Fundamentos Físicos de Hemodinámica M.Sc. Adolfo Castillo Meza Departamento de Física, Informática y Matemáticas UPCH

T Propiedades de líquidos y gases T ’ S T ’ n Sobre el elemento de superficie S actúan tangencialmente las tensiones T ’ , originando una resultante T.

La tensión actuante sobre la superficie será: Por otro lado:

Multiplicando escalarmente por i, j y k sucesivamente se obtiene que: Es decir, en equilibrio, en cada punto la presión es igual (Ley de Pascal)

Ecuaciones de Equilibrio y Movimiento P(x + dx) dx La fuerza elemental que actúa sobre el elemento de fluído es originada por la diferencia de presiones entre los extremos: P(x)

Fuerza por unidad de volumen Pero: Entonces: De modo que podemos definir Fuerza por unidad de volumen

Fuerza que actúa sobre el líquido Por analogía definimos las restantes dos componentes: y Fuerza que actúa sobre el líquido Ecuación fundamental de la hidrostática

Por III Ley de Newton, de parte del líquido actuará una fuerza: estando el sistema en equilibrio. Si no está en equilibrio su ecuación de movimiento será (expresada por unidad de voumen): ECUACION DE EULER

P(0) – Presión atmosférica a nivel del mar Si el líquido se halla en un campo gravitacional, en equilibrio: Por componentes: E integrando a lo largo del eje OZ: P(0) – Presión atmosférica a nivel del mar

De la ecuación de Mendeleev: tenemos: FORMULA BAROMETRICA

Se obtiene la ECUACION DE CONTINUIDAD. Para líquidos en movimiento: Volumen 1 = Volumen 2 S1 v1 S2 Se obtiene la ECUACION DE CONTINUIDAD. v2

En términos de energía y trabajo: S1 v1 h donde: E2- Energía mecánica total en 2 E1- Energía mecánica total en 1 A – trabajo de las fuerzas externas que trasladan la masa de líquido de 1 a 2 S2 h1 v2 h2

Recordemos que E = K + U, de modo que: y el trabajo total, realizado por las fuerzas originadas por la diferencia de presiones entre los extremos del tubo, será: Trabajo parcial en 1 – Trabajo parcial en 2

Ecuación de Bernoulli Pero: Igualando ambos miembros de la ecuación de energía: Pero: De modo que, finalmente, al dividir todos los términos por V: Ecuación de Bernoulli

Donde: Presión dinámica Presión manométrica de la columna de líquido Presión registrada en el extremo del tubo

Si h1  h2: Y para un tubo curvo: S1 v1 F ’ S2 F v2 Ley de Conservación de Momentum S1 v1 F ’ S2 Ley de conservación de momentum, consecuencia de la III Ley de Newton para un sistema cerrado. F v2

Entonces: Fuerza que actúa sobre el punto de inflexión del tubo.

VISCOSIDAD Tomemos dos placas de superficie S situadas a una distancia h una de la otra, y asumamos que la placa superior se mueve con velocidad vo y la inferior permanece en reposo. F S vo h -F

La fuerza con la cual la placa inferior se opone al movimiento será (por módulo) proporcional a la velocidad relativa de desplazamiento vo, la superficie de las placas S, e inversamente propocional a la distancia h entre ambas. Esto fué establecido experimentalmente por Newton. F S vo h -F

Coeficiente de Rozamiento interno Es decir: Coeficiente de Rozamiento interno Y si ambas placas se mueven con velocidades colineales v1 y v2: Nótese que aparece una dependencia de la velocidad respecto a la distancia entre placas

Sea: Podemos reescribir la expresión anterior como Y en el límite, cuando y  0: La velocidad longitudinal varía respecto al eje perpendicular OY (altura)

S R  dx Tomemos un tubo recto donde la corriente es estacionaria: P(x + dx) P(x)  dx En este caso, tanto la superficie transversal  como la lateral S serán funciones de r, y la velocidad también.

La fuerza elemental de rozamiento (viscosidad) actuante en función de r será: Superficie lateral S del cilindro Y entre las bases del cilindro actuará una fuerza elemental neta:

Como la corriente es estacionaria, quiere decir que F = 0, entonces: en virtud de que la corriente analizada es estacionaria, y como consecuencia el comportamiento de la presión es lineal respecto a x. Aquí l es la longitud del tubo. Además,

Llegamos a la ecuación diferencial: 1. La velocidad máxima se alcanza en r = 0, en el eje longitudinal . Integrando con los límites respectivos: 2. La distribución de velocidades respeto a r es parabólica: r R X -R

En cuanto al “gasto” de líquido, es decir, masa de líquido que atraviesa la superficie S en una unidad de tiempo: Analice los límites del sistema circulatorio a la luz de la relación encontrada. Ley de Poiselle

Número de Reynolds Una corriente puede ser laminar, si las líneas de velocidad de las partículas no se cruzan, o turbulentas en caso contrario. El tipo de carácter de la corriente está determinado por el valor del Número de Reynolds. Si Re  2000 o mayor, la corriente es turbulenta Diámetro del tubo

Sistema circulatorio – Efecto Fahraeus - Linqdvist En vasos delgados, la sangre se comporta como si fuera solamente plasma. Los eritrocitos se acumulan hacia el eje, por lo que la viscosidad se incrementa hacia el centro La gradiente de velocidad se invierte, moviéndose el líquido más rápido cerca de las paredes Al “reducirse” la viscosidad, la diferencia de presión necesaria para mantener el flujo es menor.

En vasos más pequeños (5 - 7m): Sistema circulatorio – Efecto Fahraeus - Linqdvist En vasos más pequeños (5 - 7m): Los eritrocitos copan el vaso deformándolo, el movimiento se produce como una oruga.

Comparación entre el comportamiento de un líquido ideal y la sangre Si bien los capilares son delgados, están agrupados en paralelo, lo que hace que su sección total sea mayor. Por Ley de Bernoulli: Curva Teórica Presión (mm Hg) Velocidad (cm/s) 120 80 40 50 40 30 20 10 Curva real

En forma más detallada:

Capilaridad l f Tensión Superficial Tomemos una superficie a la cual trataremos de manetener estirada, evitando que tome su forma natural (esférica). Para ello aplicaremos una fuerza f tangente a la superficie y perpendicular a la línea de separación del medio (de longitud l): f l Coeficiente de Tensión superficial  =  ( T )

El trabajo elemental a realizar para expandir (sin incremento de temperatura) el área en una longitud dx será: l f dx Pero dA se va completamente en incrementar la energía de la película en dE: Energía libre (parte de la energía que puede transformarse en trabajo por vía isotérmica)

Ejemplo: Tomemos n gotas de 2 Ejemplo: Tomemos n gotas de 2.10-3 mm de radio (r) y formemos una sola gota de R = 2mm. Pero Volumen 1 = Volumen 2 Trabajo de compresión, S2 < S1 Para el agua  = 73 dinas/cm.

Presión debida a la curvatura de una superficie libre: En un campo gravitacional, toda superficie tiende a ser plana. En caso de encontrar un límite físico (p.e. las paredes de un vaso) al tender a ser plana puede ocurrir cualquiera de las siguientes situaciones: Superficie cóncava La sobrepresión es negativa, pues la capa superior “tira” de las capas inferiores Superficie convexa La superficie presiona sobre las capas inferiores, sobrepresión positiva

df df r Pero es df la que ejerce la presión sobre el líquido R Veamos cuál es la magnitud de esta sobrepresión para una superficie esférica, para lo cual analizaremos un casquete de superficie S: dl r  Pero es df la que ejerce la presión sobre el líquido df df R Para la figura: R 

Entonces, para todo el contorno: La presión actuante será: La presión es inversamente proporcional al radio de la esfera. A menor radio, mayor presión actuante para un mismo 

¿En qué dirección cree que fluirá el aire? En este caso, guiarse por el radio es mala idea. El aire fluye de donde hay mayor presión a donde hay menor presión. ¿Por qué tenemos bronquiolos y alveolos pulmonares en lugar de tener solamente el pulmón como un sistema de fuelle?

Para una superficie cualquiera, la sobrepresión es: Para un clindro: R2 R1 2 1 ¿Qué pasa en los capilares?

Una vez analizado el líquido, veamos que ocurre cuando el líquido está en contacto con un cuerpo sólido (las paredes del recipiente). En este caso extstirán dos tipos de fuerzas: Entre las moléculas del mismo líquido Entre las moléculas del líquido y el sólido 1) La fuerza actuante entre las moléculas del líquido es mayor que la fuerza actuante entre ambos cuerpos Posibilidades 2) Las fuerzas intermoleculares dentro del líquido son menores que las fuerzas que actúan entre ambos cuerpos.

Caso 1: El líquido NO moja el sólido Caso 1: El líquido NO moja el sólido. La fuerza resultante está dirigida HACIA el líquido   Esto ocurre cuando , el ángulo de contacto, es mayor o igual a  /2. Si  = , el líquido no moja en absoluto.

Caso 2: Las fuerzas de cohesión (entre las moléculas del líquido) son menores que las de adherencia (entre el líquido y sólido). En este caso el líquido moja al sólido. La fuerza resultante está dirigida hacia afuera del líquido.   Cuando el águlo de contacto  es menor a  /2, el líquido moja al sólido.

Calculemos a qué altura se elevará una columna de líquido que moja un tubo. Y la presión de la columna: r  En equilibrio: h

¿Y en este caso, ¿cuál será la altura?