Constantes Elásticas en Cristales Física de la Materia I (Curso 2004) Ricardo Marotti

Constantes Elásticas Objetivo: Permiten el estudio de deformación y propagación de ondas elásticas (sonido en sólidos). Describen: –Naturaleza de Fuerzas de unión en sólidos (enlaces). –Propiedades Térmicas. Ejemplos: –Monocristales: Anisotrópico  Tensor. –Policristales: Propiedades elásticas isotrópicas  menos constantes.

Regímenes Vibracionales Macroscópico (material homogéneo) >> a : longitud de onda. a: constante de red. Nanométrico: ~ a Relación de dispersión (“Fonones”):  (k)  : Frecuencia onda elástica K=2  / : Vector de onda.

Tensión “Strain”  Tensión  Deformación. (  l/l, , e, u) “Stress”  Tensión  Fuerza. (F, f, , X, Y, Z) Ejemplo: Ley de Hooke: F: Fuerza. K: Constante.  l/l: Deformación.

Strain – 1

Strain – 2  Deformación Base Ortonormal

Componentes de Strain – 1

Componentes de Strain – 2

Ejemplo: Rotación Pura Caso general: sólido que rota (rígidamente) y se deforma: e  Solo describen Deformaciones.   Describen Deformaciones Y Rotaciones. e son 6 (seis) componentes  son 9 (nueve) componentes

Deformación + Rotación e e’  0

Componentes de Strain – 3

Deformación – 1

Deformación – 2

Deformación – 3

Ejemplo: Dilatación Dilatación: Incremento fraccional del volumen.

Ejemplo: Deslizamientos Deslizamientos = “Shearing Strain”.

Componentes de Stress Stress: Fuerza por Unidad de Área. X x, X y, X z, Y x, Y y, Y z, Z x, Z y, Z z. Notación A b : A: Dirección de la Fuerza. b: Normal al plano sobre el que actúa.  Condición de simetría dinámica (Equilibrio y No-equilibrio):

Ley de Hooke – 1

Ley de Hooke – 2

Constantes Elásticas (e) = {s}(F)  Constantes Elásticas (“Elastic Compliance Constants”) (F) = {c}(e)  Módulos de Elasticidad (“Elastic Stiffness Constants”)

Densidad de Energía – 1 Trabajo hecho sobre un cubo de lado L:

Densidad de Energía – 2

Densidad de Energía – 3

Densidad de Energía – 4 Energía Elástica por Unidad de Volumen:

Densidad de Energía – 5

Simetría Constantes Elásticas c ij : 6x6=36 elementos: 6 diagonales. 30/2 = 15 no diagonales. 6+15= 21 constantes. Triclínico  21 Monoclínico  13 Ortorrómbico  9 Hexagonal  5 Cúbico  3

Cristales Cúbicos – 1 “Four-fold” axis: Plano de Simetría perpendicular a dichos ejes

Cristales Cúbicos – 2

Energía en Cristales Cúbicos

Ondas Elásticas en Cristales

Ecuaciones de Onda

Velocidad de Propagación