Un modelo de depredación con densidad umbral de presas en el predador Héctor Meneses Alcay y Eduardo González Olivares Grupo Ecologia Matemática, Instituto de Matemáticas Pontificia Universidad Católica de Valparaíso hmeneses@ucv.cl, ejgonzal@ucv.cl ;http://ima.ucv.cl

INTRODUCCION En este trabajo analizamos un modelo predador – presa del tipo Gause con respuesta funcional de los depredadores del tipo Holling II y efecto Allee sobre los predadores. También consideramos la población de presas afectada por la inmigración o emigración. El comportamiento del sistema es altamente dependiente de este efecto y además mostramos la existencia de un único ciclo límite.

El modelo Hacemos un estudio del modelo propuesto por Kent, el cual asume el efecto Allee sobre la población de depredadores y su comporta- miento está descrito por el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales.

El sistema está definido en el primer cuadrante y los parámetros tienen los siguientes significados biológicos. r es la tasa intrinseca de crecimiento de las presas K capacidad de soporte del medio  es la tasa de inmigración o emigración

Q tasa de conversion en nuevos depredadores por consumo de presas h tiempo de captura por cada presa encontrada P promedio de busqueda del depredador a = 1 / Qh es la cantidad de presas para alcanzar la mitad de Q ( tasa de saturación media )

El sistema no es del tipo Kolmogorov, excepto cuando  = 0 Los puntos de equilibrio del sistema son :

LEMA 1 El sistema es topologicamente a : y

En orden a analizar el sistema y simplificar los calculos hacemos una reparametrización dada por la función donde

y se tiene Es decir ,  es un difeomorfismo y el campo vectorial en el nuevo sistema de coordenadas es topologicamente equivalente al campo vectorial Y  =  o X y tiene asociado un polinomio de tercer grado al sistema de ecuaciones diferenciales

y los puntos de equilibrio son : La matriz Jacobiana es

Principales resultados Considerando en el sistema E > 0 , se tienen los siguientes resultados LEMA 2 b ) Las soluciones son acotadas

LEMA 3 El punto P1=(1 , 0 ) es a ) Un pun to silla si C < 1 b ) Un nodo atractor si C > 1, e implica la no existencia de un punto de equilibrio en el primer cuadrante En lo que sigue consideraremos que C < 1 , y para simplificar haremos E = A > 0, esto quiere decir que la interacción entre las especies está afectada por el fenómeno de la inmigración

Entonces tenemos el caso particular, con dos parámetros Dados por el sistema

LEMA 4 a ) Un punto de equilibrio atractor si y sólo si C > A > 1/ 2

b) Un punto de equilibrio repulsor si y sólo si C > A > 1 / 2 c ) Es un punto silla si y sólo si, A < 1 / 2 y A < C o bien A > 1 / 2 y A > C

LEMA 5 La singularidad ( C , 4C( 1 – C ) 3) es un punto de equilibrio atractor si y sólo si A + 2 C2 – C > 0

LEMA 6 a ) Si ( C , 4C ( 1- C ) 3 es un punto de equilibrio repulsor no puede coexistir con ( - A , 0 ) repulsor , atractor o bien punto silla cuando A > C y A > 1 / 2 b ) Un punto de equilibrio repulsor rodeado de un ciclo límite si y sólo si A + 2 C 2 – C < 0

b ) ( - A , 0 ) es silla si A < C y A > 1 / 2 , entonces puede coexistir con ( C , ( 1 – C ) 3 ) cuando es un punto de equilibrio atractor A = 0.6 ; C= 0.7 LEMA 7 Cuando el punto ( - A , 0 ) es un punto silla , esto es , si A < C y A < 1 / 2 , la variedad estable W s de este punto determina una curva separatríz en el plano de fase que divide el comportamiento de las trayectorias

TEOREMA 8

Consideremos ahora cuando hay emigración, es decir, si E < 0, y el sistema de ecuaciones diferenciales es :

y los puntos de equilibrio son : Es decir  < 0, y graficamente se tiene: Isoclina predador E A Pe= ( ue , ve ) C Isoclina presas

Consideraremos - E < C < 1, en los otros casos el punto no trivial queda en el IV cuadrante Principales resultados LEMA 9 Los puntos de equilibrio P1( 1 , 0 ) y PE ( - E , 0 ) son puntos silla

Sea um donde la isoclina de las presas tiene un máximo relativo, entonces : LEMA 10 a ) Si - E < C < um entonces Pe= ( ue , ve ) es repulsor A=0.5 ; E=- 0.4 ; C = 0.5

A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.65

b ) Si um < C < 1 entonces Pe= ( ue , ve ) es un atractor local A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.7

c ) Si C = um, entonces Pe(ue, ve) es un foco débil de primer orden. A = 0.3 ; E = - 0.4 ; C = 0.67982 = um

Muchas Gracias por habernos invitado Un buen año para todos