Velocidad Instantánea en un Movimiento Rectilíneo

En un MRU, sabemos que el gráfico de x(t) es una recta y definimos la velocidad v x como la pendiente de esa recta. Consideremos ahora un movimiento que no es un MRU, y supongamos que su gráfico de posición en función del tiempo es: (claramente no es una recta) ¿Cómo hacemos para definir la velocidad en este caso? Notar que para cada valor de tiempo habrá una velocidad v x distinta, es decir que la velocidad será una función del tiempo: v x (t).

Idea: Para cada valor de t, si hago “zoom” al gráfico de x(t) alrededor del punto (t;x(t)), veo que el gráfico es parecido a una recta. Entonces la idea será definir la velocidad v x (t) como la pendiente de la recta que más se parece al gráfico de x(t) en el punto (t;x(t)). A esta recta se la llama “recta tangente el gráfico de x(t) en el punto (t;x(t))”.

Pero no todo es tan fácil... Problema: ¡Para definir una recta necesito DOS puntos y yo sólo tengo UNO! Idea: Si tomo OTRO punto del gráfico, el correspondiente a t+  t, uno ambos puntos con una recta y calculo la pendiente de esa recta me da como resultado: que es la velocidad promedio entre t y t+  t. Pero esta velocidad, en principio no es igual a v x (t) ya que esta recta NO ES la que más se parece a al gráfico de x(t) en (t;x(t)). PERO: si tomo un  t más chico, es decir si tomo un segundo punto más cercano al primero, la recta que forman se parece más a la que yo quiero. Y si tomo un  t más chico la recta que forman se parece más a la que yo quiero. Y si tomo un  t más chico la recta que forman se parece más a la que yo quiero. Entonces: si tomo un  t “INFINITAMENTE CHICO” la recta que forman será IGUAL a la que yo quiero.

Esto suele escribirse de la siguiente manera: donde dt es una cantidad de tiempo infinitamente pequeña. Otra forma de pensarlo, usando lo que mencionamos antes es: la velocidad v x (t) es igual a la velocidad promedio en un intervalo de tiempo infinitamente chico que contiene al instante t. Esto se debe a que si el intervalo es infinitamente chico entonces la velocidad "no ha tenido tiempo de cambiar su valor", con lo cual en ese intervalo infinitamente pequeño es básicamente constante y en consecuencia para cualquier valor de tiempo que esté en el intervalo es igual al valor promedio. Otra forma más de pensarlo es que si el intervalo es infinitamente pequeño entonces la velocidad en ese intervalo es prácticamente constante y por lo tanto en ese intervalo de tiempo infinitamente pequeño el movimiento es igual a un MRU y la velocidad para un MRU ya la habíamos definido.