Cálculo de Campos Eléctricos y Magnéticos Universidad Nacional de Colombia Física G09N07carlos 2012

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. x=0 x=L x=b

Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita Una carga uniforme Q, distribuida a lo largo del eje x desde x=0 a x=L, con densidad de carga lineal λ= Q/L. Para determinar el campo eléctrico producido por dicha carga en el punto x=b sobre el eje x en x=0, siendo x 0 >L. Tomamos un elemento dq=λdx de la carga lineal para considerarla como una carga puntual. dx x0x0 x=b dq= λ dx y x X=LX=0

Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. Elegimos un pequeño elemento diferencial dx que dista x del origen. El punto del campo x=b se encuentra a una distancia r=x 0 -x del elemento diferencial dx. El campo eléctrico E debido a este elemento de carga esta dirigido a lo largo del eje x y su magnitud de acuerdo con la ley de Coulomb es:

Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. Para determinar el campo total integramos para toda la carga lineal completa desde x=0 a x=L; Aplicando λ=Q/L tenemos el campo eléctrico E x :

Campo Eléctrico E sobre el Eje de una Carga Lineal Finita. Puede verse que si x 0 es mucho mayor que L, el campo eléctrico en x 0 es aproximadamente: Lo que nos demuestra que si estamos suficientemente lejos de la carga lineal, está se comporta como una carga puntual.

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por una distribución lineal de carga λ. y=b x=-L/2 x=0 x=L/2

Campo Eléctrico en un Punto de la Mediatriz de una Carga Lineal Finita Uniforme. dx r 0 ½ L dE θ θοθ y dEy dEx x dq= λdx Y=b

Teniendo en cuenta el esquema de la diapositiva anterior, el elemento cargado se encuentra sobre el eje x, desde x 1 =-L/2 a x 2 =L/2, y el punto b sobre el eje y, el elemento de carga dq= λdx y el campo dE. El campo tiene un componente paralelo a la carga lineal y otro perpendicular a ésta, dada la simetría de la distribución al sumar todos los elementos de carga de la línea, los componentes paralelos se anulan y el campo E quedara dirigido a lo largo del eje y.

La magnitud del campo producido por el elemento de carga dq=λdx es: Su componente en y es: Donde:

El campo total E y se calcula integrando desde x=-1/2 L a x=+1/2 L. Por simetría por la distribución de la carga, cada mitad de la carga lineal contribuye al campo total de forma idéntica, lo cual nos permite integrar de x=0 a x=1/2 L y multiplicando por 2. es decir:

θ=0 en x=0, por lo tanto senθ=0 en el limite inferior; para el limite superior x=L/2, θ=θ 0. El campo es igual:

Cálculo de Campo Eléctrico Calcule el campo eléctrico en el punto b producido por un aro de radio a con una distribución lineal de carga λ. Halle una expresión para E(y) y=b (0,0)

Campo Eléctrico Sobre el Eje de una Carga Anular. θ a r dq b dE θ dEy dEI y

En la figura anterior se observa un anillo cargado de radio a. El campo eléctrico dE en el punto b sobre el eje y debido al elemento dq posee un componente a lo largo del eje y dE y y uno perpendicular dEI a ese mismo eje. Cuando los componentes perpendiculares correspondientes a todos los elementos se suman, se cancelan entre sí, de tal modo que el campo neto está dirigido a lo largo del eje y.

Geométricamente: El campo debido al elemento de carga es

El campo debido al anillo completo cargado es: Como y no varia al integrar los elementos de carga: Es decir:

Cálculo de Campo Magnético Calcule el campo magnético en el punto b producido por una corriente I que circula por el aro de radio a. Halle una expresión para B(y) y=b (0,0)

Campo Magnético en un Punto Sobre el Eje de una Espira de Corriente Circular z R b dBy y θ dB dBx rθ x

La figura anterior permite calcular el campo magnético en un punto del eje de una espira circular a una distancia y de su centro. Considerando el elemento de corriente en la parte superior de la espira, como en todos los puntos de la espira, es tangente a la espira y perpendicular a dirigido desde el elemento de corriente hacia el punto b. Al igual el campo magnético dB debido a este elemento se encuentra perpendicular a y a

Geométricamente: Como y son perpendiculares: La magnitud de dB es:

Si se suman los elementos de corriente de la espira, los componentes perpendiculares de dB suman 0, por lo tanto dB x =0, solo calculamos los componentes de dB y que son paralelos al eje. Por lo tanto el componente y del campo es: El campo debido a la espira completa, integrando dB y alrededor de la espira:

Como y y R no varían al sumar para todos los elementos de la espira, podemos escribir: La integral alrededor de la espira es 2πR, entonces el campo magnético en el eje y de la espira es igual a:

En el centro de la espira, y=0: Lejos de la espira, y>>R:

Cálculo de Campo Magnético Usando la Ley de Biot & Savart calcule, en el punto b el campo magnético de una corriente I que fluye por un alambre de longitud infinita Y=b I

Campo Magnético Alrededor de un Conductor Recto Delgado con Longitud Infinita. y Y=b ds x OX r a

A partir de la ley de Biot-Savart: Guiados por la figura anterior consideramos un elemento de longitud ds que está a una distancia r de b. La dirección del campo magnético en b generado por el elemento apunta hacia fuera de la hoja, ya que se orienta hacia fuera de la hoja, vector k.

Tomando a O como origen y con b a lo largo del eje y positivo, con k como vector unitario que apunta hacia fuera de la pagina, tenemos: Ya que todos los elementos de corriente producen un campo magnético en dirección k, nos permite calcular el campo magnético de un elemento de corriente.

Por lo tanto: Puesto que: Derivando y sustituyendo:

Integrando: En el caso de un alambre recto de longitud infinita, los ángulos: Con longitud entre: Por lo tanto: El campo magnético: