos Se puede reducir

Variables El dilema pasa por encontrar la distribución de probabilidad que refleje el comportamiento de los datos que tenemos (y en algunas circunstancias, los que ni siquiera tenemos). Para ordenarnos, debemos considerar inicialmente la variable a considerar. Estudiar las diferentes distribuciones, sus bondades, desventajas, usos y aplicaciones. Esta presentación no pretende ser un estudio exhaustivo sino refrescar conocimientos.

Tenemos suficientes distribuciones para elegir la más apropiada

Distribuciones discretas

BINOMIAL El experimento arroja dos posibles resultados. Mutuamente excluyentes. Éxitos (p) y fracasos (q = 1 – p). El experimento lleva implícita una probabilidad de ocurrencia. Se definen las siguientes variables: n : la cantidad de veces que se hace el experimento p : la probabilidad de que un experimento arroje éxito. resultado: la cantidad de veces que se obtiene éxito en las n veces que se hace el experimento.

BINOMIAL E(X) media = n.p S2X = n.p.(1-p) Usos: prevalencia, sensibilidad, especificidad, etc. p = 0,2 p = 0,5 p = 0,8

BINOMIAL Ejemplo: En un establecimiento lechero que cuenta con 350 vacas en ordeño se diagnosticaron 25 vacas positivas a brucelosis. ¿Cómo se pude representar el número de vacas positivas a brucelosis para este caso?. ~ Binomial (350, 0,07)

BETA Modelar una distribución en ausencia de datos. Puede adquirir múltiples formas (PERT, Triangular, Uniforme, Normal, Lognormal, etc.). Su rango va de 0 a 1. Puede corregirse para adoptar otros rangos.

BETA Ejemplo: Continuando con el caso anterior del relevamiento serológico de brucelosis en un establecimiento lechero, si se desea extrapolar este resultado de prevalencia a toda una cuenta lechera (con aproximadamente 15.000 vacas en ordeño, ¿Qué inconvenientes observa? ~ Beta(r+1, n – r +1) ~ Beta(25+1, 350-25+1)

BETA Modelo inicial (350 vacas) # Vacas positivas a brucelosis ~ Binomial (n, p) Modelo final (15.000 vacas)

Poisson Λ = la cantidad esperada de eventos por unidad de intervalo (k) (intensidad). Λ = nº eventos / k Λ = media = varianza Usos: Es un proceso que consiste en considerar un continuo, en el cual ocurren eventos. Número de enfermos por año, Nº de cabezas de ganado faenadas por mes, Nº de bacterias por mL de leche, etc.

POISSON Ejemplo: Un análisis microbiológico de leche en polvo arrojó que el promedio de microorganismos aerobios totales en una partida determinada era de 150 UFC/gramo de producto. ¿Cómo representaría a la variable “carga microbiana” en este caso?

Distribuciones continuas

UNIFORME Se dice que una variable aleatoria continua es uniforme entre a y b si el conjunto de sus valores posibles es el intervalo [a;b] y todos esos valores tienen la misma probabilidad. Útil cuando solo se conoce el rango. Se usa como generador de nº aleatorios.

TRIANGULAR Útil en ausencia de datos mejores. Parámetros: mínimo, más probable y máximo. Usada para modelar la opinión de expertos.

PERT Similar a la distribución triangular (mismos parámetros). Forma más “redondeada” que le otorga un perfil más natural y está menos influenciada por los valores extremos. Mismas ventajas que triangular.

NORMAL Parámetros: media (µ) y desviación estándar (σ). Útil para modelar la mayor parte de las variables biológicas. Fácil manejo e interpretación. Teorema central del límite.

ACUMULATIVA máximo {xi}, {pi}; donde i = 1 a n Se emplea para transformar una serie de datos en una distribución empírica. Parámetros: mínimo máximo {xi}, {pi}; donde i = 1 a n

ACUMULATIVA Ejemplo: Un análisis microbiológico de Campylobacter termofílicos en pollos arrojó los siguientes resultados. Sobre un total de 40 pollos muestreados: 13 presentaron <36 NMP/canal 6 Presentaron 200 NMP/canal 7 presentaron 500 NMP/canal 2 presentaron 1.000 NMP/canal 6 presentaron 5.000 NMP/canal 5 presentaron 10.000 NMP/canal 1 presentó 18.000 NMP/canal

DISTRIBUCIONES EMPÍRICAS GENERAL: a partir de un rango de datos, se fija para cada punto de una serie de datos, su probabilidad. Tiene un uso similar a la distribución acumulativa. HISTOGRAMA: similar interpretación que la general solo que se definen probabilidades por rangos de valores dentro de un rango general de la distribución.

DISTRIBUCIONES EMPÍRICAS Ejemplo: Continuando con el caso anterior, la distribución del NMP de Campylobacter termofílicos en pollos también puede ser analizada mediante distribuciones General e Histograma. Distribución General Distribución Histograma

COMPARACIÓN ENTRE DISTRIBUCIONES EMPÍRICAS Distribución Acumulativa Distribución General Distribución Histograma

Diferentes formas para mostrar las distribuciones Función de densidad de probabilidad Distribución acumulativa

Muchas gracias